1.2 Matrice hessiana

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 21 aprile 2015

1 Derivazione in più variabili

1.1 Gradiente

Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni.

1.

f (x, y) = x + y cos y Si utilizza la denizione di gradiente:

∇f (x, y) = ∂f (x, y)

∂x ;∂f (x, y)

∂y



(1.1) Si calcolano le derivate parziali, ricordando che tutte le variabili diverse da quella rispetta alla quale si sta eseguendo la derivazione devono essere considerate alla stregua di costanti:

∂f (x, y)

∂x = ∂

∂x

 x cos y+ y

cos y



= 1

cos y + 0 = 1

cos y (1.2)

Nella seconda derivata parziale occorre applicare la regola del quoziente poiché sia numeratore che deno- minatore sono funzioni di y.

∂f (x, y)

∂y = ∂

∂y

 x + y cos y



=1 · cos y − (− sin x) (x + y)

(cos y)² = cos y + (x + y) sin x

cos²y (1.3)

Quindi:

∇f (x, y) =

 1

cos y;cos y + (x + y) sin x cos²y



(1.4) 2.

f (x, y) = arctan x²+ y

∂f (x, y)

∂x = ∂

∂x arctan x²+ y

= 1

1 + (x²+ y)²· 2x = 2x

1 + (x²+ y)² (1.5)

∂f (x, y)

∂y = ∂

∂y arctan x²+ y

= 1

1 + (x²+ y)² · 1 = 1

1 + (x²+ y)² (1.6)

∇f (x, y) = 2x

1 + (x²+ y)²; 1 1 + (x²+ y)²

!

(1.7) 3.

f (x, y, z) = e^−(2x+y)2− 4y

∂f (x, y)

∂x = ∂

∂x



e^−(2x+y)2− 4y

= e^−(2x+y)2· (−2 (2x + y)) · 2 = −4 (2x + y) e^−(2x+y)2 (1.8)

∂f (x, y)

∂y = ∂

∂y



e^−(2x+y)2− 4y

= e^−(2x+y)2· (−2 (2x + y)) · 1 = −2 (2x + y) e^−(2x+y)2 (1.9)

∇f (x, y) =

−4 (2x + y) e^−(2x+y)2; −2 (2x + y) e^−(2x+y)2

(1.10)

4.

f (x, y) =p

x²+ y² in P (2; 1)

∂f (x, y)

∂x = ∂

∂x

px²+ y²

= 1

2p

x²+ y² · 2x = x

px²+ y² (1.11)

∂f (x, y)

∂y = ∂

∂y

px²+ y²

= 1

2p

x²+ y² · 2y = y

px²+ y² (1.12)

∇f (x, y) = x

px²+ y²; y px²+ y²

!

(1.13)

∇f (2, 1) =

 2

√2²+ 1²; 1

√2²+ 1²



=

 2

√5; 1

√5



(1.14) 5.

f (x, y) =p

x²+ y² in P (0; 0)

∇f (x, y) = x

px²+ y²; y px²+ y²

!

(1.15)

∇f (0, 0) =

 0

√0²+ 0²; 0

√0²+ 0²



= ?!? (1.16)

La funzione NON è derivabile nel punto P (0, 0). Se si prova a calcolare la derivata parziale rispetto alla variabile x seguendo la denizione si scopre che:

 ∂f (x, y)

∂x



x=0

= df (x, 0) dx



x=0

= d dx

px²+ 0²

x=0

= d dx(|x|)



x=0

(1.17) Come è noto, la funzione modulo non è derivabile nell'origine.

1.2 Matrice hessiana

Calcolare la matrice hessiana delle seguenti funzioni.

