DERIVABILE PARZIALMENTE RISPETTO AD

(1)

Derivate parziali di f(x,y) Derivate parziali di f(x,y)

2

0 0 0

: , ( , )

punto di accumulazione del dominio A f A ⊆ R → R P = x y ∈ A

0 0 0

DERIVABILE PARZIALMENTE RISPETTO AD

si dice

in ( , )

se ESISTE ed è FI NITO f

P x y

x =

0

0 0 0

0 ( , ) ( , )

x lim x

f x y f x y x x

→

−

(2)

0

(3)

NB: La

NB: La derivata parziale rispetto ad x derivata parziale rispetto ad x altro altro

non non è è che la derivata della funzione nella sola che la derivata della funzione nella sola variabile x, f(x,y

variabile x, f(x,y

⁰⁰

) quindi ) quindi geometricamente geometricamente rappresenta il coefficiente angolare della rappresenta il coefficiente angolare della

retta tangente a tale curva nel punto (x

⁰⁰

,y ,y

⁰⁰

) )

Se tale limite ESISTE FINITO ESISTE FINITO esso si chiama derivata parziale rispetto ad derivata parziale rispetto ad

x di f(x,y)

x di f(x,y) nel punto P

⁰

e si indica con una delle seguenti notazioni

0 0 0 0

( , ) o ( , )

x

f x y f x y

x

∂

(4)

(5)

In maniera analoga,

In maniera analoga, lo studente lo studente provi a farlo,

provi a farlo, si definisce si definisce la

derivata parziale di f

rispetto ad y

(6)

Calcolare le derivate parziali prime di Calcolare le derivate parziali prime di

2

nel punto

0

(2, 1 ( , ) 3 log( )

)

f x y x x y xy

P =

= + − +

0 0

0 ( , 0 ) ( , 1) 3 log( 1 ( , ) ( , 1

( , ) '(2, 1) 3

)

1 1 5

1) 3 1

1 x

f f

x y x

x x

f x y f x x x x

f x x

x

y f

= = + −

∂ ∂

= = + +

∂ = = +

∂ ∂ −

∂ + =

+

(7)

… … continua continua

0

2 0 0

0 ( , 1

(

) (2,

, ) '(2

) 4

( , )

, 1)

(2, ) 6 log(2 ) 2

1 2

4 3

y

f f

x y y y

y

f x y f

f x y f y y

y y

y

∂ ∂

= = − +

∂ ∂

∂ = =

= = +

∂ −

− +

−

=

+

(8)

Osservazione Osservazione

Il vettore si chiama

vettore gradiente

vettore gradiente della funzione f e si indica con la notazione

si indica con la notazione ∇ ∇ f _f

⇓ ⇓

f , f

x y

⎛ ∂ ∂ ⎞

⎜ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠

Il gradiente di ( , ) 3 log( - )

2

nel punto (2,1) è f (2, 1) (5, 3)

f x y x x y xy

∇ =

= + +

(9)

ESEMPIO ESEMPIO

Dimostrare, utilizzando la definizione, che la Dimostrare, utilizzando la definizione, che la

funzione assegnata non

funzione assegnata non è è derivabile derivabile parzialmente nel punto 0=(0,0)

parzialmente nel punto 0=(0,0)

2 2

( , )

f x y = x + y

2

0 0 0

2

0 0 0

( , 0) (0, 0)

lim lim lim

(0, ) (0, 0)

lim lim lim

x x x

y y x

f x f x x

x x x

y y

f y f

y y y

→ → →

− = = ∃

(10)

(11)

Osservazione Osservazione

Mentre nel caso di funzioni di una variabile

DERIVABILITA

DERIVABILITA ’ ’ ⇒ ⇒ CONTINUITA CONTINUITA ’ ’ per funzioni di due variabili

DERIVABILITA

DERIVABILITA ’ ’ PARZIALE PARZIALE

⇓ ⇓

CONTINUITA

CONTINUITA ’ ’

(12)

2 2

per 0

( , )

