Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 1 febbraio 2013

(1)

Università degli Studi di Siena

Dipartimento di Economia e Statistica

Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 12-13) 1 febbraio 2013

Compito

")

E F G ÐEÑ ÐE ∩ GÑ F § ÐE ∩ GÑ ÐF ∩ GÑ § ÐEÑ

" " " ! ! J

" " ! ! " Z Z

" ! " ! ! Z Z

" ! ! ! " Z Z

! " " " " Z Z

! " ! " " Z Z

! ! " " " Z Z

! ! ! " " Z Z

V V V V

La condizione F § ÐE ∩ GÑV è verificata in tutti i casi tranne il primo quindi consideriamo solo le righe ove risulta vera, dato che in questi casi la condizione ÐF ∩ GÑ § ÐEÑV risulta vera concludiamo che la risposta è affermativa.

#) Riflessiva: ag −“ g, e sono isoperimetrici? Vero, banale.g

Simmetrica : aÐ ßg_" g_#Ñ − “^#, g_" e g_# sono isoperimetriciÊg_# e g_" sono isoperimetrici? Vero, banale.

Antisimmetrica: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# sono isoperimetrici e g_# e g_" sono isoperimetriciÑ Êg_" œg_#? Falso, controesempio g_" triangolo equilatero e g_# triangolo scaleno con lo stesso perimetro di g_".

Transitiva: aÐ ßg_" g_#ßg_$Ñ −“^$, Ðg_" e g_# sono isoperimetrici e g_# e g_$ sono isoperimetriciÑ Ê Ðg_" e g_$ sono isoperimetrici ? Vero, banale.Ñ

Completa: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# sono isoperimetrici o Ñ Ðg_# e g_" sono

isoperimetrici o Ñ Ðg_" œg_#Ñ? Falso, controesempio g_" e g_# due triangoli equilateri di diverso perimetro.

$)

637

0 ÐBÑ œ

637

B " œ ";

637

0 ÐBÑ œ

637

+B , œ , à 0 è

B Ä ! B Ä !È B Ä ! B Ä !

continua in Ò $ß $Ó se e soltanto se , œ ".

0 Ð $Ñ † 0 Ð$Ñ œ ÐÈ$ "Ñ † Ð$+ ,Ñ Ÿ ! se e soltanto se $+ , Ÿ ! ovvero + Ÿ ^"_$. e esistono, una possibile coppia di valori è ad esempio + , + œ " e , œ ".

% & & œ & & œ " œ "

#& #& Ð& &ÑÐ& &Ñ & & "!

)

637 637 637

.

B Ä " B Ä " B Ä "

B B

B B B B

Posto C œ , B >1" >1 " œ " >1 C >1 C œ

B B C

"

B _{B Ä ∞}

637

#

637

#

C Ä !

ˆ ‰ ˆ ‰

C Ä !

637

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C C œ " ! œ "

#

.

& GÞIÞ B * ! Ê B * GÞIÞ œ Ò *ß ∞Ò) : . .

Segno: BÈB * ! Ê B ! C !. in Ò!ß ∞Ò C Ÿ !, in Ò *ß !Ó. Intersezioni:

œB œ !È œ œC œ !È œC œ !È

C œ B B * Ê B œ ! C œ B B * Ê B B * œ ! Ê C œ ! .

œC œ !

B œ * ” B œ ! . Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ EÐ *ß !Ñ e .

(2)

Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä ∞

637

BÈB * œ ∞;

637 637

B Ä ∞ B Ä ∞

B B *

B œ B * œ ∞Þ

È È La funzione non presenta

asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ B * B † " œ $B ") .

# B * # B *

w È

È È

$B ")

# B * ! Ê $B ") ! Ê B ' B œ '

È . Minimo assoluto in pari a

CÐ 'Ñ œ ' $ C œ ∞ E

È .

637

* . è punto di cuspide.

B Ä w

Concavità e convessità:

C œ œ

$ † # B * Ð$B ")Ñ † # †

Ð# B *Ñ %Ð B *Ñ

$B $'

ww

"

# B*

# $

È

È ^È È .

C ! aB 1 *^ww , . La funzione è strettamente convessa nel suo campo di esistenza.

