Capitolo 4. Studio di funzioni. 4.1 Dominio di una funzione

Capitolo 4

Studio di funzioni

**Definizione 4.1 (Grafico di una funzione). Sia f : A⇢ R ! R una funzione. Si definisce grafico della funzione f l’insieme

Graf (f ) ={(x, y) 2 R²|x 2 A y = f(x)}.

Di seguito le nozioni base per ottenere le informazioni necessarie ad approssimare il disegno del grafico di una funzione.

4.1 Dominio di una funzione

**Definizione 4.2 (Dominio di una funzione). Sia f reale di variabile reale definita da una legge x 7! f(x). Il dominio di tale funzione `e il pi`u grande insieme Dom(f) ⇢ R in cui la legge f(x) ha senso.

Le principali regole per determinare il dominio di una funzione data la sua legge sono le seguenti.

1. Se f (x) = ^g(x)_h(x), allora Dom(f )⇢ {x 2 R|h(x) 6= 0}.

2. Se f (x) = log_ag(x), allora Dom(f )⇢ {x 2 R|g(x) > 0}.

3. Se f (x) = ²ⁿp

g(x), allora Dom(f )⇢ {x 2 R|g(x) 0}.

4. Se f (x) = arcsin g(x), allora Dom(f )⇢ {x 2 R||g(x)| 1}.

5. Se f (x) = arccos g(x), allora Dom(f )⇢ {x 2 R||g(x)| 1}.

4.2 Intersezioni con gli assi

Data una funzione f : Dom(f ) ! R si possono determinare i punti di intersezione del suo grafico con gli assi coordinati. I punti di intersezione con l’asse delle x si ottengono risolvendo il sistema

⇢ y = f (x)

y = 0 . (4.1)

I punti di intersezione con l’asse delle y si ottengono risolvendo il sistema

⇢ y = f (x)

x = 0 . (4.2)

4.3 Segno di una funzione

Stabilire il segno di una funzione vuol dire stabile l’insieme Dom⁺(f ) ⇢ Dom(f) di tutti e soli i valori x tali che f (x) > 0 e l’insieme Dom (f )⇢ Dom(f) di tutti e soli i valori x tali che f(x) < 0. Chiamato Zero(f ) ={x 2 Dom(f) : f(x) = 0} si ha che

Dom (f )[ Zero(f) [ Dom⁺(f ) = Dom(f ).

Per determinare il segno di una funzione basta quindi risolvere in generale la disequazione f (x) > 0.

4.4 Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui

Lo studio dei limiti ci permette di determinare eventuali asintoti della funzione.

**Definizione 4.3 (Asintoto orizzontale). Sia +1 (risp. 1) punto di accumulazione (Definizione 2.4) per l’insieme Dom(f ). Allora y = ` si dice asintoto orizzontale a +1 (risp. 1) per f se

x!+1lim f (x) = `.

(risp. lim

x! 1f (x) = `.)

**Definizione 4.4 (Asintoto verticale). Sia x0 2 Dom(f) un punto di accumulazione (Definizione/ 2.4) per l’insieme Dom(f ). Allora x = x₀ si dice asintoto verticale per f se

xlim!x0

f (x) =±1.

**Definizione 4.5 (Asintoto obliquo). Sia +1 (risp. 1) punto di accumulazione (Definizione 2.4) per l’insieme Dom(f ). Allora y = mx + q si dice asintoto obliquo a +1 (risp. 1) per f se

m = lim

x!+1

f (x)

x 2 R \ {0}, q = lim

x!+1f (x) mx2 R.

(risp. m = lim

x! 1

f (x)

x 2 R \ {0}, q = lim

x! 1f (x) mx2 R.)

Chiaramente l’esistenza di un asintoto orizzontale a +1 (risp. 1) preclude l’esistenza di un asintoto obliquo +1 (risp. 1) e viceversa; tuttavia potrebbe accadere che entrambi non esistano.

4.5 Applicazioni della derivata prima allo studio di una fun- zione

Definizione 4.6 (Punto di crescenza/decrescenza). Sia f : [a, b]! R una funzione e x⁰ 2 [a, b]. Allora x₀ si dice punto di crescenza (risp. punto di decrescenza) se esiste un intorno ]x₀ , x₀+ [ tale che

f (x) > f (x0)8x 2]x⁰, x0+ [\[a, b], f(x) < f(x⁰)8x 2]x⁰ , x0[\[a, b].

(risp. f (x) < f (x0)8x 2]x0, x0+ [\[a, b], f(x) > f(x0)8x 2]x0 , x0[\[a, b].)

Proposizione 4.7. Sia f : [a, b] ! R una funzione e x⁰ 2 [a, b] punto di derivabilit`a. Se f<sup>0</sup>(x0) > 0 (risp. f<sup>0</sup>(x0) < 0) allora x0 `e un punto di crescenza (risp. decrescenza).

Dimostrazione. Dal Teorema di permanenza del segno (Teorema 2.28) si ha che esiste un intorno (pos- siamo supporre del tipo ]x0 , x0 + [ tale che ^{f (x0+h) f (x}_h ⁰⁾ > 0 (risp. ^{f (x0+h) f (x}_h ⁰⁾ < 0) per ogni x2]x0 , x₀+ [\[a, b]. Ci`o vuol dire che per ogni h tale che x0+ h2]x0 , x₀+ [\[a, b] si ha

f (x0+ h) f (x0) > 08h > 0 e f(x0+ h) f (x0) < 08h < 0.