0 per ( , ) (0, 0)

xy x y

x y

f x y

x y

⎧ + ≠

⎪ +

= ⎨ ⎪ ⎩ =

ESEMPIO ESEMPIO

2 2

0 0

( , ) è DISCONTINUA i

l i m n (0 0 , )

x y

xy f x

x y y

→→

∃ ⇒

+

0

Ma

e (0, ) (0, 0) 0 0

( , 0) (0, 0) 0 0

lim li

lim lim 0 (0, 0)

m 0 (0, 0)

d

x x x

y y y

f y f

f x

x y

f f

y f

→ →

x

→ →

− −

∃ =

∃ = =

=

(13)

(14)

f x

∂

f y

∂

deriv

deriv. risp. a x. risp. a x derivderiv. risp. a y. risp. a y

2

( , ) f x y x

∂

2

( , ) f x y x y

∂

∂ ∂

2

( , ) f x y y

∂

2

( , ) f x y y x

∂

∂ ∂

deriv

deriv. risp. a x. risp. a x derivderiv. risp. a y. risp. a y derivderiv. risp. a x. risp. a x derivderiv. risp. a y. risp. a y

3 3

f x

∂

3 2

f x y

∂

∂ ∂

3

f x y x

∂

∂ ∂ ∂

3 2

f x y

∂

∂ ∂

3 3

f y

∂

3 2

f y x

∂

∂ ∂

3

f y x y

∂

∂ ∂ ∂

3 2

f y x

∂

∂ ∂

(15)

NOTAZIONI NOTAZIONI

( ) ( )

3

⁽ ⁾

2 2

2

3

2 _xx

, f

_yy

,

_xxx

... .

y o f f o f

x

f o f x

∂

∂ ∂

∂

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3

2

3 3

2 2

, , ....

..

, ..

xxy yx

xyx xy

xy

y

f o f x y

f f

o f o f

f o f y x

x y

f o x y

x f

x y

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂

Sono le DERIVATE PURE Sono le DERIVATE PURE

Sono le DERIVATE MISTE

(16)

3

2 4

3

( , )

2

Data la funzione f x y e

^{x y}

x x y calcolare f e f

x y y x

+

∂ ∂

+ ∂ ∂

=

3

2 4

3

4

12 ( , )

( , ) ( , )

( )

, 4

x

xx y

y

x y x y

x y x y x y

x y

x y x y

x

f x y

f x y f

e x e x y

e x x y

f

e e x y

e

x x x

x e x

y e

+ +

+ + +

+

+ +

= + +

= + + +

= +

= + +

3

2

( ) 2 1 2

2 ( 1

,

, )

x y x y

x y x

xxy

yxx

y x y

f x y

f

xe

y

e x

f x y

f x y e x

x e

+ +

+ + +

+ +

+

∂

∂ ∂

∂

=

= = +

=

∂ ∂ +

(17)

TEOREMA DI SCHWARZ TEOREMA DI SCHWARZ

:

2

f A ⊆ \ → \

0 0 0

e CO in

( ) (

NTINUE

)

xy yx

f f

f P f

P

⇓

=

ammette derivate ammette derivate seconde miste in un intorno di un seconde miste in un intorno di un

punto P

⁰⁰

=(x =(x

⁰⁰

,y ,y

⁰⁰

) ) ∈ ∈ A. A.

(18)

Definizione Definizione

0

1 2

2

0 0

DIFFERENZIABILE in ,

: , si dice che è

( )

:

, se

P

f A f

x a

y A

a

⊆ →

∃

∈

∈ \

R R

[ ]

0 0

0 0 1 0 2 0

2 2

0 0

( , ) ( , ) ( ) ( )

lim 0

( ) ( )

x x y y

f x y f x y a x x a y y

x x y y

→→

− − − + −

− + − =

(19)

0 0 1 0 2 0

Si dimostra che

0

(

differenzi

) e ( ) e ( ) e ( )

abile in

x y x y

f P f P a f P a P

f P

∃ = = f

⇒

0 0 0 0 0 0 0

( )

_x

( , )( )

_y

( , )( )

df P = f x y x − x + f x y y − y

⇓

Si chiama DIFFERENZIALE di f in P

⁰⁰

(20)

0 0

( ) ( - )

NB:

Se

Se ( )

( , )

( , ) ( - )

f x y x f

df P d x y y

x x x

df P dy y y

= =

=

0 0 0

( ) _x ( ) _y ( )

df P = f P dx + f P dy

⇓

(21)

