PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

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PROVA D’ESAME DI MATEMATICA Corso di Laurea Triennale in Scienze Biologiche

20 Giugno 2018

COGNOME (in stampatello):

NOME (in stampatello):

MATRICOLA (numero):

NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sot- tostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate dai necessari passaggi ai fini della valutazione.

1 Matrici e Algebra Lineare

a) Date le matrici

A =  2 3 1 0 −2 1



, B =

1 5

0 −2

−1 3

 ,

calcolare C = AB, determinare l’inversa C

−1

e verificare che soddisfa la relazione CC

−1

= I. b) Calcolare il determinante di

A =

3 2 1

0 1 2

−1 0 −2

 .

1

(2)

2 Massimi e Minimi di Funzione

Si consideri la funzione

f (x) = ln

2

x x .

(a) Determinare il dominio ed eventuali asintoti orizzontali e verticali. (b) Calco- lare derivata prima e seconda e stabilire l’esistenza di eventuali punti di massimo e minimo, determinandone le coordinate. (c) Disegnare il grafico della funzione.

2

(3)

3 Serie di Potenze

Dato l’integrale

Z

1 0

√ x e

√x

dx ;

(a) rappresentare la funzione integranda in termini di serie di Taylor; (b) integrare la serie e calcolare l’integrale dato.

3

(4)

4 Equazioni differenziali ordinarie

(a) Determinare la soluzione generale y = y(x) dell’equazione differenziale ordi- naria

dy

dx = x + y

2

x ;

(b) determinare la soluzione particolare per la condizione iniziale x = 0, y(0) = 1.

4

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