Modelli dei Mercati Finanziari Esame 07/09/2017
Esercizio Matematico
Si consideri la funzione di due variabili f (x, y) = xy definita su
S = {(x, y) ∈ R2: x > 0}.
1. Si rappresenti graficamente S.
2. Si stabilisca se S `e:
(a) Limitato/illimitato.
(b) Convesso/non convesso.
(c) Aperto/chiuso/n´e aperto n´e chiuso.
3. Si determinino i punti critici di f su S, cio´e i punti x ∈ S in cui il gradiente si annulla.
4. Si calcoli la matrice Hessiana di f nel generico punto x ∈ S.
5. Attraverso l’analisi della matrice Hessiana nei punti critici, se ne stabilisca, se possibile, la loro natura (punto di massimo locale, di minimo locale o di sella).
Soluzione 1. FARE GRAFICO
2. S `e aperto, illimitato, convesso.
3. Si ha
∇f (x, y) = yxy−1, xylog x , da cui si deduce che l’unico punto critico `e (x∗, y∗) = (1, 0).
4. Si ha
Hf (x, y) =
y(y − 1)xy−2 (y log x + 1)xy−1 (y log x + 1)xy−1 xylog2x
.
5. Si ha
Hf (1, 0) =
0 1 1 0
,
che `e indefinita. Se ne deduce che (x∗, y∗) = (1, 0) `e un punto di sella.