Da un punto di vista geometrico Da un punto di vista geometrico

⇓ ⇓

f differenziabile in P

⁰⁰

⇒ ⇒

⇒ ⇒ il grafico di f il grafico di f è è dotato in dotato in P P

⁰⁰

di di PIANO PIANO TANGENTE

TANGENTE di equazione di equazione

0 0 0 0 0 0 0 0

( , )

_x

( , )( )

_y

( , )( )

z = f x y + f x y x − x + f x y y − y Dalla definizione di

Dalla definizione di differenziabilit differenziabilit à à ⇒ ⇒ il il grafico della funzione può essere

grafico della funzione può essere “ “ ben ben ” ” approssimato in un intorno di

approssimato in un intorno di P P

⁰⁰

, dal piano , dal piano tangente

tangente Π Π

(22)

(23)

f differenziabile in P

⁰⁰

⇒ ⇒

⇒ ⇒ f f derivabile parzialmente in derivabile parzialmente in P P

⁰⁰

Dalla definizione di

Dalla definizione di differenziabilit differenziabilit à à ⇒ ⇒ f differenziabile in P

f differenziabile in P

⁰⁰

⇒ ⇒

⇒ ⇒ f continua in f continua in P P

⁰⁰

ATTENZIONE:

di queste due proposizioni

di queste due proposizioni non vale non vale

l l ’ ’ inverso inverso

(24)

La seguente funzione

La seguente funzione è è continua e derivabile in continua e derivabile in (0,0) ma non

(0,0) ma non è è differenziabile in quel punto differenziabile in quel punto

( , )

f x y = xy

0 0

lim 0 (0, 0)

x y

xy f

→→

= =

0 0

( , 0) (0, 0) 0 0

lim li m 0 (0, 0) 0

x

f x f

x

f

x

x x

→ →

− −

= = ⇒ =

0 0

(0, ) (0, 0) 0 0

lim li m 0 (0, 0) 0

y

f y f

y

f

y

y y

→ →

− −

= = ⇒ =

(25)

Se f fosse differenziabile dovrebbe essere Se f fosse differenziabile dovrebbe essere

2 2

0 0

( , ) (0, 0) (0, 0)( 0) (0, 0)( 0)

lim

^x ^y

0

x y

f x y f f x f y

x y

→→

− − − − −

+ =

2 2

0 0

NON ES

ISTE inf post

li m a t i t o

x y

y mx xy

x y

→→

+ =

2 2 2 2

0 0

lim = lim

( 1) 1

x x

y y

mx m

m x m

→ →

→ + → +

(26)

(27)

Osservazione:

Data

Data la continuit la continuit à à e e la la derivabilit derivabilit à à parziale in P parziale in P

⁰⁰

NON NON

SONO SUFFICIENTI

SONO SUFFICIENTI a garantire la a garantire la differenziabilit

differenziabilit à à

ma ma

: 2

f A ⊆ \ → \

Se f è continua in P continua in P

⁰⁰

ed ed è è dotata di dotata di derivate parziali continue

derivate parziali continue

⇒ ⇒ f è differenziabile in P ⁰

(28)

derivabile quante volte si derivabile quante volte si vuole con tutte le derivate continue

vuole con tutte le derivate continue

:

f A ⊆ \ → \

2

Per definizione

con la convenzion (

e che e siano costanti

) f f

d f d df d d

dx d

x y

x

y

y d

⎛ ∂ ∂ ⎞

= = ⎜ ⎝ ∂ + ∂ ⎟ ⎠

2

2 2 2

2 2 2 2

2

( 2 2

2

2 2

2) 2

2 d f

f

f f f f

dx dydx dxdy dy

y

f f

dx f f

dx dy

x

x x

dxdy dy

y

x y

y y y

x x

∂ + ∂ + ∂

∂

⎛ ∂ + ∂ ⎞

∂ ∂ ∂ ∂

= + + + =

∂

∂ ⎜ ⎝ ∂ ∂ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

= =

∂ ⎠

⇓

(29)

3 3

( ) ( )

....

n

f f

d f dx d

f f

d f dx dy

x y

x y y

⎛ ∂ ∂ ⎞

= ⎜ ⎝ ∂ + ∂ ⎟

⎛ ∂ ∂ ⎞

= ⎜ + ⎟

⎠

∂ ∂

⎝ ⎠

f f

( 2)

dx dy

x y

⎛ ∂ + ∂ ⎞

⎜ ∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠

Si chiama quadrato Si chiama quadrato

simbolico di f simbolico di f

Analogamente

(30)

