Vediamo come si applica concretamente il teorema di Weierstrass per individuare effettivamente il massimo e minimo assoluto di una funzione f in una certa regione del piano.

Teorema di Weierstrass Andrea Prevete

Il teorema di Weierstrass afferma che data una funzione z=f(x,y) ed una regione del piano

cartesiano limitata e chiusa, se tale regione appartiene al dominio di f ed in essa f è continua, allora esistono sicuramente due punti P e Q rispettivamente di minimo assoluto e massimo assoluto per la funzione. Ovviamente P e Q possono anche coincidere: questo accade quando z=f(x,y) è costante, cioè assume lo stesso valore in ogni punto della data regione.

Vediamo come si applica concretamente il teorema di Weierstrass per individuare effettivamente il massimo e minimo assoluto di una funzione f in una certa regione del piano.

1) Si determinano i punti di massimo e minimo relativo di f nella regione, per esempio col criterio dell’ Hessiano

2) Si determinano i punti di massimo e minimo relativo di f sulla frontiera della regione. Nei casi più semplici si opera per sostituzione eliminando x o y dall’espressione della funzione z=f(x; y). Quindi si procede studiando il segno della derivata prima.

3) Quindi per confronto il più grande ed il più piccolo dei valori trovati determinano rispettivamente il massimo ed il minimo assoluto della funzione.

N.B.

1) Una regione del piano è limitata se è contenuta in un rettangolo di lati a e b, dove a e b sono 2 numeri reali

2) Una regione del piano è chiusa se contiene la sua frontiera. Per esempio il cerchio rappresentato dalla disequazione x

+y

≤ 9 è una regione chiusa perché comprende la sua frontiera, cioè la circonferenza di equazione x

+y

= 9

3) Ricordiamo che un punto M (x;y) appartenente al dominio di una funzione z=f(x; y) costituisce un punto di minimo [massimo] relativo o locale se è possibile individuare un cerchio centrato sul punto stesso così che

 in tutti i punti del dominio della funzione in esso contenuti la funzione stessa assuma valori maggiori [minori] o uguali rispetto al valore assunto in M(x;y);

 comunque si restringa il raggio del cerchio in esso siano comunque contenuti punti del dominio.

Il valore assunto dalla funzione in questo punto, quindi f(x,y) costituisce un minimo [massimo]

relativo o locale per la funzione stessa.