Dispensa del corso di FLUIDODINAMICA DELLE MACCHINE

Prof. Pier Ruggero Spina Dipartimento di Ingegneria

Dispensa del corso di

“FLUIDODINAMICA DELLE MACCHINE”

Argomento: Onde di Mach e onde d'urto

(flusso stazionario, non viscoso di un gas perfetto)

Campo di pressione generato da una sorgente di disturbo mobile

m

Angolo di Mach μ:

 

 



= 

 =



 



= 

M V

c arcsen 1

arcsen

m

Campo di pressione generato da

una sorgente di disturbo mobile

Espansione e compressione isentropiche in un flusso supersonico

V

_t

V

_n

V

_t

V

_n

V

_t

V

_t

V + dV

V V

V - dV

1 2

n

n AV

AV _{1 2 2}

1 

 =

Bilancio di massa (applicato al volume di controllo, in figura delimitato

dalla linea tratteggiata):

Espansione e compressione isentropiche in un flusso supersonico

• direzione normale :  ₂ ^AV ₂ ² _n ⁻  ₁ ^AV ₁ ² _n ^{+ A} ( ^p ₂ ^{− p} ₁ ) ^{= 0}

V

_t

V

_n

V

_t

V

_n

V

_t

V

_t

V + dV

V V

V - dV

1 2

Bilancio della quantità di moto (applicato al volume di controllo, in

figura delimitato dalla linea tratteggiata):

Espansione e compressione isentropiche in un flusso supersonico

V

_t

V

_n

V

_t

V

_n

V

_t

V

_t

V + dV

V V

V - dV

1 2

1 2

p p

dp p

p

V V

dV V

V _{n n n n n}

=



−

=

=

 +

=

1 2

1 2

p p

dp p

p

V V

dV V

V _{n n n n n}

=

 +

=

=



−

=

Espansione e compressione isentropiche in un flusso supersonico

Un angolo convesso che genera una deviazione del flusso finita può essere visto come una sorgente di deviazioni infinitesime le cui onde di Mach divergono, non interferendo tra loro.

Il flusso può quindi accelerare gradualmente e isentropicamente.

Nel caso di un angolo concavo che genera una deviazione del flusso finita le onde di Mach che si generano

convergono e vanno a consolidarsi,

formando un'onda d'urto obliqua

Formazione delle onde d'urto

• Si pensi ad una serie di onde di compressione discrete (prodotte ad esempio da un pistone in un tubo mediante impulsi discreti, dove ciascun impulso del pistone produce un'onda di compressione debole che viaggia alla velocità del suono c, nel gas che si muove davanti ad essa alla velocità V)

• Ciascuna onda viaggia nella scia dell'onda precedente, ad una velocità

c c+dc+dc' c+dc

c+dc+

dc'+dc"

Formazione delle onde d'urto

Dato che le nuove onde si

muovono più velocemente

delle precedenti, finiscono

per collidere e consolidarsi

in un'onda urto

Formazione delle onde d'urto

c−dc c c−dc−dc'

• Nel caso di espansione onde successive presentano T ↓ , c ↓ e V ↑

• Non si generano onde d'urto di espansione

Onde d'urto normali

Bilancio di massa:

2

1 M

M  =    ₁ ^AV ₁ =  ₂ ^AV ₂

Bilancio della quantità di moto:

( _{2 1} ) ⁰

2 1 1

2 2

2 AV −  AV + A p − p =



Bilancio dell'energia:

( ) ( ) ⁰

2

2 ^{2 1 02 01}

2 1 2

2 − V + c T − T = c T − T =

V

p p

02 01

T T =



Onde d'urto normali

Utilizzando la definizione di numero di Mach:

2 2

2

2 V R T M

T R

M V 

 ^{ =}

=

Dall'equazione di bilancio dell'energia:

( ) ( ) ^{( ) 0}

1 2

1 2

2 ^{2 1}

2 1 1 2

2 2

1 2

2 1 2

2 − =

+ −

−

=

− +

− R T T

M T R M

T R T

T V c

V

p 

 



 

 



 −

− +

 =



 