Grafico:

') Integriamo per parti:

'

ˆB †logÐ#BÑ .B œ B †‰ _#^" ^# logÐ#BÑ

'

ˆ^"_#B †^# _#B^" † # .B œ‰

" " " "

#B †# logÐ#BÑ

'

#B .B œ B †# # logÐ#BÑ B 5% # ^.

7) I vettori devono soddisfare le condizioni: Y Y † Z œ ? #? œ !_" _$ ;

Y † [ œ ? #? œ !_# _$ e È? ? ? œ $_"^# _#^# _$^# . Le prime due condizioni forniscono ? œ #?_" _$ e ? œ #?_# _$ che sostituite nella terza danno È*? œ $_$^# ovvero ? œ „"$ . I vettori sono Y Ð…#ß „#ß „"Ñ.

8) f0 œ Ð$B %Bß )C $Ñ^# .

(3)

J SG $B %B œ ! Ê EÐ!ß Ñ

)C $ œ !

B œ ! ” B œ C œ

: œ ^#  . Punti critici e

%

$ $ )

$ )

FÐ ß Ñ^%_$ ^$₎ .

[0 œ 'B % ! à l 0 l œ $# %)B[

! )

” • .

WSG l 0 ÐEÑl œ $# 1 ! 0 ÐEÑ œ ) < ! E: [ ; _CC^ww . massimo.

l 0 ÐFÑl œ $# < ! F[ . sella.

(4)

Compito

")

E F G ÐFÑ ÐFÑ § E ∩ G ÐE ∪ GÑ § F

" " " ! Z Z

" " ! ! Z Z

" ! " " Z J

" ! ! " J

! " " ! Z Z

! " ! ! Z Z

! ! " " J

! ! ! " J

V V

La condizione VÐFÑ § E ∩ G è verificata solo in cinque casi quindi consideriamo solo le righe ove risulta vera, dato che nel terzo caso la condizione ÐE ∪ GÑ § F risulta falsa concludiamo che la risposta è negativa.

#) Riflessiva: ag −“ g, e hanno la stessa area? Vero, banale.g

Simmetrica : aÐ ßg_" g_#Ñ − “^#, g_" e g_# hanno la stessa areaÊg_# e g_" hanno la stessa area? Vero, banale.

Antisimmetrica: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno la stessa area e g_# e g_" hanno la stessa areaÑ Ê g_" œg_#? Falso, controesempio g_" triangolo di base e altezza e& # g_# triangolo di base e altezza 5.#

Transitiva: aÐ ßg_" g_#ßg_$Ñ −“^$, Ðg_" e g_# hanno la stessa area e g_# e g_$ hanno la stessa areaÑ Ê Ðg_" e g_$ hanno la stessa area ? Vero, banale.Ñ

Completa: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno la stessa area o Ñ Ðg_# e g_" hanno la stessa area o Ñ Ðg_" œg_#Ñ? Falso, controesempio g_" e g_# due triangoli equilateri di diversa area.

$)

637

0 ÐBÑ œ

637

#B # œ #;

637

0 ÐBÑ œ

637

+B , œ , à 0 è

B Ä ! B Ä !È B Ä ! B Ä !

continua in Ò #ß #Ó se e soltanto se , œ # 0 Ð #Ñ † 0 Ð#Ñ œ % † Ð#+ ,Ñ Ÿ !. se e soltanto se #+ , Ÿ ! ovvero + Ÿ " + ,. e esistono, una possibile coppia di valori è ad esempio + œ # , œ # e .

% * * œ * * œ " œ "

)" )" Ð* *ÑÐ* *Ñ * * ")

)

637 637 637

.

B Ä " B Ä " B Ä "

B B

B B B B

Posto C œ , B =/8 " =/8 " œ " =/8 C =/8 C œ

B B C

"

B

# #

637 637

B Ä ∞ ˆ ‰ C Ä ! ˆ ‰

C Ä !

637

ˆ=/8 C =/8 C‰

C C œ " ! œ "

#

.

& GÞIÞ B ' ! Ê B ' GÞIÞ œ Ò 'ß ∞Ò) : . .

Segno: BÈB ' ! Ê B ! C !. in Ò!ß ∞Ò C Ÿ !, in Ò 'ß !Ó. Intersezioni:

C œ B B ' Ê B œ ! C œ B B ' Ê B B * œ ! Ê C œ ! .

