1 LA CIRCONFERENZA 1
Appunti ed esercizi sulle coniche
Versione del 21 Marzo 2011
1 La circonferenza
Nel piano R2, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O e raggio r `e il luogo dei punti P che distano r da O. Se P = (x, y), si ha che la distanza di P da O `e
|P O| =p
(x − a)2+ (y − b)2.
La circonferenzaC `e dunque il luogo dei punti P = (x, y) che soddisfano l’equazione p(x − a)2+ (y − b)2= r,
oppure, elevando al quadrato:
(x − a)2+ (y − b)2= r2 Questa `e l’equazione della circonferenza. Se la si sviluppa otteniamo:
x2+ y2− 2ax − 2by + a2+ b2− r2= 0.
Ponendo
α = −2a, β = −2b e γ = a2+ b2− r2 (1)
l’equazione diventa
x2+ y2+ αx + βy + γ = 0. (2)
Quindi tutte le volte che vediamo una equazione di questo tipo sappiamo che potrebbe rappresentare una circonferenza. Il raggio e le coordinate del centro si possono ricavare dalle equazioni (1), ovvero
O = (−α/2, −β/2) e r = rα2
4 +β2 4 − γ.
Attenzione per`o! La (2) non sempre rappresenta una circonferenza, perch`e pu`o anche rappresentare l’insieme vuoto, ovvero potrebbe non avere alcuna soluzione. Oppure potrebbe rappresentare un cerchio di raggio zero, ovvero un solo punto. Per rappresentare una circonferenza deve valere la disuguaglianza
α2 4 +β2
4 − γ > 0.
altrimenti il raggio sarebbe nullo oppure dato dalla radice di un numero negativo.... e questo non `e possibile (a meno che non si voglia parlare di cerchi con raggio immaginario....). Nel caso in cui la parte sinistra risultasse nulla, la (2) `e soddisfatta dal solo punto (−α/2, −β/2) che `e un cerchio di raggio zero...
Equazione canonica del cerchio di raggio r:
X2+ Y2= r2.
In questo caso il centro del cerchio `e l’origine. Ogni cerchio pu`o essere portato ad avere centro nell’origine tramite una traslazione. Oppure, il sistema di riferimento pu`o essere scelto in modo che l’origine sia nel centro.
2 LA PARABOLA 2
2 La parabola
Nel piano, siano fissati un punto F e una rettaR, tale che F /∈ R. La parabola con fuoco F e direttrice R `e il luogo dei punti P la cui distanza da F `e pari alla distanza dalla retta R. Quindi, se P `e un punto generico e H `e il punto di intersezione tra la rettaR e la perpendicolare a R passante per P , la parabola `e il luogo dei punti P che soddisfano
|P F | = |P H| (3)
Per ricavare l’equazione della parabola, poniamoci in un sistema di riferimento cartesiano tale che, per un certo numero d 6= 0, il fuoco F abbia coordinate 0,d2 e la direttriceR sia data dall’equazione y = −d2. Nota che d pu`o essere sia positivo che negativo, l’importante `e che |d| sia la distanza del fuoco dalla direttrice. Quindi H = x, −d2. La (3), elevata al quadrato, diventa
x2+
y −d
2
2
=
y +d
2
2 . Dalla quale ricaviamo
y =x2 2d. Ponendo α =2d1 si ricava l’equazione canonica della parabola:
Y = αX2
Nota che se α < 0 (ovvero d < 0) allora la parabola `e rivolta verso il basso, mentre `e rivolta verso l’alto se α > 0 (ovvero d > 0). Notiamo anche che una parabola `e sempre simmetrica rispetto alla retta passante per il fuoco e ortogonale alla direttrice (chiamata asse di simmetria della parabola). In questo caso l’asse di simmetria
`e l’asse delle Y , ovvero X = 0. Questo lo si vede anche dal fatto che (X, Y ) soddisfa l’equazione se e solo se la soddisfa (−X, Y ). Il punto di intersezione tra la parabola e il suo asse di simmetria si chiama vertice della parabola, ed `e il punto intermedio tra F e la direttrice. Nel nostro caso il vertice `e chiaramente l’origine.