 −

− +

2 1 1

2 2

2 2

1 1 1 2

1 1

1 R M

T R M

T 











01 2

2 2 1

1 2 1 1

T T T

M T T

T =

+ − + −

= 



Onde d'urto normali

Dall'equazione di bilancio della quantità di moto:

1 0

2 2

1 1 2

2 2

1 2

2 1 1 2

2

2 V −  V + p − p =  p M −  p M + p − p =



Utilizzando la definizione di numero di Mach:

2 2

2

2 V p M

p

M V  

   =

=

( ) ( 1 1 ² )

2 2

2 1 M p 1 M

p +  = +   ₂

2 2 1 1

2

1 1

M M p

p



 +

= +

Onde d'urto normali

Dall'equazione di bilancio di massa:

Utilizzando la definizione di numero di Mach:

2 2

2 2 1

1 1

1 2

2 1

1 M R T

T R T p

R T M

R V p

V   

 =  =

V M R T

T R

M V 

 ^{ =}

=

1 2 2

1 1

2

T T p

p M = M



Onde d'urto normali

Sostituendo le espressioni di p ₁ /p ₂ e T ₂ /T ₁ precedentemente trovate:

1 2 2

1 1

2

T T p

p M = M

2 1

2 1 1

2 2

2 2 2

1

2 1 1

1

2 1 1

M

M M

M

M M









+ + − + =

+ −



2 1

2 2 2

1

1 1

M M p

p



 +

= +

2 2 2 1

1 2

2 1 1

2 1 1

M M T

T

+ − + −

= 



2 2

2 1 2

1 2 2

2 1 1

2 1 1

1 1

M M M

M

+ − + − +

= + 







Onde d'urto normali

Elevando al quadrato ambo i membri della:

2 1

2 1 1

2 2

2 2 2

1

2 1 1

1

2 1 1

M

M M

M

M M









+ + − + =

+ −

si ottiene un'equazione di secondo grado in : M ₂ ²

( ) ( ) ( )

( ) ^{1 F} ( )  ^{1 2 F} ( )  ^F ( ) ⁰

2 F 1 1

2 1 1 1

1

2 1 2

1 2

2 2

1 2 2

2 2

2 1 2

2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 2 2 2

=

−

−

 +

 

 − −



 =



 



 −

+ +

 =



 



 −

+ +

M M

M M

M

M M

M M M

M M



 









Onde d'urto normali

che risolta fornisce le seguenti due soluzioni (la prima delle quali valida in assenza di onda d'urto):

1 1 2

1 2

2 1 2

1 2

2

1 2

− − + −

=

=

M M

M

M M



 

Onde d'urto normali

( ) ^{1 2}

2

2 1 2

1

2 2 1

1 2

1

2 1 2

2 2 1 1

2

1 2

1 2

4

1 1 2 2

1 1

1 1 2 2 1

1 1 1

2

2 1 1

2 1 1

2 1 1

M M M

M M

M

M M

M T

T

−

+

− +

 

 



 −

 −



 



 + −

=

 =



 



 −

+ − + −

− −

+ −

− = +

+ −

=

















 











Sostituendo, nell'espressione di T ₂ /T ₁ precedentemente trovata,

( )

( )

 ^{2 2 1}  ₁ ^{2 1 1}

2 2 1

2 − −

−

= +

M M M







( )

( ) ^{1 2}

2

2 1 2

1

1 2

1 2

1

1 1 2 2

1 1

M

M M

T T

− +

 

 



 −

 −



 



 + −

=











Onde d'urto normali

Sostituendo, nell'espressione di p ₂ /p ₁ precedentemente trovata,

( )

( ) ^{( )} ( ^{2 1} )

1 1

1

1 2 2

1 2

1

1 1 2 1

1 2 1

2

1 1

1

2 2 1

1 2 1

2 2 1

1 2

1 2

2 1

2 1

2 2 1

1 2

1

2 1 2

2 2 1 1

2

+ + −

+

= +

= +

+ −

− +

+

−

= +

 =



 



 −

− + −

+

− −

= + +

= +



 