:

2

, ( )

[ , ] ( )

x x t

t a b

y t

A y

f ⎧ =

⎨ = ∈

⊆ \ → \ ⎩

[ , ], ( ( ), ( ))

t a b P x t

t

y t A

∀ ∈ ∈

⇓

Funzione composta Funzione composta

( ) ( ( ), ( )) , [ , ]

F t = f x t y t t ∈ a b

(31)

• • Se f (x,y) Se f (x,y) è è derivabile parzialmente in derivabile parzialmente in A, A,

• • se x(t) e y(t) sono derivabili se x(t) e y(t) sono derivabili ∀ ∀ t t ∈ ∈ [a,b] [a,b]

⇓ ⇓

( ) ( )

'( )

_x

( ), ( ) '( )

_y

( ), ( ) '( ) F t = f x t y t x t + f x t y t y t

F(t)

F(t) è è derivabile in [a,b] e si ha derivabile in [a,b] e si ha

(32)

2

( ) sin ( )

( , )

:

^t

x t t

y t e t f x y e x

f

⎧ =

⎨ ∈

→ ⎩

= +

= \

R R

ESEMPIO ESEMPIO

( ) ( )

sin 2

'( ) ( ), ( ) '( ) ( ),

( ) sin

( ) '( )

et

x

t

F t f x t

y

F t e t

y t x t f x t y t y t

= +

⇒

= +

( , ) ^xy 2 ( , ) ^xy

x f y

f x y = ye + x x y = xe

⇓

(

^sin

)

^sin

'( )

^t ^e^t ^t

2 sin cos sin

^e^t ^t ^t

F t = e e + t t + t e ⋅ ⋅ e

(33)

Formula di

Formula di Taylor Taylor

2

0

0 0

( , ) e ( , )

con conse

: , (A)

g u e t n e ,

f A f C

n

P x y A P x A P

y

P A

∈ ∈

⊆ ∈

∈

→

R R

A A

P P

⁰⁰

(x (x

⁰⁰

,y ,y

⁰⁰

) )

P(x,y)

(34)

( )

0 0

2 2

0 0

( , , , )

lim 0

( ) (

dove

)

n x x n

y y

R x y x y

x x y y

→→

=

− + −

0 0 0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( , ) ( , )( ) ( , )( )

1 ( , )( ) ( , )( ) ...+

2!

1 ( , )( ) ( , )( ) ( , , , )

!

x y

n

x y n

f x y f x y x x f x y y y

f x y x x f x y y y

f x y x x f x y y y R x y x y

n

⎡ ⎤

+ ⎣ − + − ⎦ +

⎡ ⎤

+ ⎣ − + − ⎦ +

⎡ ⎤

+ ⎣ − + − ⎦ +

=

Se

1

( ), si può scrivere il

RESTO NELLA FORMA DI LAGRAN GE f ∈ C

n⁺

A

( )

1

0 0 0

0

0 0 0 0 0

0

( ), ( ) (

0

)

( ), ( ) ( )

( 1)

( ,

!

, , )

n x

y

n

f x x x y y y x x

f

R x y x

x x x y y

n

y

y y y

ϑ ϑ

⎡ + − + − − + ⎤

+

⎢ ⎥

+ + − + − −

=

= ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

+

(35)

ESEMPIO ESEMPIO

Scrivere la formula di

Scrivere la formula di Taylor Taylor fino al secondo fino al secondo ordine per la funzione

ordine per la funzione

( 2 )

con punto ini

( , )

^x ^y

ziale (1 ,1)

f x y = e

⁺

2 2

3 2 2

, 2 ,

2

, 2

(1, 1)

4

x y x y x y

xx

x y x y

x y

xy yy

f

f e f e f e

f

f e e

⁺

e

+ + +

=

+

=

= =

=

3 3 3

3 2 3 3 2

2

( 1) 2 ( 1)

1 ( 1) 4 ( 1)( 1) 4 ( 1)

( ,

2 )

f x y e e x e y

e x e x y e y R

⎡ ⎤

+ ⎣ − + − ⎦ +

⎡ ⎤

+ ⎣ − + − − + − ⎦ +

=