Nota che se svolgo lo stesso calcolo assumendo che il mio sistema riferimento `e scelto in modo che il fuoco F ha coordinate (a, b +d2) e la direttrice ha equazione y = b −d2, ovvero il vertice ha coordinate (a, b), ottengo l’equazione
y − b = (x − a)2 2d . Sviluppandola ottengo una equazione del tipo
y = αx2+ βx + γ, (4)
dove
α = 1
2d, β = −a
d e γ = a2
2d+ b. (5)
E quindi chiaro che una equazione del tipo (4), con α 6= 0 rappresenta sempre una parabola, della quale posso` ricavarmi le coordinate (a, b) del vertice, del fuoco F = (a, b + d2) e l’equazione della direttrice y = b − d2 utilizzando le (5).
3 L’ellisse
Sul piano, presi due punti distinti F e F0 e un numero fissato a > 0, l’ellisse con fuochi F e F0 `e il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze di P da F e F0 `e uguale a 2a. Quindi l’ellisse `e il luogo dei punti P che soddisfano
|P F | + |P F0| = 2a (6)
4 L’IPERBOLE 3
Notiamo che per la disuguaglianza triangolare, si ha che qualsiasi punto P soddifa |P F | + |P F0| ≥ |F F0| e l’uguaglianza `e soddisfatta solo dai punti che si trovano sul segmento F F0. Quindi se vogliamo che la (6) non dia l’insieme vuoto, dobbiamo imporre
2a ≥ |F F0|. (7)
Nel caso valga l’uguaglianza, si ottiene un ellisse degenere data dal segmento F F0. Posto che 2c = |F F0|, ricaviamo l’equazione dell’ellisse ponendoci in un sistema di riferimento in cui i fuochi abbiano coordinate F = (c, 0) e F0= (−c, 0). In questo caso, se P = (x, y) `e un punto generico, la (6) diventa
p(x − c)2+ y2+p
(x + c)2+ y2= 2a Svolgiamo i calcoli, in modo da scrivere questa equazione in una forma migliore:
p(x − c)2+ y2= 2a −p
(x + c)2+ y2. Elevando al quadrato:
(x − c)2+ y2= 4a2+ (x + c)2+ y2− 4ap
(x + c)2+ y2. Sviluppando e semplificando:
a2+ cx = ap
(x + c)2+ y2 Elevando ancora al quadrato:
a4+ c2x2+ 2a2cx = a2x2+ 2a2cx + a2c2+ a2y2 Semplificando ancora:
(a2− c2)x2+ a2y2= a2(a2− c2).
Nota che la (7) equivale nel nostro caso a a ≥ c, quindi riusciamo a trovare b tale che b2= a2− c2. Sostituendo otteniamo l’equazione canonica dell’ellisse:
x2 a2 +y2
b2 = 1. (8)
Notiamo che se (x, y) soddisfa questa equazione, allora la soddisfano anche i punti (−x, y) e (x, −y). Questo significa che l’ellisse `e simmetrica rispetto agli assi delle x e delle y. Ovvero, una qualsiasi ellisse `e simmetrica rispetto alla retta su cui giacciono i due fuochi e rispetto all’ortogonale a questa, passante per il punto intermedio tra i due fuochi. Il punto intermedio tra i due fuochi `e chiamato centro dell’ellisse e la retta su cui giacciono i fuochi `e detta asse focale. L’ellisse interseca l’asse focale in due punti A e A0 e interseca l’ortogonale all’asse focale passante per il centro in altri due punti B e B0. Nel caso dell’ellisse data dalla (8) questi punti sono A = (a, 0), A0 = (−a, 0), B = (0, b) e B0 = (0, −b). I punti A, A0, B e B0 si chiamano vertici dell’ellisse.
I segmenti AA0 e BB0 si chiamano rispettivamente asse maggiore e asse minore dell’ellisse. Chiaramente
|AA0| = 2a e |BB0| = 2b.
Osserviamo che avendo posto i fuochi sull’asse delle x, nella nostra equazione a > b. Tuttavia si pu`o assumere anche che sia a < b. In questo caso la (8) rappresenta un’ellisse il cui asse maggiore, e quindi i fuochi, giacciono sull’asse delle y. Nel caso a = b, l’equazione `e quella del cerchio, ovvero possiamo considerare il cerchio come un’ellisse che ha assi della stessa lunghezza.
