Università degli Studi di Siena
Correzione Prova scritta di Matematica Generale (A.A. 2019-20) 17 settembre 2020
Compito Unico
) Costruiamo la tavola di verità considerando solo i casi in cui la proposizione
è falsa:
) La funzione è definita se e solo se ; studiamo separatamente numeratore e denominatore: ; . Pertanto la
disequazione è verificata per le ; ,
, è un insieme né aperto né chiuso perché e
.
) Nel primo caso si hanno distinti modi di scelta su dove posizionare le lettere e
e distinti modi di scelta per rispettivamente lettere e cifre, i possibili codici sono pertanto . Per il secondo quesito nota che se
un codice di acceso deve essere formato da almeno cinque lettere, esso è formato con cinque lettere e una cifra oppure con sei lettere, per la prima possibilità abbiamo già dato risposta precedentemente, per la seconda i possibili codici sono , in
conclusione i distinti codici che si possono formare sono
.
) , ; razionalizziamo.
.
) : ; .
Segno ed intersezioni con gli assi: in quanto rapporto fra una quantità non negativa ed una quantità positiva. se e solo se
; unica intersezione con gli assi nel punto di
coordinate .
Limiti agli estremi del :
; di equazione ;
; in quanto per ; di equazione
.
Il secondo limite è risolvibile anche tramite l'utilizzo del Teorema di de l'Hôpital infatti:
.
Crescenza e decrescenza:
. se ; studiamo separatamente i due
fattori: ; . Pertanto se
. Funzione strettamente crescente in , strettamente decrescente in
e in . Minimo assoluto in pari a , massimo relativo in
pari a .
Concavità e convessità: l'esistenza dei due asintoti e la monotonia della funzione precedentemente studiata implicano che i due punti di flesso hanno ascisse
e . Grafico:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0 5 10 15 20 25 30
grafico funzione
.
) .
7) ; pertanto
se e solo se . Da cui facilmente segue: ,
, e .
8) ;
;
;
.
