UniPD – Facolt`a di Ingegneria – a.a. 04-05
Insegnamento di SEGNALI E SISTEMI (ALSI - Finesso)
Introduzione alla δ di Dirac
La δ di Dirac `e uno strumento matematico di grande utilit`a nello studio di segnali e di sistemi. In questa nota ci limitiamo ad introdurne euristicamente la definizione e a fornire le conoscenze operative necessarie. Rimandiamo chi desidera approfondire l’argomento ai testi di Matematica. In letteratura la δ di Dirac `e nota come: funzione delta, funzione impulsiva, impulso ideale.
La δ `e una funzione generalizzata definita dalla seguente equazione Z ∞
−∞
δ(τ )x(τ )dτ = x(0) (1)
valida per ogni x continua nell’intorno del punto t = 0. In molti testi ingegneristici la (1) `e detta ”propriet`a” rivelatrice, nel senso che la δ rivela il valore del segnale x nell’origine. L’interpretazione intuitiva `e la seguente.
Per ogni T > 0 definiamo il segnale rT(t) := 1
T rect µt
T
¶
= 1 T
µ u
µ t + T
2
¶
− u µ
t − T 2
¶¶
(2) (tracciatene il grafico!) allora, indicando con mT il valore medio di x nell’intervallo [−T2,T2],
Z ∞
−∞
rT(τ )x(τ )dτ = 1 T
Z T
2
−T2
x(τ )dτ = mT
Per il teorema del valore medio, mT → x(0) quando T → 0 e dunque
T →0lim Z ∞
−∞
rT(τ )x(τ )dτ = x(0)
Scambiando limite ed integrale (nella teoria rigorosa questo non si pu`o fare senza precauzioni) otteniamo
Z ∞
−∞
µ
T →0lim rT(τ )
¶
x(τ )dτ = x(0)
e dunque la δ `e interpretabile come δ(t) = lim
T →0rT(t) =
½ 0, se t 6= 0
∞, se t = 0 (3)
Intuitivamente possiamo pensare che la δ che compare in (1) sia approssima- bile in pratica con una funzione rT con T molto piccolo.
Conseguenze della definizione
(a)
Ponendo x(t) = 1 (funzione costante) si ha Z ∞
−∞
δ(τ )dτ = 1 (4)
ovvero l’area sotto la δ vale 1. Questa propriet`a vale anche per rT, qualunque sia T , e si conserva al limite. Si osservi che `e valida anche la
Z b
a
δ(τ )dτ = 1
per ogni [a, b] che contenga il punto 0.
(b)
Effettuando il cambio di variabile τ0 = −τ nella (1) si ottiene Z ∞
−∞
δ(−τ )x(τ )dτ = Z ∞
−∞
δ(τ )x(−τ )dτ = x(0) (5) dove, nella seconda uguaglianza, usiamo il fatto che x(−τ )|τ =0 = x(0). Nella (1) δ(τ ) e δ(−τ ) producono lo stesso risultato, possiamo dunque identificarle tra loro e considerare δ(t) un segnale pari
δ(−t) = δ(t)
Questo `e anche evidente nel processo di approssimazione: i segnali rT sono per definizione pari.
(c)
Ponendo g(t) = x(s − t) abbiamo, applicando la (1), Z ∞
−∞
δ(τ )g(τ )dτ = g(0)
sostituendo a g la sua definizione ed osservando che g(0) = x(s) si ha Z ∞
−∞
δ(τ )x(s − τ )dτ = x(s)
La lettera s `e stata introdotta per distinguere la traslazione dalla variabile indipendente. Tornando ad indicare con t la variabile indipendente
Z ∞
−∞
δ(τ )x(t − τ )dτ = x(t) (6)
Questa rappresentazione ”integrale” del segnale x `e di fondamentale im- portanza per il seguito. Con la sostituzione di variabile t − τ = τ0 si pu`o riscrivere l’ultimo integrale come
Z ∞
−∞
δ(t − τ )x(τ )dτ = x(t) (7)
In virt`u della parit`a della δ quest’ultima relazione si pu`o anche scrivere Z ∞
−∞
δ(τ − t)x(τ )dτ = x(t) (8)
Sostituendo x(t) = 1 nelle ultime due equazioni si dimostra che, per ogni t, R∞
−∞δ(t − τ )dτ =R∞
−∞δ(τ − t)dτ = 1.
