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POMPA MAGNETOIDRODINAMICA

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Academic year: 2021

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POMPA MAGNETOIDRODINAMICA

6.1 Equazioni della magnetoidrodinamica

Il principio fisico su cui si basa la pompa magnetoidrodinamica, detta pompa MHD (magnetohydrodynamic pump

)

è la forza di Lorentz che agisce su un fluido elettricamente conduttivo, in particolare sugli ioni positivi e negativi in moto con una certa velocità in presenza (al contempo) di un campo magnetico.

Supponendo di avere un liquido tra due elettrodi ai cui capi è applicata una differenza di potenziale: nel liquido ha origine una corrente ionica e in presenza di un campo magnetico su ogni ione agisce la forza di Lorentz espressa dalla (6.1) nella medesima direzione sia per ioni positivi che negativi. Dal punto di vista macroscopico si assiste ad un moto ordinato del fluido.

Le equazioni che sono alla base di questo fenomeno sono quelle della magnetoidrodinamica, la fluidodinamica di fluidi elettricamente conduttivi (metalli liquidi, soluzioni elettrolitiche ecc.) o gas ionizzati (plasma).

In particolare, le equazioni della magnetoidrodinamica si dividono in due gruppi: 1) equazioni di Maxwell dell’ elettromagnetismo,

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Introducendo le seguenti grandezze: densità di carica elettrica,

D = vettore induzione elettrica, H = intensità di campo magnetico,

B = induzione magnetica (ma indicato come campo magnetico),

E = campo elettrico,

j = densità di corrente elettrica.

Le equazioni di Maxwell, in forma differenziale, si scrivono [39]:

A queste vanno ovviamente aggiunte rispettivamente la legge di Ohm e le equazioni costitutive che caratterizzano il tipo di fluido utilizzato:

Con e µ rispettivamente permittività elettrica e permeabilità magnetica del liquido utilizzato.

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83 Le equazioni di Navier-Stokes in forma differenziale per fluidi incomprimibili si scrivono come: dove: densità fluido,

coefficiente di viscosità cinematica, tensore degli sforzi viscosi.

Nell’equazione di bilancio della quantità di moto, la forza per unità di volume è la forza di Lorentz che è responsabile dell'effetto di pompaggio sul fluido.

6.2 Semplificazioni delle equazioni

Nell’equazione della quantità di moto si stima innanzitutto l’ordine di grandezza del rapporto tra le forze di inerzia e le forze viscose per ottenere il numero di Reynolds:

U ed L sono rispettivamente una velocità e una lunghezza tipiche del problema, per

cui in prima approssimazione si può assumere come ordine di grandezza: U ~ 1 mm/s e L ~1mm.

Andando a sostituire i valori di densità e di viscosità del liquido ionico EMI-BF4 (che sarà quello utilizzato nei test) rispettivamente pari a e si ha:

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Re ~ 10-2

Questo è un risultato che vale per tutti le applicazioni microfluidiche ovvero quella branca della scienza che tratta fluidi caratterizzati da numeri di Reynolds molto bassi a causa delle limitate dimensioni del dispositivo che interagisce col fluido.

L’equazione di quantità di moto (6.10) si semplifica nel seguente modo:

Siano ora B, E e T rispettivamente valori di riferimento (come ordini di grandezza) per il campo magnetico, campo elettrico e per il tempo, tipici del problema. L’equazione (6.3) implica che:

Utilizzando la (6.7), la (6.8) e la (6.14), dall’equazione (6.5)si può scrivere:

Nella (6.15) la permittività elettrica e la permeabilità magnetica del liquido utilizzato sono state approssimate con quelle relative al vuoto, rispettivamente ed

.

Per velocità piccole paragonate a quelle della luce (U c) il termine denominato “corrente di spostamento” può essere trascurato nell’equazione (6.5) che diventa:

In base all’equazione (6.2) e (6.16) si può scrivere:

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85 Facendo uso della (6.7), (6.8) e delle (6.17):

Quindi il termine può essere trascurato nell’equazione della quantità di moto, che può essere riscritta come:

Si può quindi assumere che la forza di Lorentz abbia lo stesso ordine di grandezza delle forze viscose; questo permette di scrivere che:

Nella (6.6), esistono due contributi alla densità di corrente: quello dovuto al campo elettrico e quello dovuto alla forza di Lorentz ( . Tuttavia quest’ultimo contributo è trascurabile rispetto al primo; infatti, paragonando i due termini, con l’aiuto della (6.2 ) si può scrivere:

Il rapporto (6.21) rappresenta il quadrato del numero di Hartmann definito come: Andando a sostituire all’espressione (6.22) i valori scelti come riferimento:

L ~ 1mm B ~ 1T

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= 1.4 S/m

si ha che Quindi:

La corrente generata nel liquido darà origine ad un campo magnetico B1 che andrà a sommarsi al campo magnetico B0 generato dall’elettromagnete. Tuttavia è possibile dimostrare attraverso un’analisi degli ordini di grandezza che il contributo al campo magnetico totale da parte della corrente circolante nel liquido è di gran lunga trascurabile rispetto al campo magnetico indotto dall’esterno. Infatti, utilizzando rispettivamente (6.8) e (6.17) si può scrivere :

Effettuando il rapporto tra B1 e B0 si ha:

Utilizzando la (6.20), l’espressione (6.25) diventa:

Sostituendo nella (6.26) i valori scelti come riferimento:

si ha:

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come volevasi dimostrare.

6.3 Pompa magnetoidrodinamica in configurazione DC

In questo tipo di configurazione, la corrente così come il campo magnetico sono diretti costantemente nello stesso verso (direct current).