 

















 



 





M M M

M M M

M

M

M M

M

M M

M p

p

( )

( )

 ^{2 2 1}  ₁ ^{2 1 1}

2 2 1

2 − −

−

= +

M M M







1 1 1

2 ₂

1 1

2

+

− −

= +







 M p

p

Onde d'urto normali

( )

( )

 

 





+

− − +

+

 

 



 + −

 

 





+

− −

= +

=

 

 



 −

 −



 



 −

+

− +

 

 





+

− −

= +

=

1 1 1

2

2 1

2 1 1

1 1 1

2

1 1 2 2

1 1

1 2

1 1

1 1

2

2 1

2 1 2

1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

2 1 2

1 1 2 1

2











































M

M M

M

M M

M T M

T p p

Dalle espressioni di p ₂ /p ₁ e T ₁ /T ₂ si ricava ρ ₂ /ρ ₁ :

( )

( ) ₁ ²

2 1 1

2

1 2

1

M M

− +

= +









Onde d'urto normali

Dalle espressioni di p ₂ /p ₁ , T ₁ /T ₂ e M ₂ in funzione di M ₁ si ricavano le variazione di pressione totale p ₀₂ /p ₀₁ e di entropia Δs:

1 2

1 1

2 2 1

1 2 1 2 1

2 01

1 1

2 2

02 01

02

2 1 1

2 1 1

−

−

−

 

 



= 

 

 



 + −

 

 



 + −

=

= ^















T T p

p M

M p

p p

p p

p p

p p

p

Onde d'urto normali

Dalle espressioni di p ₂ /p ₁ , T ₁ /T ₂ e M ₂ in funzione di M ₁ si ricavano le variazione di pressione totale p ₀₂ /p ₀₁ e di entropia Δs:

1

2 2 2 2

1 01

02

1 1

2 1 1

1 1 1

2

−



 







 





+ − + −

 



 





+

− −

= +

















M M p M

p

2 1 1

2 1 2 1

2 01

1 1

2 2

02 01

02

2 1 1

2 1 1

−

−

 

 



 + −

 

 



 + −

=

=













M M p

p p

p p

p p

p p

p

1 1 1

2

₂

1 1

2

+

− −

= +







 M p

p 1

1 2

1 2

2 1 2 1 2

2

−

− + −

=

M M M



 

Onde d'urto normali

Dalle espressioni di p ₂ /p ₁ , T ₁ /T ₂ e M ₂ in funzione di M ₁ si ricavano le variazione di pressione totale p ₀₂ /p ₀₁ e di entropia Δs:

1

2 1

2 2 2

1 01

02

2 1 1

2 1 1

1 1 1

2

−



 







 



 + −

+ −

 



 





+

− −

= +

















M M p M

p ₁

1 2

1 2

2 1 2 1 2

2

−

− + −

=

M M M



 

( )

( )

( )

1 2

2 1 2 1

2 1 2

1

2 1 2

1 2 2

1 2

1 1

2 1 2

1

2 1 2

1 2

1 01

02

2 1 1

1 2 2

1 1

2

1 1 2 2

1 1

1 2

1 2 4

1 1 1

2 1 1

2 2

1 1

2 1 1 1 1

2 1

1 1

2

−

−

−

−

 



 

 +

 

 − −

 =

 

 



− +

 

 − −

=

 

 





 

 





 

 



 −

 −



 



 −

+

− +

− +

 



 





+

− −

= +

 

 





 

 





 

 



 −

 −



 



 −

+

− + +

− −

 



 





+

− −

= +

















 

 

















































M M

M M

M M

M M

M M

p M

p

Onde d'urto normali

Dalle espressioni di p ₂ /p ₁ , T ₁ /T ₂ e M ₂ in funzione di M ₁ si ricavano le variazione di pressione totale p ₀₂ /p ₀₁ e di entropia Δs:

01 02 1

2 ln

p R p

s s

s = − = −



1 1 2

1 1

2 1 2 1 01

02

1 1 1

2 2

1 1

2 1

−

−

 

 





+

− −

 +

 







 



