Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi 1
†Esercizio 1. Sia X = {Xn}n∈N0 una successione di variabili aleatorie i.i.d. con legge uniforme nell’intervallo [0, 1], definite su uno spazio di probabilità (Ω, F, P). Definiamo Fn:= σ(X0, X1, . . . , Xn)per n ∈ N0. Introduciamo la variabile aleatoria
τ := inf{n ≥ 1 : Xn< X0} , con l’abituale convenzione inf ∅ := +∞.
(a) Si mostri che τ è un tempo d’arresto.
(b) Si determini la legge di τ.
[Sugg.: Si calcoli P(τ = n|F0), esprimendo l’evento {τ = n} in funzione di X0, . . . , Xn.]
(c) Si calcoli E(τ).
Oss.: Con un argomento di simmetria, non è difficile mostrare che P(τ > n) = P(X0= max0≤k≤nXk) =
1
n+1sotto la sola ipotesi che X = {Xn}n∈N0 siano i.i.d. con legge marginale priva di atomi.
Esercizio 2. Cominciamo con un risultato generale.
(a) Si mostri che per ogni submartingala Y = {Ym}m∈N0, per ogni n ∈ N0e per ogni tempo d’arresto σ tale che σ ≤ n q.c., si ha E(Yσ)≤ E(Yn).
[Sugg.: si esprima Yσ sommando sui diversi valori che può assumere σ.]
Sia ora X = {Xn}n∈N0una submartingala limitata in L1, cioè tale che supn∈N0E(|Xn|) < ∞.
Si ha dunque Xn → X∞ := lim supn→∞Xn q.c. (perché?). Sia τ un tempo d’arresto arbitrario. Si noti che la variabile (Xτ)(ω) := Xτ (ω)(ω)è ben definita anche se τ(ω) = +∞.
Lo scopo di questo esercizio è mostrare che E(|Xτ|) < ∞.
(b) Si mostri che E(Xτ+∧n)≤ E(Xn+)per ogni n ∈ N0.
[Sugg.: Si noti che X+={Xn+}n∈N0 è una submartingala (perché?).]
(c) Si mostri che Xτ+= limn→∞Xτ+∧n. Si deduca che E(Xτ+) <∞.
(d) Si mostri che E(Xτ∧n− )≤ E(Xτ∧n+ )− E(X0).
(e) Si concluda che E(Xτ−) <∞, quindi che E(|Xτ|) < ∞.
Esercizio 3. Si consideri il seguente gioco. Dopo aver mescolato un mazzo di 40 carte, che ne contiene 20 rosse e 20 nere, le carte vengono girate una dopo l’altra. Un giocatore deve dire, una e una sola volta, “rossa la prossima!”; se la successiva carta girata è effettivamente rossa, il giocatore vince, altrimenti perde. Ci proponiamo di massimizzare la probabilità di vittoria.
Per n = 0, . . . , 39, indichiamo con Rnil numero di carte rosse presenti nel mazzo dopo aver girato n carte e definiamo la filtrazione Fn:= σ(R0, . . . , Rn). Per n = 1, . . . , 40, definiamo l’evento An:={l’n-esima carta girata è rossa}. Definiamo τ = n ∈ {0, . . . , 39} se il giocatore pronuncia la frase “rossa la prossima!” dopo aver girato esattamente n carte.
(a) Si spieghi perché τ è un tempo d’arresto e perché p := P(Aτ +1) = �39 n=0P(τ = n, An+1)è la probabilità di vittoria.
(b) Si calcoli P(An+1|Rn= j)per ogni n = 0, . . . , 39 e j = 0, . . . , 20.
†Ultima modifica: 9 giugno 2011.
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(c) Si calcoli P(Rn+1= j|Rn) = P(Rn+1|Fn)per ogni n = 0, . . . , 39 e j = 0, . . . , 20. Si deduca che
E(Rn+1|Fn) = Rn− Rn
40− n.
(d) Si deduca che Xn:= Rn/(40− n) è una martingala. Si mostri che Xn= P(An+1|Fn).
(e) Si mostri che p = E(Xτ)e si deduca il valore di p, mostrando che non dipende da τ.
