PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

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PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

17 Gennaio, 2018 COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Matrici e Algebra Lineare

Si consideri la matrice

A =  6 4 4 0

 .

Calcolare: (a) gli autovalori di A; (b) gli autovettori di A.

1

(2)

2 Massimi e Minimi di Funzione

Si consideri la funzione

f (x) = x ln

2

x .

(a) Determinare il dominio ed eventuali asintoti orizzontali e verticali. (b) Calco- lare derivata prima e seconda e stabilire l’esistenza di eventuali punti di massimo e minimo, determinandone le coordinate. (c) Disegnare il grafico della funzione.

2

(3)

3 Gradiente e Integrali

(a) Calcolare il gradiente ∇f (x, y) della funzione f (x, y) = e

−y

(x + ln x cos y) ; (b) determinare il valore degli integrali

I

1

= Z

3 sin

2

x dx , I

2

= Z

2

0

x(x

2

+ 1)

1/3

dx .

3

(4)

4 Equazioni differenziali ordinarie

(a) Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordi- naria

dy

dx = x + y

2

x ;

(b) determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 1.

4

figura

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