• Non ci sono risultati.

Se y, z sono soluzioni dell’equazione lineare

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Se y, z sono soluzioni dell’equazione lineare"

Copied!
2
0
0

Testo completo

(1)

Equazioni lineari del II ordine

Note per il corso di Analisi Matematica (II modulo) per gli studenti di Ingegneria Automatica e In- gegneria Informatica - Anno Accademico 2007/2008 (I canale).

Queste note hanno lo scopo di integrare il libro di testo ”Bertsch - Dal Passo - Giacomelli”, Analisi Matematica, sezione 16.5 (pp. 444-447), al quale facciamo riferimento e che lo studente deve comunque consultare.

1) Cominciamo con una immediata conseguenza del teorema di esistenza ed unicit` a (Teorema 16.9).

Se y, z sono soluzioni dell’equazione lineare

y

00

= b(x)y

0

+ c(x)y + d (1)

e si ha: y(x

0

) = z(x

0

) e y

0

(x

0

) = z

0

(x

0

) in un punto x

0

∈ I, allora y(x) = z(x) per ogni x ∈ I.

Esempio Il problema di Cauchy

 z

00

= a(x)z

0

+ b(x)z z(x

0

) = 0, z

0

(x

0

) = 0

ha come unica soluzione la funzione identicamente nulla: z ≡ 0 (perch` e questa risolve il problema).

2) Principio di sovrapposizione Se y

1

, y

2

sono soluzioni dell’equazione omogenea

y

00

= a(x)y

0

+ b(x)y (2)

e α

1

, α

2

∈ R, allora anche la combinazione lineare α

1

y

1

(x) + α

2

y

2

(x) ` e una soluzione di (2). Una conseguenza del principio di sovrapposizione ` e che l’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea (2) ha la struttura di spazio vettoriale.

3) Osservazione sul Lemma 16.2: due soluzioni y

1

, y

2

di (2) sono linearmente indipendenti se e solo se lo sono i due vettori (y

1

(x

0

), y

10

(x

0

)) e (y

2

(x

0

), y

20

(x

0

)).

4) Dimostrazione del Teorema 16.10.

(i) Abbiamo (y

1

(x

0

), y

10

(x

0

)) = (1, 0) e (y

2

(x

0

), y

20

(x

0

) = (0, 1), e quindi y

1

, y

2

sono linearmente in- dipendenti per l’osservazione nel punto 3) delle presenti note ((1, 0) e (0, 1) sono vettori indipendenti).

(ii) Per il momento, supponiamo che y

1

e y

2

siano come in (i). Se y ` e una soluzione di (2) allora posto C

1

= y(x

0

), C

2

= y

0

(x

0

) e z(x) = C

1

y

1

(x) + C

2

y

2

(x), si ha:

 z

00

= a(x)z

0

+ b(x)z

z(x

0

) = y(x

0

), z

0

(x

0

) = y

0

(x

0

)

e quindi, per il punto 1) delle presenti note, possiamo concludere che y ≡ z ≡ C

1

y

1

+ C

2

y

2

. In altri termini, ogni soluzione di (2) pu` o essere scritta come combinazione linare di y

1

, y

2

, cio` e le due funzioni y

1

e y

2

formano una base per lo spazio delle soluzioni; in particolare, questo spazio ha dimensione due.

Allora se y

1

, y

2

sono due qualunque soluzioni linearmente indipendenti di (2), anche esse formano una base per lo spazio delle soluzioni e l’integrale generale di (2) ` e

y(x) = C

1

y

1

(x) + C

2

y

2

(x).

(iii) Sia y una fissata soluzione dell’equazione completa (1) e y e

1

, y

2

due soluzioni linearmente indipen- denti dell’omogenea associata (1). Se y ` e una qualunque soluzione di (1), allora z = y − y ` e e una soluzione di (2):

1

(2)

z

00

= y

00

− y e

00

=ay

0

+ by

0

+ d − (a y e

0

+ b y + d) e

=a(y

0

− e y

0

) + b(y − y) e

=az

0

+ bz,

e quindi esistono due costanti C

1

, C

2

∈ R tali che z = C

1

y

1

+ C

2

y

2

, cio` e

y = y + C e

1

y

1

+ C

2

y

2

. (3)

Viceversa, ` e facile verificare che ogni funzione del tipo (3) ` e una soluzione di (1).  5) Date due funzioni y

1

, y

2

∈ C(I), il loro Wronskiano ` e il determinante

W (x) =

y

1

(x) y

2

(x) y

10

(x) y

20

(x)

≡ y

1

(x)y

02

(x) − y

2

(x)y

10

(x).

La condizione nel punto 3) delle presenti note pu` o essere riformulata nel modo seguente: due soluzioni y

1

, y

2

di (2) sono linearmente indipendenti se e solo W (x

0

) 6= 0 (se e solo se W (x) 6= 0 per ogni x ∈ I).

2

Riferimenti

Documenti correlati

Sostituendo quest’ultima espressione nell’integrale generale troviamo

• Il foglio con il testo, compilato con nome e cognome ed eventualmente numero di matricola, va consegnato assieme alla bella copia.. Non si consegnano

• Il foglio con il testo, compilato con nome e cognome ed eventualmente numero di matricola, va consegnato assieme alla bella copia.. Non si consegnano

• Il foglio con il testo, compilato con nome e cognome ed eventualmente numero di matricola, va consegnato assieme alla bella copia.. Non si consegnano

Scrivere le equazioni del moto per il sistema dell’esercizio precedente utilizzando le equazioni

Integrali indefiniti – Il teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli-Barrow).. Formula fondamentale del

La dimostrazione di G¨ odel, con le integrazioni di Rosser, mostra, con un procedimento che ricorda quello diagonale di Cantor, che esistono funzioni che non rientrano nella

Vedremo, per nostro conto invece, una definizione di varietà che generalizza in modo intuitivamente chiaro i concetti di grafico di funzione, luogo degli zeri di una funzione,