 + −

+

= ^











 



M M

M p

p

Onde d'urto normali

In definitiva, tra monte (1) e valle (2) di un'onda d'urto normale, risulta:

1 1 2

1 1

2 2 02 1

1 1 1

2 1

2 1

−

−

 

 





+

− −

 +

 





 

 + −

+

= ^











 



M M

p p

1 1 2

1 2

2 1 2

1 2

2 −

− + −

=

M M

M



 

1 1 1

2 ₂

1 1

2

+

− −

= +







 M p

p ( )

( ) ₁ ²

2 1 1

2

1 2

1

M M

− +

= +









( )

( ) ^{1 2}

2

2 1 2

1

1 2

1 2

1

1 1 2 2

1 1

M

M M

T T

− +

 

 



 −

 −



 



 + −

=











Onde d'urto oblique

a) Un osservatore fisso vede l'onda d’urto normale.

Onde d'urto oblique

a) Un osservatore fisso vede l'onda d’urto normale.

b) Un osservatore che si muove verso il basso con velocità costante V

_t

lungo l'onda

d'urto vede l'onda d'urto obliqua.

Onde d'urto oblique

a) Un osservatore fisso vede l'onda d’urto normale.

b) Un osservatore che si muove verso il basso con velocità costante V

_t

lungo l'onda

d'urto vede l'onda d'urto obliqua.

Onde d'urto oblique

A

Bilancio di massa (applicato al volume di controllo, in figura delimitato dalla linea tratteggiata):

n

n AV

AV _{1 2 2}

1 

 =

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

V V

V V

n n

1 2 2

1



= 



n n

V

V

Onde d'urto oblique

A

Bilancio della quantità di moto (applicato al volume di controllo, in figura delimitato dalla linea tratteggiata):

• direzione normale all’onda d’urto:

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

V V

V V

n n

( _{2 1} ) ⁰

2 1 1

2 2

2 AV _n −  AV _n + A p − p =



• direzione tangenziale :  ₂ AV _{2 n} V _{2 t} −  ₁ AV _{1 n} V _{1 t} = 0  V _{1 t} = V _{2 t}

Onde d'urto oblique

A

Bilancio dell’energia (applicato al volume di controllo, in figura delimitato dalla linea tratteggiata):

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

V V

V V

n n

( ) ( ) ( ) ⁰

2 2

2

2 ^{2 1}

2 1 2

2 1

2 2

1 2

2 01

02 − = − + − = V − V + c T − T =

T T

V c T V

T

c _{p p} ^{n n} _p

Onde d'urto oblique

A

Bilancio dell’energia (applicato al volume di controllo, in figura delimitato dalla linea tratteggiata):

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

V V

V V

n n

2 1 2

2 2 2

2 2 2

01 02 01

02 1

1

2 1 1

1

1

2 1 1

1

T

T M

M M

T

M T

T T T

T =

+ − + −



 

  + −

 

 



 + −

=

=



= 







Onde d'urto oblique

A

Bilancio dell’energia (applicato al volume di controllo, in figura delimitato dalla linea tratteggiata):

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

V V

V V

n n

1 2

1 1

2 2 1

2 2

01

02

1 2

1 1 ₋

−

−

 

 



= 



 −

 

 



 + −

= ^















T T p

M p p

p

p

Onde d'urto oblique

A

Le equazioni di bilancio di massa, quantità di moto ed energia per le onde d’urto oblique sono identiche a quelle per le onde d’urto normali, se si sostituiscono le velocità con le rispettive componenti

normali all’onda d’urto, che equivale a vedere il flusso attraverso un'onda d'urto normale da un sistema di coordinate che si muove

con velocità costante V _t lungo l'onda d'urto.