1.

f (x, y) = ln x²+ y²
Il primo passo è calcolare le derivate parziali prime:

∂f (x, y)

∂x = ∂

∂x ln x²+ y²

= 1

x²+ y² · 2x = 2x

x²+ y² (1.18)

∂f (x, y)

∂y = ∂

∂y ln x²+ y²

= 1

x²+ y² · 2y = 2y

x²+ y² (1.19)

Poi le derivate seconde:

∂²f (x, y)

∂x² = ∂

∂x

 ∂f (x, y)

∂x



= ∂

∂x

 2x x²+ y²



=2 x²+ y²
− 2x · 2x

(x²+ y²)² = −2x²+ 2y²

(x²+ y²)² (1.20)

∂²f (x, y)

∂y∂x = ∂

∂y

 ∂f (x, y)

∂x



= ∂

∂y

 2x x²+ y²



=0 x²+ y²
− 2x · 2y

(x²+ y²)² = −4xy

(x²+ y²)² (1.21)

∂²f (x, y)

∂x∂y = ∂

∂x

 ∂f (x, y)

∂y



= ∂

∂x

 2y x²+ y²



= 0 x²+ y²
− 2x · 2y

(x²+ y²)² = −4xy

(x²+ y²)² (1.22)

∂²f (x, y)

∂y² = ∂

∂y

 ∂f (x, y)

∂y



= ∂

∂y

 2y x²+ y²



= 2 x²+ y²
− 2y · 2y

(x²+ y²)² = 2x²− 2y²

(x²+ y²)² (1.23)

Le derivate parziali miste sono uguali per il teorema di Schwarz. In generale si può quindi evitare di ripetere il calcolo. La matrice hessiana è denita come:

Hf(x, y) =

"_∂²_{f (x,y)}

∂x²

∂²f (x,y)

∂y∂x

∂²f (x,y)

∂x∂y

∂²f (x,y)

∂y²

#

(1.24)

Quindi nel caso in questione vale:

H_f(x, y) =

" _−2x²_+2y²

(x²+y²)²

−4xy (x²+y²)²

−4xy (x²+y²)²

2x²−2y² (x²+y²)²

#

(1.25)

2.

f (x, y, z) = e^2z−y+ y²+ ln x²− 8 Derivate parziali prime:

∂f (x, y, z)

∂x = ∂

∂x e^2z−y+ y²+ ln x²− 8
= 1

x² · 2x = 2

x (1.26)

∂f (x, y, z)

∂y = ∂

∂y e^2z−y+ y²+ ln x²− 8
= −e^2z−y+ 2y (1.27)

∂f (x, y, z)

∂z = ∂

∂z e^2z−y+ y²+ ln x²− 8
= 2e^2z−y (1.28) Derivate seconde:

∂²f (x, y, z)

∂x² = ∂

∂x

 2 x



= − 2

x² (1.29)

∂²f (x, y, z)

∂y∂x = ∂

∂y

 2 x



= 0 (1.30)

∂²f (x, y, z)

∂z∂x = ∂

∂z

 2 x



= 0 (1.31)

∂²f (x, y, z)

∂x∂y = ∂

∂x −e^2z−y+ 2y
= 0 (1.32)

∂²f (x, y, z)

∂y² = ∂

∂y −e^2z−y+ 2y
= e^2z−y+ 2 (1.33)

∂²f (x, y, z)

∂z∂y = ∂

∂z −e^2z−y+ 2y
= −2e^2z−y (1.34)

∂²f (x, y, z)

∂x∂z = ∂

∂x 2e^2z−y
= 0 (1.35)

∂²f (x, y, z)

∂y∂z = ∂

∂y 2e^2z−y
= −2e^2z−y (1.36)

∂²f (x, y, z)

∂z² = ∂

∂z 2e^2z−y
= 4e^2z−y (1.37)

La matrice hessiana è:

Hf(x, y, z) =





−_x²2 0 0

0 e^2z−y+ 2 −2e^2z−y 0 −2e^2z−y 4e^2z−y



 (1.38)

3.

f (x, y, z) = x sin (y) + 2xy² in P (1, 0, 1) Derivate parziali prime:

∂f (x, y, z)

∂x = ∂

∂x x sin (y) + 2xy²
= sin y + 2y² (1.39)

∂f (x, y, z)

∂y = ∂

∂y x sin (y) + 2xy²
= x cos y + 4xy (1.40)

∂f (x, y, z)

∂z = ∂

∂z x sin (y) + 2xy²
= 0 (1.41)

Derivate seconde:

∂²f (x, y, z)

∂x² = ∂

∂x sin y + 2y²
= 0 (1.42)

∂²f (x, y, z)

∂y∂x = ∂

∂y sin y + 2y²
= cos y + 4y (1.43)

∂²f (x, y, z)

∂z∂x = ∂

∂z sin y + 2y²
= 0 (1.44)

∂²f (x, y, z)