œC œ !

B œ ' ” B œ ! . Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ EÐ 'ß !Ñ e . Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä ∞

637

BÈB ' œ ∞;

637 637

B Ä ∞ B Ä ∞

B B '

B œ B ' œ ∞Þ

asintoti.

(5)

Crescenza e decrescenza: C œ B ' B † " œ $B "# .

# B ' # B '

w È

È È

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# B ' ! Ê $B "# ! Ê B % B œ %

CÐ %Ñ œ % # C œ ∞ E

È .

637

' . è punto di cuspide.

B Ä w

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$B #%

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"

# B'

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È

È ^È È .

C ! aB 1 '^ww , . La funzione è strettamente convessa nel suo campo di esistenza.

Grafico:

'

ˆB †logÐ%BÑ .B œ B †‰ _#^" ^# logÐ%BÑ

'

ˆ^"_#B †^# _%B^" † % .B œ‰

" " " "

#B †# logÐ%BÑ

'

#B .B œ B †# # logÐ%BÑ B 5% # ^.

7) I vettori devono soddisfare le condizioni: Y Y † Z œ ? #? œ !" $ ;

Y † [ œ ? #? œ !# $ e È? ? ? œ '"# ## $# . Le prime due condizioni forniscono ? œ #?_" _$ e ? œ #?_# _$ che sostituite nella terza danno È*? œ '_$^# ovvero ? œ „#_$ . I vettori sono Y Ð…%ß „%ß „#Ñ.

8) f0 œ Ð$B #Bß )C &Ñ^# .

J SG $B #B œ ! Ê EÐ ß Ñ

)C & œ !

B œ ” B œ !

: œ ^# C œ . Punti critici e

#

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# &

$ )

FÐ!ß Ñ^&₎ .

[0 œ 'B # ! à l 0 l œ %)B "'[

! )

” • .

WSG l 0 ÐEÑl œ "' < ! E: [ ; sella.

(6)

l 0 ÐFÑl œ "' 1 ! 0 ÐFÑ œ ) 1 ! F[ ; _CC^ww . minimo.

(7)

Compito ‚

")

E F G ÐFÑ ÐF ∪ GÑ E § ÐF ∪ GÑ ÐEÎGÑ § ÐFÑ

" " " ! ! J

" " ! ! ! J

" ! " " ! J

" ! ! " " Z Z

! " " ! ! Z Z

! " ! ! ! Z Z

! ! " " ! Z Z

! ! ! " " Z Z

V V V V

La condizione E § ÐF ∪ GÑV è verificata solo nelle ultime cinque righe quindi consideriamo solo queste righe, dato che in questi casi la condizione

ÐEÎGÑ § ÐFÑV risulta vera concludiamo che la risposta è affermativa.

#) Riflessiva: ag −“ g, e sono congruenti? Vero, banale.g

Simmetrica : aÐ ßg_" g_#Ñ − “^#, g_" e g_# sono congruentiÊg_# e g_" sono congruenti?

Vero, banale.

Antisimmetrica: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# sono congruenti e g_# e g_" sono

congruentiÑ Êg_" œg_#? Falso, controesempio g_" e g_# triangoli congruenti ma su vertici distinti.

Transitiva: aÐ ßg_" g_#ßg_$Ñ −“^$, Ðg_" e g_# sono congruenti e g_# e g_$ sono congruentiÑ Ê Ðg_" e g_$ sono congruenti ? Vero, banale.Ñ

Completa: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# sono congruenti o Ñ Ðg_# e g_" sono congruenti oÑ

Ðg_" œg_#Ñ? Falso, controesempio g_" triangolo equilatero e g_# triangolo scaleno.

$)

637

0 ÐBÑ œ

637

%B % œ %;

637

0 ÐBÑ œ

637

+B , œ , à 0 è

B Ä ! B Ä ! B Ä ! B Ä !

È

continua in Ò "ß "Ó se e soltanto se , œ % 0 Ð "Ñ † 0 Ð"Ñ œ ' † Ð+ ,Ñ Ÿ !. se e soltanto se + , Ÿ ! ovvero + Ÿ % + ,. e esistono, una possibile coppia di valori è ad esempio + œ & , œ % e .