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

V V

V V

n

n

Pertanto, tra monte (1) e valle (2) di un'onda d'urto obliqua, risulta:

1 1 2

1 2

2 1 2

1 2

2 −

− + −

=

n n

n

M M

M



 

1 1 1

2 ₂

1 1

2

+

− −

= +









M n

p p

Onde d'urto oblique

1 1 2

1 1

2 2 02 1

1 1 1

2 1

2 1

−

−

 

 





+

− −

 +

 





 

 + −

+

= ^











 



n n

M M

p p

( )

( ) ₁ ²

2 1 1

2

1 2

1

n n

M M

− +

= +









( )

( ) ^{1 2}

2

2 1 2

1

1 2

1 2

1

1 1 2 2

1 1

n

n n

M

M M

T T

− +

 

 



 −

 −



 



 + −

=











Onde d'urto oblique

(   )



−

=

=

sen sen

2 2

1 1

M M

M M

n n

2 1

1 1

2 2

1 2

T T RT

V RT V M

M

t t

t

t = =





essendo:

Pertanto:

( ) ( )

( ) ( )

( ^ ) ( ^ )

 

 





, F

s , ,

F

, F

, ,

F

, F

, ,

F

02

1 rρ

1 2 1

rp 1

2

1 rT

1 2 1

M 2

M p M

M p M

p

T M M T

M

=



=

=

=

=

=

A

Per determinare la relazione che intercorre tra gli angoli 𝛿 e 𝜎:

Onde d'urto oblique

( ) ( ) ( )

( ^ ) ^{ }



















2 2

1 2 2

1 1

2 2

1 2

1

sen 1

2

sen 1

tg tg tg

tg

M M V

V V

V

t t n

n

− +

= +

− =

− =

=

(   ) (   )





−

=

−

=

=

=

tg sen

tg sen

2 2

2

1 1

1

t n

t n

V V

V

V V

V

A

da cui:

Onde d'urto oblique

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ^ ) ^  ^{  (  )  (  ) } 

















































 







2 2 1 2

2 1 2

2 1 2

2 2

2 1

2 2 1

2 2 1

sen 1

tg sen

1 tg

sen 1

tg tg

tg tg

2 sen

1 tg

2tg

sen 1

2

sen 1

tg tg

tg tg tg 1

tg tg

M M

M M

M M

+ +

− +

=

−



+

− +

=

−

 +

 +

− +



− +

= +

−



= +

−

(   ) (   )





−

=

−

=

=

=

tg sen

tg sen

2 2

2

1 1

1

t n

t n

V V

V

V V

V

A

Onde d'urto oblique

( ^ ) ^  ^{  (  )  (  ) } 



₁²

sen

²

1 tg 2 tg

²

tg

²

1

₁²

sen

²

1

₁²

sen

²

2tg M − = + − M + + M

(   ) (   )





−

=

−

=

=

=

tg sen

tg sen

2 2

2

1 1

1

t n

t n

V V

V

V V

V

( ) ( ) (  )  (  ) 







 







 

cos 1

sen 1

2

1 sen

tg 2 tg

1 sen sen

1 2

1 sen

tg

tg 2

_{2 2}

1 2

2 1

2 2 1

2 2 2 1 2

2 1

2 2 1

M M

M M

M

M =

+ +

− +

 −

= +

+

− +

 −

=

che permette di ottenere:

A

che permette di ottenere:

Onde d'urto oblique

(   ) (   )





−

=

−

=

=

=

tg sen

tg sen

2 2

2

1 1

1

t n

t n

V V

V

V V

V

( ) ( ^ )







  F _ ,

2 cos 2

1 sen

tg

arctg 2 _{2 1}

1

2 2

1 M

M

M  =



 





+ +

 −

=

Onde d'urto oblique





Onde d'urto oblique

Per ciascun valore di M

₁

esiste un valore

di 𝛿 al di sopra del quale l'urto obliquo

con fronte d'onda rettilineo è impossibile



Onde d'urto oblique

Onde d'urto oblique

Onde d'urto oblique

Onde d'urto oblique

Onde d'urto oblique



Nel caso di una corrente supersonica, per δ > δ

_max

, il disturbo (sonico) non è in grado di risalire la corrente (supersonica) al di là di una zona prossima al corpo,

nella quale la corrente è fortemente rallentata e diventa subsonica.