4 L’iperbole
Sul piano, presi due punti distinti F e F0 e un numero fissato a > 0, l’iperbole con fuochi F e F0 `e il luogo dei punti P tali che la differenza tra le distanze di P da F e da F0 `e uguale a 2a o a −2a. Quindi l’iperbole `e il luogo dei punti P che soddisfano
|P F | − |P F0| = ±2a (9)
4 L’IPERBOLE 4
In questo caso dalla disuguaglianza triangolare |P F0| + |F F0| ≥ |P F | ricaviamo che dobbiamo avere
0 < 2a < |F F0| (10)
per evitare di avere l’insieme vuoto o casi degeneri.
Posto che 2c = |F F0|, ricaviamo l’equazione dell’iperbole ponendoci in un sistema di riferimento in cui i fuochi abbiano coordinate F = (c, 0) e F0 = (−c, 0). In questo caso, se P = (x, y) `e un punto generico, la (6) diventa
p(x − c)2+ y2−p
(x + c)2+ y2= ±2a.
Svolgiamo i calcoli, in modo da scrivere questa equazione in una forma migliore:
p(x − c)2+ y2= ±2a +p
(x + c)2+ y2. Elevando al quadrato:
(x − c)2+ y2= 4a2+ (x + c)2+ y2± 4ap
(x + c)2+ y2. Sviluppando e semplificando:
a2+ cx = ±ap
(x + c)2+ y2 Elevando ancora al quadrato:
a4+ c2x2+ 2a2cx = a2x2+ 2a2cx + a2c2+ a2y2 Semplificando ancora:
(a2− c2)x2+ a2y2= a2(a2− c2).
Nota che la (10) equivale nel nostro caso a a < c, quindi riusciamo a trovare b tale che b2= c2− a2. Dividendo per a2− c2 e sostituendo otteniamo l’equazione canonica dell’iperbole:
x2 a2 −y2
b2 = 1. (11)
Notiamo anche in questo caso che se (x, y) soddisfa questa equazione, allora la soddisfano anche i punti (−x, y) e (x, −y). Questo significa che l’iperbole `e simmetrica rispetto agli assi delle x e delle y. Ovvero, una qualsiasi iperbole `e simmetrica rispetto alla retta su cui giacciono i due fuochi (asse focale) e rispetto all’ortogonale a questa, passante per il punto intermedio tra i due fuochi (centro dell’iperbole). L’iperbole interseca l’asse focale in due punti A e A0. Nel caso dell’iperbole data dalla (11) il suo centro `e l’origine e A = (a, 0), A0= (−a, 0). I punti A e A0 si chiamano vertici dell’iperbole. E’ chiaro che l’iperbole dell’equazione (11) non interseca l’asse delle y. Quindi l’iperbole `e composta di due rami simmetrici, quello a destra dell’asse delle y e quello a sinistra.
Ora studiamo le intersezioni tra l’iperbole e le rette passanti per l’origine. Ovvero risolviamo il sistema (x2
a2 −yb22 = 1 y = mx Si ottiene che
x2= a2b2 b2− a2m2.
Affinch`e questa equazione abbia una soluzione reale, ovvero affinch`e la retta in questione intersechi l’iperbole, occorre che
b2− a2m2> 0 ovvero che la pendenza m della retta soddisfi
−b
a < m < b a.
5 ESERCIZI 5
Queste sono dunque le pendenze delle rette che intersecano l’iperbole. I due punti di intersezione hanno coordinate
ab
√
b2− a2m2, mab
√
b2− a2m2
e
− ab
√
b2− a2m2, − mab
√
b2− a2m2
Le rette che separano quelle che intersecano l’iperbole da quelle che non la intersecano hanno equazione y = b
ax e y = −b ax
Queste rette sono gli asintoti dell’iperbole, alle quali l’iperbole si avvicina infinitamente senza mai intersecarle.
Osserviamo che se poniamo i fuochi sull’asse delle y, anzich`e delle x, otteniamo l’equazione y2
a2 −x2 b2 = 1.