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637 637 637

.

B Ä " B Ä " B Ä "

B B

B B B B

Posto C œ , B =/8 # =/8 " œ " =/8 #C =/8 C œ

B B C

"

B

$ $

637 637

B Ä ∞ ˆ ‰ C Ä ! ˆ ‰

C Ä !

637

ˆ=/8 #C =/8 C‰

C C œ # ! œ #

$

.

& GÞIÞ B $ ! Ê B $ GÞIÞ œ Ò $ß ∞Ò) : . .

Segno: BÈB $ ! Ê B ! C !. in Ò!ß ∞Ò C Ÿ !, in Ò $ß !Ó. Intersezioni:

C œ B B $ Ê B œ ! C œ B B $ Ê B B $ œ ! Ê C œ ! .

œC œ !

B œ $ ” B œ ! . Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ EÐ $ß !Ñ e . Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä ∞

637

BÈB $ œ ∞;

637 637

B Ä ∞ B Ä ∞

B B $

B œ B $ œ ∞Þ

asintoti.

(8)

Crescenza e decrescenza: C œ B $ B † " œ $B ' .

# B $ # B *

w È

È È

$B '

# B $ ! Ê $B ' ! Ê B # B œ #

CÐ #Ñ œ # C œ ∞ E

.

637

$ . è punto di cuspide.

B Ä w

C œ œ

$ † # B $ Ð$B 'Ñ † # †

Ð# B $Ñ %Ð B $Ñ

$B "#

ww

"

# B$

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È

È È

È .

C ! aB 1 $^ww , . La funzione è strettamente convessa nel suo campo di esistenza.

Grafico:

'

ˆ#B †logÐBÑ .B œ B †‰ ^# logÐBÑ

'

ˆB †^# ^"_B‰.B œ B †^# logÐBÑ B .B œ B †

'

^# logÐBÑ B 5^"_# ^# ^.

7) I vettori devono soddisfare le condizioni: Y Y † Z œ ? #? œ !_" _$ ;

Y † [ œ ? #? œ !_# _$ e È? ? ? œ *_"^# _#^# _$^# . Le prime due condizioni forniscono ? œ #?_" _$ e ? œ #?_# _$ che sostituite nella terza danno È*? œ *_$^# ovvero ? œ „$$ . I vettori sono Y Ð…'ß „'ß „$Ñ.

8) f0 œ Ð$B #Bß )C 'Ñ^# .

J SG $B #B œ ! Ê EÐ!ß Ñ FÐ ß Ñ

)C ' œ !

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: œ ^# œC œ $ ^#^$ . Punti critici e .

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WSG l 0 ÐEÑl œ "' < ! E: [ ; sella.

l 0 ÐFÑl œ "' 1 ! 0 ÐFÑ œ ) 1 ! F[ ; _CC^ww . minimo.

(9)

Compito ƒ

")

E F G ÐFÑ ÐGÑ ÐEÎGÑ § ÐFÑ ÐEÎFÑ § ÐGÑ

" " " ! ! Z Z

" " ! ! " J

" ! " " ! Z J

" ! ! " " Z Z

! " " ! ! Z Z

! " ! ! " Z Z

! ! " " ! Z Z

! ! ! " " Z Z

V V V V

La condizione ÐEÎGÑ § ÐFÑV è verificata in tutti i casi tranne il secondo quindi consideriamo solo le righe ove risulta vera, dato che nel terzo caso la condizione ÐEÎFÑ § ÐGÑV risulta falsa concludiamo che la risposta è negativa.

#) Riflessiva: ag −“ g, e hanno un lato di ugual lunghezza? Vero, banale.g Simmetrica : aÐ ßg_" g_#Ñ − “^#, g_" e g_# hanno un lato di ugual lunghezzaÊg_# e g_"

hanno un lato di ugual lunghezza? Vero, banale.

