Rimbalzi elastici su piano inclinato
Figure 1:
Una pallina cade da una altezza h su un piano inclinato che forma una angolo α con l’asse orizzontale. Supponendo che gli urti tra pallina e piano siano perfettamente elastici, calcolare il rapporto relativo fra la lunghezza dei primi rimbalzi: I1: I2 : I3 = 1 : x2: x3.
Soluzione 1
Scriviamo esplcitamente le equazioni del moto per i primi 3 rimbalzi.
La velocit`a della pallina dopo essere scesa di un tratto h `e v0 = √ 2gh.
Proiettando lungo gli assi (x, y), rispettivamente paralleli e perpendicolari al piano come in figura, si ha:
~ v0 =p
2gh(sin α, − cos α) (1)
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Nel rimbalzo elastico la componente x rimane invariata, mentre quella lungo y inverte il segno. Dopo il primo rimbalzo il moto `e uniformemente accelerato sia lungo x che lungo y, con accelerazione ax = g sin α e ay =
−g cos α. La condizione iniziale `e x1(0) = y1(0) = 0, ˙x1(0) = v0sin α e
˙
y1= v0cos α, per cui la legge oraria dopo il primo rimbalzo:
x1 = 12g sin αt2+ v0sin αt
y1 = −12g cos αt2+ v0cos αt (2) L’asse x (y1 = 0) `e attraversato a t = 0 e all’istante del secondo rimbalzo t = τ1= 2v0/g, per una lunghezza percorsa lungo il piano:
I1= y1(τ ) = 4v02sin α
g (3)
ed una velocit`a finale
x˙1(τ1) = 3v0sin α
˙
y1(τ1) = −v0cos α (4)
Dopo il secondo rimbalzo, il moto `e lo stesso descritto nell’equazione 2 con velocit`a iniziale che si ottiene dalla equazione 4, cambiando di segno alla componente y, e posizione iniziale x2(0) = I1 e y2(0) = 0. Per cui la legge oraria diventa:
x2= 12g sin αt2+ 3v0sin αt + I1
y2 = −12g cos αt2+ v0cos αt (5) La condizione di rimbalzo `e di nuovo y2= 0, da cui si trova τ2 = 2v0/g = τ1. La posizione del successivo rimbalzo `e:
x2(τ2) = I1+ 8v12sin α
g = I1+ I2 (6)
da cui:
I2 = 8v21sin α
g = 2I1 (7)
Il secondo tratto si conclude con una velocit`a di impatto
x˙2(τ2) = 5v0sin α
˙
y2(τ2) = −v0cos α (8)
Procediamo scrivendo il terzo rimbalzo utilizzando l’equazione 5 e le condizioni iniziali x3(0) = I1+ I2, y3(0) = 0, ˙x3(0) = 5v0sin α e ˙y3(0) = v0sin α.
La legge oraria per il terzo rimbalzo si scrive:
x3= 12g sin αt2+ 5v0sin αt + I1+ I2
y3 = −12g cos αt2+ v0cos αt (9)
2
La condizione di rimbalzo `e ancora y3 = 0 da cui τ3 = 2v0/g = τ2 = τ1. Il successivo rimbalzo sul piano avverr`a in
x3(τ3) = I1+ +I2+ 12v12sin α
g = I1+ I2+ I3 (10) da cui:
I3 = 12v21sin α
g = 3I1 (11)
La risposta alla domanda del problema `e quindi: I1 : I2 : I3 = 1 : 2 : 3.
Soluzione 2
Cerchiamo adesso di fare una analisi pi`u generale del moto.
Il moto lungo y, dopo ogni rimbalzo, `e un moto uniformemente accelerato con accelerazione ay = −g cos α e con velocit`a iniziale vy0 = √
2gh cos α = v0cos α. Pertanto la pallina raggiunge sempre la medesima distanza mas- sima dal piano, d = v20cos2α/2g dopo un tempo td = v0/g dal rimbalzo precedente, e l’intervallo fra due rimbalzi consecutivi `e sempre lo stesso:
τ = 2td= 2v0
g (12)
Lungo x il moto `e uniformemente accelerato, con accelerazione ax = g sin α e velocit`a iniziale v0sin α. Pertanto la legge oraria `e:
x(t) = 1
2g sin αt2+ v0sin αt (13) Dopo n rimbalzi, la distanza percorsa lungo il piano `e:
x(nτ ) = 1
2g sin αn2τ2+ v0sin αnτ = n(n + 1)2v02sin α
g (14)
L’intervallo percorso dopo n rimbalzi `e:
In= x(nτ ) − x((n − 1)τ ) = [n(n + 1) − (n − 1)n]2v02sin α
g = n · 4v20sin α g
(15) Da cui si vede immediatamente che le lunghezze Inpercorse ad ogni rimbalzo aumentano linearmente con n.
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