Consideriamo ora le iperboli che hanno i due asintoti fra loro ortogonali. Nell’equazione canonica, queste sono quelle in cui a = b, quindi con equazione
x2− y2= a2
Questo tipo di iperbole si dice equilatera. In questo caso gli asintoti sono x = y e x = −y. Poniamoci ora in un sistema di riferimento ortogonale che abbia come assi gli asintoti. La base, ortonormale, del nuovo riferimento `e dunque f1=√
2 2 , −
√ 2 2
, f2=√
2 2 ,
√ 2 2
. Se indichiamo con (X, Y ) le coordinate rispetto a questo riferimento, il cambiamento di coordinate `e dato da
(x = X+Y√
2
y = X−Y√
2
Quindi otteniamo che la nuova equazione `e
XY = a2 2 . Questa `e l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti.
5 Esercizi
La circonferenza
1. Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C = (2, 5) e raggio r = 1.
[x2 + y2 + 4x − 10y + 28 = 0]
2. Data la circonferenza x2+ y2− 3x − 7y −32 = 0, trovare il centro ed il raggio.
[ C =“ 3 2, 72
” , r = 1 ]
3. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti: O = (0, 0), A = (2, 1) e B = (2, 5) e calcolarne centro e raggio. Scrivere inoltre l’equazione della retta tangente a tale circonferenza nell’origine.
[ x2 + y2 + 12x − 6y = 0, C =
“
− 14, 3
” , r =
√145
4 , x − 12y = 0 ]
4. Determinare la retta tangente alla circonferenza x2+ y2− 2x − 1 = 0 nel punto P = (1,√
2). Determinare poi, se esistono, le rette tangenti alla circonferenza e passanti per il punto Q = (3, 0).
5 ESERCIZI 6
[ y = −√
2, {−x + y + 3 = 0, x + y − 3 = 0 } ]
5. Scrivere l’equazione della circonferenza avente centro sulla retta x + y = 0 e passante per i punti A = (2, 2) e B = (0, 2).
[ x2 + y2 − 2x + 2y − 8 = 0]
6. Scrivere l’equazione della circonferenza avente centro sulla retta x − y = 0 e passante per i punti A = (1, 0) e B = (0, 2). Trovarne centro e raggio e scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A.
[ x2 + y2 − 3x − 3y + 2 = 0, C =“ 3 2, 32
” , r =
√ 10
2 , x + 3y + 1 = 0 ]
7. Scrivere l’equazione della circonferenza tangente alla retta x − 2y + 1 = 0 nel punto T = (1, 0) e passante per A = (−1, 4). Trovarne centro e ragggio e scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A.
[ x2 + y2 − 4y − 1 = 0, C = (0, 2), r =√
5, 2x + y − 2 = 0 ]
8. Scrivere l’equazione della circonferenza avente centro sulla retta x−2 = 0 e tangente alla retta x+y +3 = 0 nel punto T = (0, −3). Trovarne centro e raggio.
[ x2 + y2 − 4x + 2y − 3 = 0, C = (2, −1), r = 2√ 2 ]
La parabola
1. Scrivere l’equazione della parabola di fuoco F = (1, 2) e di vertice V = (0, 2).
[ y2 − 4x − 4y + 4 = 0 ]
2. Scrivere l’equazione della parabola avente vertice V = (1, 1) e direttrice d : x − y + 2 = 0. Trovare riferimento ed equazione canonica.
[ x2 + y2 + 2xy − 12x + 4y + 4 = 0, 8
<
: X =√1
2(x + y − 2) Y =√1
2(x − y) , Equazione canonica: Y 2 = 4√
2X, F = (2, 0)]
3. Scrivere l’equazione della parabola avente fuoco F = (0, 2) e direttrice d : x − 2y = 0. Trovare riferimento ed equazione canonici.
[ 4x2 + y2 + 4xy − 20y + 20 = 0, 8
<
: X =√1
5(−x + 2y − 1) Y =√1
5(−2x − y + 2) , Equazione canonica: Y 2 =√8 5X]
4. Scrivere l’equazione della parabola avente vertice V = −1009 ,1001 e tale che la distanza del fuoco dalla direttrice sia
√5 25.
