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• l’esistenza di una costante del moto limita lo spazio della fasi accessibile a D = 3;

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Academic year: 2021

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(1)

Caos

• L’energia ` e sempre conservata;

• un sistema bidimensionale ` e descritto da x, y, p x , p y o comunque da quattro coordinate canoniche;

• l’esistenza di una costante del moto limita lo spazio della fasi accessibile a D = 3;

• se considero i punti con x = 0 avr` o un insieme con D = 2 per ogni traiettoria;

• se l’energia ` e l’unica costante del moto il sistema si dice ergodico;

• se esiste una seconda costante del moto

la dimensione di questo insieme si abbassa

(2)

di uno e l’insieme stesso si riduce ad una linea: il sistema si dice integrabile;

• esempi possibili: potenziali V (x, y) e mappe

T : (x n , y n ) → (x n+1 , y n+1 )

(3)

Sezioni di Poincar´ e

• Pongo certe condizioni iniziali;

• integro le equazioni del moto;

• seleziono i punti per cui la traiettoria

attraversa una certa superficie (ad esempio x = 0) e li stampo (y, p y );

• ripeto per diverse condizioni iniziali fino a riempire lo spazio delle fasi;

• le traiettorie che occupano un’area sono caotiche, quelle che stanno su una linea integrabili;

• per valori particolari (risonanze) le linee si

possono ridurre a un punto o a un numero

finito di punti;

(4)

Hamiltoniana di H´ enon

H = 1

2 p 2 x + 1

2 p 2 y + 1

2 x 2 + 1

2 y 2 + x 2 y − 1 3 y 3

Le equazione di Hamilton sono p ˙ i = − ∂H

∂x i x ˙ i = ∂H

∂p i

posso usare i metodi di Eulero o Runge-Kutta.

Metodi precisi sono qui molto utili;

Energia nel range 0 − 1/6;

Visualizzo il piano x = 0 usando le coordinate (y, p y );

controllo sempre la conservazione dell’energia;

(5)

Mappa standard

I n+1 = I n + K · sin(θ n )

θ n+1 = θ n + I n+1

(6)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I

Mappa standard K=1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I

Mappa standard K=2

(7)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I

Mappa standard K=3

(8)

Calcolo della sezione di Poincar´ e per l’hamiltoniana di H´ enon

1. Scrivete l’hamiltoniana;

2. scrivete le equazioni del moto;

3. integrate con un metodo preciso le equazioni del moto per una particolare scelta delle condizioni iniziali;

4. verificate la conservazione dell’energia, anche come criterio per terminare l’integrazione;

5. scegliete un insieme ragionevole di condizioni iniziali (x, p

x

): notate che il potenziale ha un

punto di sella che si pu` o trovare risolvendo

∂V∂x

= 0 e

∂V

∂y

= 0; l’energia deve stare sotto il corrispondente valore vicino a x = y = 0;

6. selezionate una superficie (esempio: x = 0) e un

segno dell’impulso (esempio: p

x

> 0) e fate il

grafico; usate punti non collegati da linee.

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