Analisi Matematica 1, Scritto 1-A. Durata della prova: 2 ore

Analisi Matematica 1, Scritto 1-A. Durata della prova: 2 ore

Matricola.. ..Corso di Laurea.. . A B

Domanda 1 [3 punti]

(i) Dare la definizione di differenziabilità per / : R2 —> R in un punto (XQ,|/O)- (ii) Dire se f ( x , y ) = exy^/x è differenziabile in (1,0), giustificando la risposta.

Risposta

«o

DI

D2

El

E2

-pò

E4 E5

1. (x rH y^_ //

Domanda 2

(i) Enunciare il teorema di Weierstrafi.

(ii) Sia / : [0,5] -> M tale che f ( x ) = ^^ . Allora risulta che

[4 punti]

Risposta

(i)

fa] / non ammette minimo in [0,5]

2

I b i il massimo di / è

fc~| il massimo di / è

\/Ì3

Vu

|d| / non ammette massimo

.

7

(„) 4 >t C/H ;

Ci Ì A I A A f,\f ' -A ^; ,

~T ^ j f

V "Vf |

Esercizio 1

Calcolare, se esiste, il limite

Risoluzione

,' i

z->2+lim

ywu

(o:2-4)

/) A

[5 punti]

L -

(. e

f

Esercizio 2

Studiare la convergenza della seguente serie

Risoluzione

+00

E

1 — cos(n s

r T

[5 punti]

f

A ..fati

tL ^{h 2}

4

^ z ^

Cv

- ±

Esercizio 3 [4 punti]

Disegnare il dominio D ={(x, y) € R2 : 1 < x2 + j/2 < 9, y > 0} e calcolare l'integrale doppio

dxdy

Risoluzione

Esercizio 4

«

Data la funzione f(x, y) = (

Risoluzione

, calcolare /^ e di

[3 punti]

Esercizio 5

Trovare il dominio, eventuali simmetrie, zeri, punti di estremo locale ed asintoti della funzione /(x) = ln(\/l — 2x) e tracciarne un grafico approssimativo. Calcolare inoltre l'area della regione compresa tra il grafico di /, l'asse x e le rette x = — l e x = 0.

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Risoluzione ,

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