Antisimmetrica: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno un lato di ugual lunghezza e g_# e

g_" hanno un lato di ugual lunghezzaÑ Êg_" œg_#? Falso, controesempio g_"

triangolo equilatero con lato lungo "! e g_# triangolo scaleno con un lato lungo "!. Transitiva: aÐ ßg_" g_#ßg_$Ñ −“^$, Ðg_" e g_# hanno un lato di ugual lunghezza e g_# e g_$ hanno un lato di ugual lunghezzaÑ Ê Ðg_" e g_$ hanno un lato di ugual lunghezza ?Ñ Falso, controesempio g_" triangolo equilatero con lato lungo "!, g_# triangolo scaleno con lati lunghi "!, 12 e 14 e g_$ triangolo equilatero con lato lungo 4."

Completa: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno un lato di ugual lunghezza o Ñ Ðg_# e g_"

hanno un lato di ugual lunghezza o Ñ Ðg_" œ g_#Ñ? Falso, controesempio g_" triangolo equilatero con lato lungo 10 e g_# triangolo equilatero con lato lungo 20.

$)

637

0 ÐBÑ œ

637

+B , œ ,;

637

0 ÐBÑ œ

637

B & œ & à 0 è

B Ä ! B Ä ! B Ä ! B Ä !

$

continua in Ò #ß #Ó se e soltanto se , œ & 0 Ð #Ñ † 0 Ð#Ñ œ Ð #+ ,Ñ † $ Ÿ !. se e soltanto se #+ , Ÿ ! ovvero + ^&_#. e esistono, una possibile+ , coppia di valori è ad esempio + œ ! , œ & e .

% "' "' œ Ð% %ÑÐ% %Ñ œ Ð% %Ñ œ )

% % % %

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637 637 637

.

B Ä " B Ä " B Ä "

B B B

B B

B

Posto C œ , B † =/8 $ œ " † =/8 $C œ

B C

"

B

#

637 637

#

B Ä ∞ C Ä !

637 637

C Ä !=/8 $C C Ä !=/8 $C " ∞ ∞

C_# œ C † C œ $ † Ð Ñ œ .

& GÞIÞ ' B ! Ê B Ÿ ' GÞIÞ œ Ó ∞ß 'Ó) : . .

Segno: BÈ' B ! Ê B ! C !. in Ò!ß 'Ó C Ÿ !, in Ó ∞ß !Ó. Intersezioni:

C œ B ' B Ê B œ ! C œ B ' B Ê B ' B œ ! Ê C œ ! .

œC œ !

B œ ! ” B œ ' . Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ EÐ'ß !Ñ e . Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä ∞

637

BÈ' B œ ∞;

(10)

637 637

B Ä ∞ B Ä ∞

B ' B

B œ ' B œ ∞Þ

asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ ' B B † " † Ð "Ñ œ "# $B .

# ' B # ' B

w È

È È

"# $B

# ' B ! Ê "# $B ! Ê B Ÿ % Ó ∞ß %Ó

È . Funzione crescente in ,

decrescente in Ò%ß 'Ó. Massimo assoluto in B œ % pari a CÐ%Ñ œ %È#.

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637

'C œ ∞ E^w . è punto di cuspide.

C œ œ

$ † # ' B Ð"# $BÑ † # † † Ð "Ñ

Ð# ' BÑ %Ð ' BÑ

$B #%

ww

"

# 'B

# $

È

È ^È È .

C Ÿ ! aB < '^ww , . La funzione è strettamente concava nel suo campo di esistenza.

Grafico:

') Integriamo iterativamente per parti:

'

log^#Ð$BÑ .B œ B †log^#Ð$BÑ

'

ˆB † # †logÐ$BÑ † _$B^" † $ .B œ‰ B †log^#Ð$BÑ # †

'

logÐ$BÑ .B œ

B †log^#Ð$BÑ #B †logÐ$BÑ

'

ˆ#B † _$B^" † $ .B œ‰ B †log^#Ð$BÑ #B †logÐ$BÑ # .B œ

'

B †log^#Ð$BÑ #B †logÐ$BÑ #B 5.

7) I vettori devono soddisfare le condizioni: Y Y † Z œ ? ? œ !_" _# ;

Y † [ œ ? ? œ !_# _$ e È? ? ? œ #_"^# _#^# _$^# È$. Le prime due condizioni forniscono ? œ ? œ ?_" _# _$ che sostituite nella terza danno È$? œ #_"^# È$ ovvero

? œ „#_" . I vettori sono Y Ð„#ß …#ß „#Ñ. 8) f0 œ Ð$B "'Bß )C "Ñ^# .