[ 4x2 + y2 − 4xy − y = 0, 8
>
<
>: x =√1
5(X − 2Y − 9
√ 5 100) y = √1
5(2X + Y +
√ 5 100)
, Equazione canonica: Y 2 = 2
√5 25 X]
5 ESERCIZI 7
L’ellisse
1. Trovare l’ellisse di centro O = (0, 0), avente |AO| = 6 e |BO| = 5.
[ x2 36+y2
25 = 1]
2. Trovare i vertici ed i fuochi dell’ellisse x2+ 16y2= 4.
[ A0 = (−2, 0), A = (2, 0), B0 = (0, −1/2), B = (0, 1/2), F = (√
15/2, 0), F 0 = (−√ 15/2, 0)]
3. Trovare l’equazione dell’ellisse avente fuochi F = (2, 1) e F0 = (0, 1) e passante per Q = (1, 2).
[ x2 + 2y2 − 2x − 4y + 1 = 0]
4. Trovare i vertici ed i fuochi dell’ellisse di equazione 5x2+ (y − 7)2= 3.
[ C = (0, 7), A0 =
„
−q 3 5, 7
« , A =
„q 3 5, 7
«
, B0 = (0, 7 −√
3), B = (0, 7 +√ 3), F =
„ 0, 7 + 2q 3
5
« , F 0 =
„ 0, 7 − 2q 3
5
« ]
5. Scrivere l’equazione dell’ellisse avente due vertici relativi allo stesso asse nei punti A0= (0, 0) e A = (6, 0) e passante per il punto P = (1, 1). Trovare riferimento ed equazione canonici e determinare le formule di trasformazione da un riferimento all’altro.
[ (
X = x − 3
Y = y , Equazione canonica: X2
9 + 89Y 2 = 1, Equazione rispetto a vecchi assi: x2
9 − 23x + 89y2 = 0]
6. Scrivere l’equazione dell’ellisse avente fuochi F0= (0, 1) e F = (1, 0) e passante per O = (0, 0). Trovare il riferimento canonico e la relativa equazione canonica.
[ Equazione ellisse: 3x2 + 3y2 + 2xy − 4x − 4y = 0, 8
<
: X =√1
2(x − y) Y =√1
2(x + y − 1) , Equazione canonica: X2
9 + 2Y 2 = 1]
7. Scrivere l’equazione del luogo di punti del piano tali che le distanze dai punti A = (1, 0) e B = (−1, 0) abbiano rapporto constante pari a k = 3. Verificare che tale luogo `e una circonferenza e determinarne centro e raggio. Esiste qualche valore di k per cui tale luogo non `e una circonferenza?
L’iperbole
1. Determinare centro, assi e asintoti dell’iperbole (x − 8)y = 21.
[ C = (8, 0), Asintoti: x = 8, y = 0. Assi: y = x − 8 e y = −x + 8.]
2. Determinare il parametro k in modo che l’iperbole 3x2− ky2= 1 sia equilatera.
[ k = 3]
3. Trovare l’iperbole avente per asintoti le rette y = −6x, y = 6x e distanza tra i fuochi uguale a 4.
[ 37x2 4 −37y2
144 = 1]
4. Determinare l’equazione dell’iperbole di asintoti 2x − y = 0 e x + 2y = 0 e passante per il punto P = (1, 0).
[ 2x2 − 2y2 + 3xy − 2 = 0, 8
<
: X =√1
5(2x − y) Y =√1
5(x + 2y) ]
5 ESERCIZI 8
5. Scrivere l’equazione dell’iperbole di fuochi F0 = (1, 2) e F = (1, −1) e passante per il punto A = (1, 0).
Determinare inoltre riferimento ed equazioni canonici.
[ x2 − 8y2 − 2x + 8y + 1 = 0,
(X = x − 1 Y = y − 12
, Equazione canonica: X2
2 − 4Y 2 = 1]
6. Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera di asintoti x + 3y − 1 = 0, 3x − y − 1 = 0, passante per il punto O = (0, 0). Determinare inoltre riferimento ed equazione canonici.
[ 3x2 − 3y2 + 8xy − 4x − 2y = 0, 8
<
: X =√1
5(x − 2y) Y =√1
5(2x + y − 1) , Equazione canonica: −5X2 + 5Y 2 = 1]