∂x∂y = ∂

∂x(x cos y + 4xy) = cos y + 4y (1.45)

∂²f (x, y, z)

∂y² = ∂

∂y(x cos y + 4xy) = −x sin y + 4x (1.46)

∂²f (x, y, z)

∂z∂y = ∂

∂z(x cos y + 4xy) = 0 (1.47)

∂²f (x, y, z)

∂x∂z = ∂

∂x(0) = 0 (1.48)

∂²f (x, y, z)

∂y∂z = ∂

∂y(0) = 0 (1.49)

∂²f (x, y, z)

∂z² = ∂

∂z(0) = 0 (1.50)

La matrice hessiana è:

Hf(x, y, z) =





0 cos y + 4y 0

cos y + 4y −x sin y + 4x 0

0 0 0



 (1.51)

Hf(1, 0, 1) =





0 1 0 1 4 0 0 0 0



 (1.52)

1.3 Derivate direzionali

Calcolare la derivata della funzione f nel punto P verso la direzione −→v.

Le seguenti funzioni sono dierenziabili nei punti indicati. Si sfrutta quindi il teorema che garantisce:

∂f (x, y)

∂−→v = ∇f (x, y) · −→v (1.53)

Dove il prodotto tra il vettore gradiente e −→v è scalare.

1.

f (x, y) = e^−yx2+ 2x sin y P (1, 0) v (2, 1) Il gradiente della funzione è:

∇f (x, y) =

−2yxe^−yx2+ 2 sin y; −x²e^−yx2+ 2x cos y

(1.54) Nel punto P :

∇f (1, 0) = (0 + 0; −1 + 2) = (0; 1) (1.55)

Si può ora calcolare la derivata direzionale:

∂f (x, y)

∂−→v = ∇f (x, y) · −→v = (0; 1) · (2; 1) = 0 · 2 + 1 · 1 = 1 (1.56)

2.

f (x, y) = ln x y



+ 3x²y³ P (1, 1) v (−2, 2) Il gradiente della funzione è:

∇f (x, y) = y x·1

y + 6xy³;y x



−x y²



+ 9x²y²



= 1

x+ 6xy³; −1

y + 9x²y²



(1.57) Nel punto P :

∇f (1, 1) = (1 + 6; −1 + 9) = (7; 8) (1.58)

Si può ora calcolare la derivata direzionale:

∂f (x, y)

∂−→v = ∇f (x, y) · −→v = (7; 8) · (−2; 2) = 7 · (−2) + 8 · 2 = 4 (1.59)

1.4 Piano tangente

Determinare l'equazione del piano tangente alla funzione f nel punto P indicato.

L'equazione del piano tangente ad una funzione f in P (x0; y0)è molto simile a quella della retta tangente per le funzioni di una sola variabile:

z = f (x0; y0) + ∇f (x0; y0) · (x − x0; y − y0) (1.60) Ancora una volta il prodotto che compare nella precedente relazione è di tipo scalare.

1.

f (x, y) = x²+ 2xy + y P (1, 0) Il gradiente della funzione è:

∇f (x, y) = (2x + 2y; 2x + 1) (1.61)

Nel punto P :

∇f (1, 0) = (2; 3) (1.62)

Si può ora calcolare il piano tangente:

z = f (x0; y0) + ∇f (x0; y0) · (x − x0; y − y0) (1.63) z = f (1; 0) + ∇f (1; 0) · (x − 1; y − 0) (1.64) z = 1 + (2; 3) · (x − 1; y) = 1 + 2 (x − 1) + 3y (1.65)

2x + 3y − z = 1 (1.66)

2.

f (x, y) = x + y + 1 P (1, 1) Il gradiente della funzione è:

∇f (x, y) = (1; 1) = ∇f (1, 1) (1.67)

Si può ora calcolare il piano tangente:

z = f (x0; y0) + ∇f (x0; y0) · (x − x0; y − y0) (1.68) z = f (1; 1) + ∇f (1; 1) · (x − 1; y − 1) (1.69) z = 3 + (1; 1) · (x − 1; y − 1) = 3 + (x − 1) + (y − 1) (1.70)

z = x + y + 1 (1.71)

La funzione di partenza già rappresenta un piano: è quindi naturale che il piano tangente sia la funzione stessa.