(11)

J SG $B "'B œ ! Ê EÐ!ß Ñ

)C " œ !

B œ ! ” B œ

: œ ^# C œ . Punti critici e

"'

" $ )

"

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$ ) .

[0 œ 'B "' ! à l 0 l œ "#) %)B[

! )

” • .

WSG l 0 ÐEÑl œ "#) 1 ! 0 ÐEÑ œ ) < ! E: [ ; _CC^ww . massimo.

l 0 ÐFÑl œ "#) < ! F[ . sella.

(12)

Compito „

")

E F G ÐEÎGÑ ÐEÎGÑ § F ÐEÎFÑ § G

" " " " Z Z

" " ! ! Z Z

" ! " " J

" ! ! ! Z J

! " " " Z Z

! " ! " Z Z

! ! " " J

! ! ! " J

V V

La condizione VÐEÎGÑ § F è verificata in cinque casi quindi consideriamo solo le righe ove risulta vera, dato che nel quarto caso la condizione ÐEÎFÑ § G risulta falsa concludiamo che la risposta è negativa.

#) Riflessiva: ag −“ g, e hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza? Falso,g controesempio: qualsiasi triangolo perché ha tre angoli di ugual ampiezza.

Simmetrica : aÐ ßg_" g_#Ñ − “^#, g_" e g_# hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezzaÊ g_# e g_" hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza? Vero, banale.

Antisimmetrica: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza e g_# e g_" hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezzaÑ Êg_" œg_#? Falso, controesempio g_" triangolo equilatero e g_# triangolo rettangolo con angoli di ampiezza *! '!^‰, ^‰ e $!^‰.

Transitiva: aÐ ßg_" g_#ßg_$Ñ −“^$, Ðg_" e g_# hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza e g_# e g_$ hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezzaÑ Ê Ðg_" e g_$ hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza ? Falso, controesempio Ñ g_"

triangolo rettangolo con angoli di ampiezza *! '!^‰, ^‰ e $!^‰, g_# triangolo equilatero e g_$ triangolo rettangolo con angoli di ampiezza *! '!^‰, ^‰ e $!^‰.

Completa: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza o Ñ Ðg_# e g_" hanno uno ed un solo angolo di ugual ampiezza oÑ

Ðg_" œg_#Ñ? Falso, controesempio g_" triangolo equilatero e g_# triangolo scaleno con

nessun angolo di ampiezza '!^‰.

$)

637

0 ÐBÑ œ

637

+B , œ ,;

637

0 ÐBÑ œ

637

B $! œ $! à 0 è

B Ä ! B Ä ! B Ä ! B Ä !

$

continua in Ò $ß $Ó se e soltanto se , œ $!.

0 Ð $Ñ † 0 Ð$Ñ œ Ð $+ ,Ñ † Ð $Ñ Ÿ ! se e soltanto se $+ , ! ovvero + Ÿ "! + ,. e esistono, una possibile coppia di valori è ad esempio + œ #! e , œ $!.

% % % œ Ð# #ÑÐ# #Ñ œ Ð# #Ñ œ %

# # # #

)

637 637 637

.

B Ä " B Ä " B Ä "

B B B

B B

B

Posto C œ , B † =/8 " œ " † =/8 C œ

B C

"

B

#

637 637

#

B Ä ∞ C Ä !

637 637

C Ä !=/8 C C Ä !=/8 C " ∞ ∞

C_# œ C † C œ " † Ð Ñ œ .

& GÞIÞ * B ! Ê B Ÿ * GÞIÞ œ Ó ∞ß *Ó) : . .

Segno: BÈ* B ! Ê B ! C !. in Ò!ß *Ó C Ÿ !, in Ó ∞ß !Ó. Intersezioni:

C œ B * B Ê B œ ! C œ B * B Ê B * B œ ! Ê C œ ! .

(13)

œC œ !

B œ ! ” B œ * . Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ EÐ*ß !Ñ e . Limiti agli estremi del GÞIÞ:

B Ä ∞

637

BÈ* B œ ∞;

637 637

B Ä ∞ B Ä ∞

B * B

B œ * B œ ∞Þ

asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ * B B † " † Ð "Ñ œ ") $B .