L'urto obliquo con fronte d'onda rettilineo è impossibile e le onde di pressione continuamente generate si consolidano su una superficie, che diviene una

superficie di discontinuità

Onde d'urto oblique

Onde d'urto oblique

 





Onde d'urto oblique



Onde d'urto oblique



Onde d'urto oblique



₂



₁

Prese d'aria supersoniche

1.875

0.575

Prese d'aria supersoniche

₁

₂

₁

₂

0.95

0.78

667 . 0 78 . 0 95 . 0 90 . 0

78 . 0

; 95 . 0

; 90 . 0

03 04 02

03 01

02 01

04

03 04 02

03 01

02

=





=





=

=

=

=

p p p

p p

p p

p

p p p

p p

p

Prese d'aria supersoniche

₁

₂

0.95

0.78

p

Nel caso di sola onda d'urto normale con M

₁

= 3:

667 . 0 78 . 0 95 . 0 90 . 0

78 . 0

; 95 . 0

; 90 . 0

03 04 02

03 01

02 01

04

03 04 02

03 01

02

=





=





=

=

=

=

p p p

p p

p p

p

p p p

p p

p

M₁=3

Prese d'aria supersoniche

0.325

Riflessioni e interazioni di onde d'urto

• L'onda d'urto obliqua diretta A devia il flusso supersonico di un angolo 𝛿

• Nel caso usuale in cui il flusso nella regione (2) sia ancora supersonico, si genera un'onda d'urto riflessa B che deve deviare il flusso dello stesso angolo 𝛿

• Lo stato fisico del fluido e il numero di Mach nelle regioni (2) e (3) sono

determinati a partire dallo stato fisico del fluido e dal numero di Mach

B

Riflessioni e interazioni di onde d'urto

• Il flusso nelle regioni (4') e (4") deve avere stessa pressione e stessa direzione, anche se, essendo diverse le variazioni di entropia subite nel

passaggio attraverso le onde d'urto, saranno diversi i moduli delle velocità

• Nel punto di giunzione si genera una superficie di discontinuità costituita da una regione molto sottile di vortici concentrati (vortex sheet), la cui

• Le onde d'urto A e B si

incontrano in un punto, dando origine alle onde d'urto D e C Le due linee di corrente adiacenti, che passano da parti opposte

rispetto al punto di giunzione di A e B, sono generate:

• nella regione (4') dalle onde d'urto A e C

• nella regione (4") dalle onde

d'urto B e D

Riflessioni e interazioni di onde d'urto

• Nel caso in cui M

₁

sia abbastanza piccolo e sia elevata la deviazione richiesta per rendere il flusso parallelo alla parete superiore (δ > δ

_max

), si genera la riflessione di Mach, cioè l'onda incidente si incurva in prossimità della parete superiore originando un'onda d'urto normale



Riflessioni e interazioni di onde d'urto

• Nel caso in cui M

₁

sia abbastanza piccolo e sia elevata la deviazione richiesta per rendere il flusso parallelo alla parete superiore (δ > δ

_max

), si genera la riflessione di Mach, cioè l'onda incidente si incurva in prossimità della parete superiore originando un'onda d'urto normale

• Dall'incontro delle onde d'urto A e B si origina l'onda d'urto C; le onde d'urto A, B e C non risultano essere rettilinee in prossimità del punto di giunzione

• Nel punto di giunzione si genera una "slip line"

e il flusso a valle delle onde d'urto A, B e C

risulta rotazionale a causa della curvatura delle

onde d'urto

Riflessioni e interazioni di onde d'urto

• Nel caso siano presenti due

spigoli consecutivi le onde d'urto oblique A e B, originatesi nei due spigoli, si incontrano in un punto generando un'onda d'urto più forte D; l'inclinazione delle onde d'urto A e B è imposta dai valori di θ

₂

, θ

₃

e M

₁

• Il flusso nelle regioni (4) e (5) dovrà avere stessa pressione e stessa

direzione, ma con diverso modulo delle velocità (nel punto di giunzione si genererà una "slip line")

• Affinché tali condizioni siano verificate è necessario supporre che si generino

dal punto di giunzione delle onde, che possono essere sia onde di espansione,