(risp. f (x0+ h) f (x0) < 08h > 0 e f(x0+ h) f (x0) > 0 8h < 0.) Quindi il punto x0 `e un punto di crescenza (risp. decrescenza).

**Definizione 4.8 (Funzione crescente/decrescente). Sia f : [a, b]! R una funzione. Allora f si dice crescente (risp. decrescente) in [a, b] se

8x1 < x2 2 [a, b] =) f (x2) f (x1) x2 x1

0.

(risp. 8x1 < x₂ 2 [a, b] =) f (x2) f (x1) x2 x1

0.)

Proposizione 4.9. Sia f : [a, b]! R una funzione derivabile in [a, b]. Se f⁰(x) 0 (risp. f⁰(x) 0) per ogni x2 [a, b] allora f `e crescente (risp. decrescente) in [a, b].

Dimostrazione. Siano x1, x2 2 [a, b] con x¹ < x2. Poich´e la f `e derivabile in [a, b] possiamo applicare il Teorema di Lagrange (Teorema 3.13) nell’intervallo [x₁, x₂]. Quindi esiste un punto c = c(x₁, x₂) 2 ]x1, x2[ tale che

f⁰(c) = f (x2) f (x1) x2 x1

.

Per ipotesi f⁰(c) 0 (risp f⁰(c)  0) e quindi ^{f (x}_x²₂^{) f (x}_x1 ¹⁾ 0 (risp. ^{f (x}_x^{2) f (x1)}

2 x1  0) e la funzione `e crescente (risp. decrescente) in [a, b].

Definizione 4.10 (Punto stazionario). Sia f : [a, b] ! R e x0 2 [a, b] punto di derivabilit`a. Se f⁰(x0) = 0, allora x0 si dice punto stazionario.

Proposizione 4.11 (Punti di massimo e minimo relativo). Sia x0 un punto stazionario per f : [a, b]! R tale che esiste un intorno U di x0 tale che

f⁰(x) 08x 2 U \ [a, b], x < x0 e f⁰(x) 0 8x 2 U \ [a, b], x > x0. Allora x0 `e un punto di massimo relativo per f . Se invece

f⁰(x) 0 8x 2 U \ [a, b], x < x0 e f⁰(x) 08x 2 U \ [a, b], x > x0, allora x0 `e un punto di minimo relativo per f .

Dimostrazione. Ragionando come nella Proposizione 4.9 `e facile dimostrare che, nel primo caso, la funzione f `e crescente nell’intervallo U \ [a, x⁰] e decrescente nell’intervallo U \ [x⁰, b]; pertanto x0 `e un punto di massimo relativo per f . Analogamente, nel secondo caso si dimostra che x0 `e un punto di minimo locale per f .

4.6 Applicazioni della derivata seconda allo studio di una funzione

**Definizione 4.12 (Convessit`a). Sia f : [a, b] ! R. Allora f si dice convessa (risp. concava) in [a, b] se

f (ta + (1 t)b)  tf(a) + (1 t)f (b).

(risp. f (ta + (1 t)b) tf (a) + (1 t)f (b).)

Nel caso di una funzione convessa la retta che congiunge i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) `e “al di sopra”

del grafico della funzione; al contrario se la funzione `e concava, la retta che congiunge i punti (a, f (a)) e (b, f (b)) `e “al di sotto” del grafico della funzione.

Proposizione 4.13. Sia f : [a, b]! R una funzione derivabile due volte in [a, b]. Se f⁰⁰(x) 0 (risp.

f⁰⁰(x) 0) per ogni x 2 [a, b], allora f `e convessa (risp. concava) in [a, b].

Dimostrazione.

Definizione 4.14 (Punto di flesso). Sia f : [a, b] ! R. Sia x⁰ 2 [a, b] tale che esiste un intorno U di x₀ tale che f `e concava (risp. convessa) in U\ [a, x0] e convessa (risp. concava) in U \ [a, x0]. Allora x0 prende il nome di punto di flesso per f .

Proposizione 4.15 (Punti di flesso). Sia f : [a, b] ! R derivabile due volte. Sia inoltre x⁰ tale che f⁰⁰(x0) = 0 ed esiste un intorno U di x0 tale che

f⁰⁰(x) 08x 2 U \ [a, b]x < x⁰ e f⁰⁰(x) 0 8x 2 U \ [a, b]x > x⁰, oppure

f⁰⁰(x) 0 8x 2 U \ [a, b]x < x0 e f⁰⁰(x) 08x 2 U \ [a, b]x > x0. Allora x0 `e un punti di flesso per f .

4.7 Schema per lo studio di una funzione

1. Determinare il dominio.

2. Determinare eventuali intersezioni con gli assi.

3. Determinare il segno.

4. Determinare eventuali asintoti.

5. Determinare punti di minimo/massimo e intervalli di crescenza/decrescenza.

6. Determinare punti di flesso e intervalli convessit`a/concavit`a.

7. Tracciare il grafico approssimativo.