# * B # * B

w È

È È

") $B

# * B ! Ê ") $B ! Ê B Ÿ ' Ó ∞ß 'Ó

È . Funzione crescente in ,

decrescente in Ò'ß *Ó. Massimo assoluto in B œ ' pari a CÐ'Ñ œ 'È$.

B Ä

637

*C œ ∞ E^w . è punto di cuspide.

C œ $ † # * B Ð") $BÑ † # † † Ð "Ñ œ

Ð# * BÑ %Ð * BÑ

$B $'

ww

"

# *B

# $

È

È È

È .

C Ÿ ! aB < *^ww , . La funzione è strettamente concava nel suo campo di esistenza.

Grafico:

'

^log^#ÐBÑ .B œ B †log^#ÐBÑ

'

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B †log^#ÐBÑ #B †logÐBÑ

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ˆ#B † ^"_B‰.B œ B †log^#ÐBÑ #B †logÐBÑ # .B œ

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B †log^#ÐBÑ #B †logÐBÑ #B 5.

(14)

7) I vettori devono soddisfare le condizioni: Y Y † Z œ ? ? œ !_" _# ;

Y † [ œ ? ? œ !_# _$ e È? ? ? œ %_"^# _#^# _$^# È$. Le prime due condizioni forniscono ? œ ? œ ?_" _# _$ che sostituite nella terza danno È$? œ %_"^# È$ ovvero

? œ „%_" . I vettori sono Y Ð„%ß …%ß „%Ñ. 8) f0 œ Ð$B "'Bß #C $Ñ^# .

J SG $B "'B œ ! Ê EÐ!ß Ñ

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B œ ! ” B œ C œ

: œ ^# œ $ ^"'^$ . Punti critici e

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FÐ ß Ñ^"'_$ ^$_# .

[0 œ 'B "' ! à l 0 l œ "#B $#[

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” • .

WSG l 0 ÐEÑl œ $# < ! E: [ . sella.

l 0 ÐFÑl œ $# 1 ! 0 ÐFÑ œ # 1 ! F[ ; _CC^ww . minimo.

(15)

Compito …

")

E F G ÐF ∪ GÑ EÎ ÐF ∪ GÑ § F E § F

" " " ! Z Z

" " ! ! Z Z

" ! " ! J

" ! ! " Z J

! " " ! Z Z

! " ! ! Z Z

! ! " ! Z Z

! ! ! " Z Z

V V

La condizione EÎ ÐF ∪ GÑ § FV è verificata in tutti i casi tranne il terzo quindi consideriamo solo le righe ove risulta vera, dato che nel quarto caso la condizione E § F risulta falsa concludiamo che la risposta è negativa.

#) Riflessiva: ag −“ g, e hanno due lati di ugual lunghezza? Vero, banale.g Simmetrica : aÐ ßg_" g_#Ñ − “^#, g_" e g_# hanno due lati di ugual lunghezzaÊg_# e g_"

hanno due lati di ugual lunghezza? Vero, banale.

Antisimmetrica: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno due lati di ugual lunghezza e g_# e

g_" hanno due lati di ugual lunghezzaÑ Êg_" œg_#? Falso, controesempio g_"

triangolo equilatero con lato lungo "! e g_# triangolo isoscele con base lunga e lati&

obliqui lunghi "!.

Transitiva: aÐ ßg_" g_#ßg_$Ñ −“^$, Ðg_" e g_# hanno due lati di ugual lunghezza e g_# e g_$ hanno due lati di ugual lunghezzaÑ Ê Ðg_" e g_$ hanno due lati di ugual lunghezza ?Ñ Falso, controesempio g_" triangolo scaleno con lati di lunghezza "! #! $!, e , g_# triangolo scaleno con lati di lunghezza #! $! %! g, e e $ triangolo scaleno con lati di lunghezza $! %! &!, e .

Completa: aÐ ßg_" g_#Ñ −“^#, Ðg_" e g_# hanno due lati di ugual lunghezza o Ñ Ðg_# e g_"

hanno due lati di ugual lunghezza o Ñ Ðg_" œ g_#Ñ? Falso, controesempio g_" triangolo equilatero con lato lungo 10 e g_# triangolo equilatero con lato lungo 20.