A partire dalla (1), le formule (6), (7) e (8) sono state derivate con passaggi elementari, ma `e di fondamentale importanza sviluppare un’intuizione che permetta di riconoscerne la validit`a per semplice ispezione.
La (7) contiene la funzione δ centrata nel punto τ = t dell’asse di inte- grazione. Approssimando δ(t − τ ) con rT(t − τ ) (per T piccolo) il risultato della (7) `e il valore medio di x nell’intervallino £
t − T2, t +T2¤
dell’asse di integrazione τ che vale circa x(t), come compare a destra della (7). Questi stessi ragionamenti si applicano anche alla (8) in virt`u della parit`a della δ.
Nella (6) l’impulso rimane fermo nell’origine mentre il segnale `e traslato e ribaltato sull’asse di integrazione τ in modo tale che nell’origine si presenti il valore x(t), infatti x(t − τ )|τ =0 = x(t), e quindi il calcolo del valore medio nell’intervallino£
−T2,T2¤
dell’asse τ fornisce x(t).
Il seguente metodo dovrebbe aiutare a sviluppare l’intuizione della (6). Di- segnate su un foglio bianco gli assi cartesiani chiamando τ l’asse delle ascisse
(che sar`a l’asse di integrazione) e tracciate δ(τ ), centrata nell’origine. Ora su un foglio trasparente disegnate una nuova coppia di assi cartesiani, sem- pre chiamando τ l’asse delle ascisse e tracciate il grafico del segnale x(τ ).
Rovesciate ora il foglio trasparente (sollevandolo dal tavolo e ruotandolo di 180 gradi) e sovrapponete gli assi τ dei due fogli. Facendo scorrere orizzon- talmente il foglio trasparente sul foglio bianco otterrete il segnale x(t − τ ), dove t `e il punto dell’asse τ (di integrazione - sul foglio bianco) dove cade l’asse delle ordinate del foglio trasparente. Un attimo di riflessione vi convin- cer`a del fatto che nell’origine dell’asse d’integrazione compare ora il valore x(t). La δ nell’origine selezioner`a quindi proprio il valore x(t). Facendo scorrere il foglio trasparente da t = −∞ a t = ∞ si ottiene come risultato dell’operazione di media nell’intorno dell’origine proprio il segnale x(t) di partenza. Questo sforzo sar`a ampiamente ripagato nel seguito.
(d)
L’operazione definita dalle formule (6) e (7) merita un nome ed una no- tazione. Dati due segnali x ed y si dice convoluzione dei due segnali il segnale x ∗ y definito da
x ∗ y (t) :=
Z ∞
−∞
x(t − τ )y(τ )dτ = Z ∞
−∞
x(τ )y(t − τ )dτ
la seconda uguaglianza si ottiene effettuando il cambio di variabile τ0= t−τ come visto in precedenza. Con l’usuale abuso di notazione si scrive spesso x(t) ∗ y(t) per indicare la convoluzione dei segnali x ed y.
Alla luce di questa definizione le formule (6) e (7) si riassumono in δ(t) ∗ x(t) = x(t)
(e)
Qualunque sia T ∈ R valgono le formule Z ∞
−∞
δ(τ )x(t + T − τ )dτ = x(t + T ), Z ∞
−∞
δ(t + T − τ )x(τ )dτ = x(t + T )
Basta sostituire t + T al posto di t nelle formule (6) e (7). Impiegando la definizione della convoluzione si pu`o scrivere
δ(t + T ) ∗ x(t) = δ(t) ∗ x(t + T ) = x(t + T )
il risultato vale qualunque sia la traslazione T , in particolare per ogni k ∈ Z δ(t + kT ) ∗ x(t) = x(t + kT )
Vale quindi la formula X∞ k=−∞
δ(t + kT ) ∗ x(t) = X∞ k=−∞
x(t + kT ) = repT(x(t))
dove con repT(x(t)) abbiamo indicato la ripetizione periodica di x(t) definita in precedenza.
