Soluzioni della prova scritta parziale n.3 del 4. 4. 06 - Fila 1 1.

Soluzioni della prova scritta parziale n.3 del 4. 4. 06 - Fila 1 1.

4 8

2 x x 8

cos x = 1 - + + o ( x )

2 24

4 8

4 x x 8

1 - x = 1 - - + o ( x )

2 8

sen x = x + o ( x ) ^{2 2 4}

2 3 4 2

2 x x x 4

log (1 + x) = x - + - + o ( x )

2 3 4

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⁼

2 3 11 x 4 4

x - x + + o ( x ) 24

f ( x ) ≈

8 3

x / 6 - x → 0 2.

Dobbiamo calcolare il limite per x → 0 da entrambe le direzioni :

1/x log cos x cos x - 1 - x / 2 2

( cos x ) = exp exp exp 1

x x x

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ≈ ⎛ ⎞ ≈ ⎜ ⎟ →

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

2

x x

1

2 ( 1 - cos x ) ≈ x → .

La funzione si può prolungare con continuità in x = 0 , definendo f ( 0 ) = 1 . La derivata per x ≠ 0 è data da :

2 2

1/x

2

2 x ( 1 - cos x ) - x sen x

se - /2 x < 0 2 ( 1 - cos x )

f ' ( x ) =

- x tg x - log cos x

( cos x ) se 0 < x /2

x

⎧ π ≤

⎪⎪ ⎨

⎪ ≤ π

⎪⎩

.

Per vedere se esiste anche per x = 0 , dobbiamo calcolare il limite della derivata per x → 0 da entrambe le direzioni : lo faremo utilizzando il teorema dell’Hôpital , dopo aver sostituito i fattori ( cos x ) ^1/x con il suo limite 1 e ( 1 – cos x ) ² con x ⁴ / 4.

Per x → 0 ^-

2 4

2 x ( 1 - cos x ) - x sen x

x / 2 = 4 ( 1 - cos x ) - 2 x sen x ₃

x _H ⁼ 2 sen x - 2 x cos x ₂

3 x ^H

= _H ⁼ 2 x sen x

6 x → 0

Per x → 0 ⁺

- x tg x - log cos x ₂

x _H ⁼

- x ( 1 + tg x ) 2

2 x ^{→ -1/2 .}

Nel punto x = 0 la funzione non è derivabile ( punto angoloso ) .

3.

La funzione è pari ed ha periodo π : basterà dunque studiarla per 0 ≤ x ≤ π / 2 . C.E. sen ² x – cos ² x > 0 ⇔ 1 - 2 cos x > 0 ² ⇔ -1/ 2 < cos x < 1/ 2 ⇔

x ( /4 , /2 ] ∈ π π

SGN f ( x ) ≥ 0 ⇔ sen ² x – cos ² x ≥ 1 ⇔ 1 - 2 cos x 1 ² ≥ ⇔ - 2 cos x 0 ² ≥

La funzione è sempre negativa , eccetto che per x = π / 2 in cui si annulla

LIM per x → π / 4 f ( x ) → -∞

DRV 4 sen x cos x _{2 2} f ' ( x ) =

sen x - cos x

Nel C.E. la derivata è sempre positiva ; si annulla per x = π / 2 .

Dunque nel CE la funzione è crescente ed assume valore massimo per x = π / 2.

DRV

2 2 2 2 2

2 2 2

( sen x - cos x ) + 4 sen x cos x f " ( x ) = - 4

( sen x - cos x )

La derivata seconda è sempre negativa e dunque la funzione è sempre concava.