Massima compressione ??

5.32. MASSIMA COMPRESSIONE??

PROBLEMA 5.32

Massima compressione ??

Nel sistema in Figura 5.25 la massa m₁è lanciata inizialmente con velocità v0. La molla di lunghezza a riposo uguale alla lunghezza del piano inclinato è libera di contrarsi, e il piano inclinato è libero di spostarsi sul piano orizzontale. Non vi sono attriti. Calcolare la massima contrazione della molla, e la massima velocità del piano inclinato.

m1 m2

k

θ v0

Figura 5.25.: Il sistema considerato nell’esercizio.

Soluzione

Usiamo la conservazione dell’energia e della quantità di moto orizzontale. Detta δ la contrazione della molla abbiamo

1

2m₁v²₀= ¹

2(m₁+m2)V²+m₁gδ sin θ+ ¹ 2kδ² e

m₁v0= (m₁+m2)V

dove è stato usato il fatto che nel momento di massima contrazione le masse m₁ e m₂ hanno la stessa velocità. Da questo segue

δ²+2m₁g sin θ k δ− ¹

k

m₁m2

m₁+m₂v²₀=0 e quindi (µ= m₁m₂/(m₁+m₂)è la massa ridotta del sistema)

δ= ^{m1g sin θ} k

s

1+ ^µk

m²₁g²sin²θ v²₀−¹

!

dove è stata scelta la soluzione δ > 0. Per valori molto grandi della velocità l’effetto della molla è dominante:

δ' rµ

kv₀

mentre per valori piccoli è la gravità a limitare la contrazione:

δ ' ^µ

2m₁g sin θv²₀

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5.32. MASSIMA COMPRESSIONE??

Per ottenere le approssimazioni precedenti si è utilizzato√

1+x ' √

x per x  ^{1 e}

√1+x'¹+x/2 per x1. La massima velocità del piano inclinato si ha chiaramente quando la massa m₁ è separata da esso. In questo caso valgono le normali formule dell’urto elastico, che danno

v₁ = ^2m1 m₁+m₂v₀

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