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i coefficienti dell’espansione di Taylor centrata nell’origine. Per 0 < r < R si supponga che |c

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Academic year: 2021

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Analisi D - Scritto del 26/09/2011

1. Sia f olomorfa in B

R

. Siano c

n

i coefficienti dell’espansione di Taylor centrata nell’origine. Per 0 < r < R si supponga che |c

n

| ≥ r

−n

. Mostrare che max

|z|=r

|f (z)| ≥ 1.

2. Sia f (z) = ze

−i/z

. Trovare l’espansione di Laurent nell’origine e classificare la singolarit` a di f . Sia Q = {z : |Rez| + |Imz| = 1}. Calcolare

Z

C

f (z) dz ,

dove C percorre ∂Q una volta in senso orario.

3. Siano λ e µ misure sulla σ-algebra M. Sia µ positiva (o assoluta) e λ reale (o relativa). Mostrare quanto segue.

• Se λ `e concentrata su S ∈ M allora anche λ

+

, λ

e |λ| sono concentrate su S.

• Se λ  µ allora anche λ

+

, λ

e |λ| sono assolutamente continue rispetto a µ.

4. Si consideri la successione di funzioni g

n

(x) = x

n

sen(nx). Studiarne la convergenza (q.o., q.u., in misura e in L

1

) per x ∈ [−1, 1].

Tempo a disposizione: 2 ore

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