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Rimbalzi elastici su piano inclinato

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

Rimbalzi elastici su piano inclinato

Figure 1:

Una pallina cade da una altezza h su un piano inclinato che forma una angolo α con l’asse orizzontale. Supponendo che gli urti tra pallina e piano siano perfettamente elastici, calcolare il rapporto relativo fra la lunghezza dei primi rimbalzi: I1: I2 : I3 = 1 : x2: x3.

Soluzione 1

Scriviamo esplcitamente le equazioni del moto per i primi 3 rimbalzi.

La velocit`a della pallina dopo essere scesa di un tratto h `e v0 = √ 2gh.

Proiettando lungo gli assi (x, y), rispettivamente paralleli e perpendicolari al piano come in figura, si ha:

~ v0 =p

2gh(sin α, − cos α) (1)

1

(2)

Nel rimbalzo elastico la componente x rimane invariata, mentre quella lungo y inverte il segno. Dopo il primo rimbalzo il moto `e uniformemente accelerato sia lungo x che lungo y, con accelerazione ax = g sin α e ay =

−g cos α. La condizione iniziale `e x1(0) = y1(0) = 0, ˙x1(0) = v0sin α e

˙

y1= v0cos α, per cui la legge oraria dopo il primo rimbalzo:

 x1 = 12g sin αt2+ v0sin αt

y1 = −12g cos αt2+ v0cos αt (2) L’asse x (y1 = 0) `e attraversato a t = 0 e all’istante del secondo rimbalzo t = τ1= 2v0/g, per una lunghezza percorsa lungo il piano:

I1= y1(τ ) = 4v02sin α

g (3)

ed una velocit`a finale

 x˙11) = 3v0sin α

˙

y11) = −v0cos α (4)

Dopo il secondo rimbalzo, il moto `e lo stesso descritto nell’equazione 2 con velocit`a iniziale che si ottiene dalla equazione 4, cambiando di segno alla componente y, e posizione iniziale x2(0) = I1 e y2(0) = 0. Per cui la legge oraria diventa:

 x2= 12g sin αt2+ 3v0sin αt + I1

y2 = −12g cos αt2+ v0cos αt (5) La condizione di rimbalzo `e di nuovo y2= 0, da cui si trova τ2 = 2v0/g = τ1. La posizione del successivo rimbalzo `e:

x22) = I1+ 8v12sin α

g = I1+ I2 (6)

da cui:

I2 = 8v21sin α

g = 2I1 (7)

Il secondo tratto si conclude con una velocit`a di impatto

 x˙22) = 5v0sin α

˙

y22) = −v0cos α (8)

Procediamo scrivendo il terzo rimbalzo utilizzando l’equazione 5 e le condizioni iniziali x3(0) = I1+ I2, y3(0) = 0, ˙x3(0) = 5v0sin α e ˙y3(0) = v0sin α.

La legge oraria per il terzo rimbalzo si scrive:

 x3= 12g sin αt2+ 5v0sin αt + I1+ I2

y3 = −12g cos αt2+ v0cos αt (9)

2

(3)

La condizione di rimbalzo `e ancora y3 = 0 da cui τ3 = 2v0/g = τ2 = τ1. Il successivo rimbalzo sul piano avverr`a in

x33) = I1+ +I2+ 12v12sin α

g = I1+ I2+ I3 (10) da cui:

I3 = 12v21sin α

g = 3I1 (11)

La risposta alla domanda del problema `e quindi: I1 : I2 : I3 = 1 : 2 : 3.

Soluzione 2

Cerchiamo adesso di fare una analisi pi`u generale del moto.

Il moto lungo y, dopo ogni rimbalzo, `e un moto uniformemente accelerato con accelerazione ay = −g cos α e con velocit`a iniziale vy0 = √

2gh cos α = v0cos α. Pertanto la pallina raggiunge sempre la medesima distanza mas- sima dal piano, d = v20cos2α/2g dopo un tempo td = v0/g dal rimbalzo precedente, e l’intervallo fra due rimbalzi consecutivi `e sempre lo stesso:

τ = 2td= 2v0

g (12)

Lungo x il moto `e uniformemente accelerato, con accelerazione ax = g sin α e velocit`a iniziale v0sin α. Pertanto la legge oraria `e:

x(t) = 1

2g sin αt2+ v0sin αt (13) Dopo n rimbalzi, la distanza percorsa lungo il piano `e:

x(nτ ) = 1

2g sin αn2τ2+ v0sin αnτ = n(n + 1)2v02sin α

g (14)

L’intervallo percorso dopo n rimbalzi `e:

In= x(nτ ) − x((n − 1)τ ) = [n(n + 1) − (n − 1)n]2v02sin α

g = n · 4v20sin α g

(15) Da cui si vede immediatamente che le lunghezze Inpercorse ad ogni rimbalzo aumentano linearmente con n.

3

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