Analisi Matematica II
Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova in itinere del 12/01/2012
A.A. 2011/2012
Problema 1: Sia
f
n(x) = nx(e
x+ x) 1 + n
2x
2. (i) Calcolare lim
n→+∞
f
n(x).
(ii) Dimostrare che la convergenza ` e uniforme in [ −2, −1].
(iii) Dimostrare che la convergenza non ` e uniforme in [0, 1].
Problema 2: Studiare la continuit` a e la differenziabilit` a della funzione
f (x, y) =
2xy x
2− y
2x
2+ y
2, se x
2+ y
2> 0, 0, se x
2+ y
2= 0.
Problema 3: Si consideri il problema di Cauchy {
y
′= (y
2− 1) arctan t, y(0) = 0.
(i) Fare uno studio qualitativo della soluzione y(t).
(ii) Dimostrare che esiste un unico punto di flesso per t > 0.
(iii) Calcolare la soluzione esplicitamente.
Problema 4: Calcolare
+∞
∫
−∞