Fig. 6.1 Pompa MHD in configurazione DC

Si consideri la fig.6.1 che rappresenta una pompa MHD, costituita da due elettrodi di lunghezza L, posti ad una distanza W, e da due magneti permanenti distanti di una quantità H (altezza del’elettrodo).

Supponendo che all’interno di questo volume V che si viene a creare sia contenuto un liquido conduttivo, la presenza del campo magnetico B insieme alla densità di

y z

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corrente , causata dall’applicazione di una differenza di potenziale ai capi degli elettrodi, daranno origine alla forza di Lorentz che si esprime come:

Ipotizzando che corrente e campo magnetico siano uniformi ed ortogonali, la (6.27) diventa:

con versore perpendicolare alla densità di corrente e al campo magnetico.

A questa forza corrisponde un salto di espressione esprimibile come:

Quindi, i parametri che determinano le prestazioni della pompa MHD, in termini di salto di pressione, sono:

la lunghezza L dell’elettrodo,

il campo magnetico B,

la densità di corrente j.

Questi parametri sono tra di loro indipendenti e possono essere opportunamente controllati per ottenere, almeno da un punta di vista teorico, un determinato salto di pressione.

La presenza di una corrente continua implica necessariamente uno scambio di carica elettrica tra il liquido e l’elettrodo che produce un’alterazione chimica del fluido; questo è il motivo per cui questa configurazione non verrà presa in considerazione in questo lavoro, dal momento che un’alterazione chimica del propellente sarebbe inaccettabile per un potenziale utilizzo di una pompa MHD in configurazione DC come strategia di alimentazione di un propulsore FEEP a liquidi ionici.

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6.4 Pompa magnetoidrodinamica in configurazione AC

L’unico modo per evitare il problema dell’elettrolisi ma nello stesso tempo garantire la presenza di una corrente ionica all’interno del liquido consiste nell’applicare una tensione alternata ai capi degli elettrodi, generando quindi una corrente alternata a cui corrisponde una carica/scarica del double layer (vedere paragrafo 7.2.2).

Affinché la forza di Lorentz sia diretta nello stesso verso, come si vedrà più avanti, anche il campo magnetico oltre che la corrente deve invertire il suo verso, più precisamente entrambe le grandezze devono essere in fase.

Questa tipologia di pompa, in configurazione AC (alternating current), si distingue quindi dalla configurazione DC in quanto è caratterizzata da un campo magnetico e una corrente entrambi alternati nel tempo (fig.6.2).

Questa configurazione è decisamente più complessa e meno efficiente per i seguenti motivi:

- necessita di un elettromagnete affinché il campo magnetico possa essere invertito,

Fig. 6.2: pompa MHD in configurazione AC I t B t y z x

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- le grandezze sono alternate e quindi la forza non è costante ma è pulsata,

- campo magnetico e corrente devono essere in fase per poter garantire un verso di pompaggio costante nel tempo.

L’espressione della forza di Lorentz è formalmente identica a quella scritta per la pompa MHD in configurazione DC (6.27), la differenza è che ora le grandezze sono alternate e quindi ha senso considerare i valori mediati in un periodo T. Ponendo senza perdere di generalità:

con n e k versori rispettivamente assi y e z (fig.6.2), la forza di Lorentz che agisce sull’intero volume diventa:

Essendo anche in questo caso campo magnetico e densità di corrente ortogonali ed uniformi la (6.31) diventa:

con che rappresenta il versore dell’asse delle x (fig.6.2).

La forza è variabile nel tempo ma periodica, con frequenza di oscillazione pari al doppio rispetto a quella del campo magnetico e ed elettrico; essa è diretta in ogni istante lungo lo stesso verso se e solo se l’angolo è nullo o pari a 1800

.

In fig.6.3 è rappresentato l’andamento qualitativo della forza di Lorentz con (

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Fig.6.3 Andamento qualitativo forza di Lorentz agente sul liquido con ϕ = 0, ϕ = 180.

A questo punto ha senso definire un valore medio della forza a cui è sottoposto l’intera porzione di fluido compreso tra i due elettrodi:

Il valore medio è massimo per ϕ = 00 e ϕ =1800

che corrispondono al caso in cui la forza è costantemente diretta nello stesso verso.

Sebbene la forza sia pulsante, si può comunque pensare che all’aumentare della frequenza, il fluido risenta di una forza che può essere considerata costante e pari al valor medio dato dalla (6.33).

Si può definire un salto di pressione medio come:

I termini che compongono la (6.41) sono tra di loro indipendenti; da notare come a parità di corrente e campo magnetico mettere in fase i due segnali (corrente e campo magnetico) sia indispensabile ai fini di massimizzare il salto di pressione (medio) ottenibile.

Utilizzando la relazione che lega la corrente alla della densità di corrente :

la (6.34) diviene

F

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In conclusione, in base a quanto precedentemente esposto si può affermare che una pompa MHD in configurazione AC sia più complessa in quanto necessita di un elettromagnete per la generazione di un campo magnetico variabile che nello stesso tempo deve essere in fase con la corrente presente tra i due elettrodi. Anche dal punto di vista dell’efficienza questo è un grande svantaggio in quanto l’elettromagnete richiede potenza elettrica per il suo funzionamento.

Tuttavia, una pompa in configurazione DC implica la presenza di elettrolisi dovuta allo scambio di carica tra il liquido e la superficie dell’elettrodo; questo scambio di carica è infatti necessario se si vuole mantenere una corrente continua all’interno del liquido. Ciò comporterebbe un’alterazione chimica e quindi una degradazione del propellente che è inaccettabile per un potenziale utilizzo di una pompa MHD come strategia di alimentazione di un propulsore FEEP a liquidi ionici.

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