$)

637

0 ÐBÑ œ

637

+B , œ ,;

637

0 ÐBÑ œ

637

B œ ! à 0 è continua in

B Ä ! B Ä ! B Ä ! B Ä !

$

Ò %ß %Ó se e soltanto se , œ ! 0 Ð %Ñ † 0 Ð%Ñ œ Ð %+ ,Ñ † '% Ÿ !. se e soltanto se %+ , Ÿ ! ovvero + ! + ,. e esistono, una possibile coppia di valori è ad esempio + œ " , œ ! e .

% $' $' œ Ð' 'ÑÐ' 'Ñ œ Ð' 'Ñ œ "#

' ' ' '

)

637 637 637

.

B Ä " B Ä " B Ä "

B B B

B B

B

Posto C œ , B † =/8 " œ " † =/8 Ð CÑ œ

B C

"

B

#

637 637

#

B Ä ∞ C Ä !

637 637

C Ä !=/8 Ð CÑ C Ä ! =/8 Ð CÑ " ∞ ∞

C_# œ C † C œ " † Ð Ñ œ .

& GÞIÞ $ B ! Ê B Ÿ $ GÞIÞ œ Ó ∞ß $Ó) : . .

Segno: BÈ$ B ! Ê B ! C !. in Ò!ß $Ó C Ÿ !, in Ó ∞ß !Ó. Intersezioni:

C œ B $ B Ê B œ ! C œ B $ B Ê B $ B œ ! Ê C œ ! .

œC œ !

B œ ! ” B œ $ . Intersezioni nei punti SÐ!ß !Ñ EÐ$ß !Ñ e . Limiti agli estremi del GÞIÞ:

(16)

B Ä ∞

637

BÈ$ B œ ∞;

637 637

B Ä ∞ B Ä ∞

B $ B

B œ $ B œ ∞Þ

asintoti.

Crescenza e decrescenza: C œ $ B B † " † Ð "Ñ œ ' $B .

# $ B # $ B

w È

È È

' $B

#È$ B ! Ê ' $B ! Ê B Ÿ #. Funzione crescente in Ó ∞ß #Ó,

decrescente in Ò#ß $Ó. Massimo assoluto in B œ # pari a CÐ#Ñ œ #. C œ ∞.

637

$

B Ä w

E è punto di cuspide.

C œ $ † # $ B Ð' $BÑ † # † † Ð "Ñ œ

Ð# $ BÑ %Ð $ BÑ

$B "#

ww

"

# $B

# $

È

È ^È È .

C Ÿ ! aB < $^ww , . La funzione è strettamente concava nel suo campo di esistenza.

Grafico:

'

^log^#Ð&BÑ .B œ B †log^#Ð&BÑ

'

ˆB † # †logÐ&BÑ † _&B^" † & .B œ‰ B †log^#Ð&BÑ # †

'

logÐ&BÑ .B œ

B †log^#Ð&BÑ #B †logÐ&BÑ

'

ˆ#B † _&B^" † & .B œ‰ B †log^#Ð&BÑ #B †logÐ&BÑ # .B œ

'

B †log^#Ð&BÑ #B †logÐ&BÑ #B 5.

7) I vettori devono soddisfare le condizioni: Y Y † Z œ ? ? œ !" # ;

Y † [ œ ? ? œ !# $ e È? ? ? œ '"# ## $# È$. Le prime due condizioni forniscono ? œ ? œ ?_" _# _$ che sostituite nella terza danno È$? œ '_"^# È$ ovvero

? œ „'_" . I vettori sono Y Ð„'ß …'ß „'Ñ.

(17)

8) f0 œ Ð$B #Bß #C &Ñ^# .

J SG $B #B œ ! Ê EÐ!ß Ñ

#C & œ !

B œ ! ” B œ

: œ ^# œC œ & ^#^$ . Punti critici e

#

&

#

FÐ ß Ñ^{# &}_{$ #} .

[0 œ 'B # ! à l 0 l œ "#B %[

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” • .

WSG l 0 ÐEÑl œ % 1 ! 0 ÐEÑ œ # 1 ! E: [ ; ^ww . minimo.

CC

l 0 ÐFÑl œ % < ! F[ . sella.