(f )
Sia f (t) una funzione continua nell’origine, allora
f (t) δ(t) = f (0) δ(t) (9)
ed analogamente
f (t) δ(t − T ) = f (T ) δ(t − T ) f (t) δ(t + T ) = f (−T ) δ(t + T )
La validit`a della (9) si dimostra scrivendo la definizione (1): per ogni x Z ∞
−∞
f (τ )δ(τ )x(τ )dτ = f (0)x(0) (10) Infatti possiamo pensare che il segnale su cui opera δ sia f (t)x(t), il valore rivelato sar`a dunque f (0)x(0). Ma questo `e lo stesso risultato che si ottiene applicando f (0) δ al segnale x. Poich´e il comportamento ”integrale” (cio`e nella formula (1)) di f (t)δ(t) `e identico a quello di f (0)δ(t) concludiamo che le due sono identiche (lo stesso ragionamento che aveamo impiegato per dimostrare la parit`a). Le altre regole si ricavano in modo analogo.
Intuitivamente: nell’approssimazione, per T piccolo, f (t)rT(t) ≈ f (0)rT(t).
In pratica: alla funzione che moltiplica l’impulso si sostituisce la costante pari al valore della funzione nel punto dove l’impulso `e centrato.
Esempi: cos tδ(t) = δ(t), ejtδ(t) = δ(t), ma anche tδ(t) = 0!
(g)
L’impulso `e spesso rappresentato con una freccia centrata nel punto di appli- cazione e di altezza pari all’ampiezza dell’impulso stesso. Si tenga presente che, dimensionalmente, l’ampiezza dell’impulso rappresenta un’area e non un valore, vale infatti Z ∞
−∞
c δ(τ )dτ = c
Relazione con il gradino unitario
La rappresentazione integrale del gradino unitario `e Z ∞
−∞
δ(τ )u(t − τ )dτ = u(t), (11)
Poich´e u(t − τ ) = 1 nell’intervallo (−∞, t) e 0 altrove la (11) `e Z t
−∞
δ(τ )dτ = u(t)
(anche questa formula deve risultare intuitivamente evidente al lettore). Ap- plicando la regola di differenziazione sotto il segno di integrale (nella teoria rigorosa questo non si pu`o fare) si ottiene
d
dtu(t) = δ(t)
Un’altra spiegazione intuitiva di questa importante relazione si ottiene leggendo la (3) come la definizione della derivata di una funzione ovvero (l’incremento
`e simmetrico rispetto al punto t dove si valuta la derivata) δ(t) = lim
T →0rT(t) = lim
T →0
u¡ t + T2¢
− u¡ t − T2¢
T = d
dtu(t) Differenziazione di segnali con discontinuit`a a salto
Saremo spesso interessati a scrivere la derivata generalizzata di segnali con- tenenti discontinuit`a a salto. Sia x(t) un segnale differenziabile ovunque tranne che in un numero finito di punti di discontinuit`a a salto. La derivata generalizzata di x(t) coincide con quella classica nei punti di differenziabilit`a.
Nei punti di salto compaiono δ di Dirac centrate nei punti di discontinuit`a e di ampiezza pari all’ampiezza del salto.
Esempio 1Sia x(t) = (t + 1)u(1 − t). Calcoliamo la derivata generalizzata con le usuali regole del calcolo diferenziale, ma ricordando che dtd u(t) = δ(t).
d
dtx(t) = 1 · u(1 − t) + (t + 1)δ(1 − t) · (−1) = u(1 − t) − 2δ(t − 1) dove abbiamo anche fatto uso della parit`a di δ e della regola f (t) δ(t − T ) = f (T ) δ(t−T ). Graficamente questa derivata si traccia immediatamente senza fare calcoli. Provare!
Esercizi
Esercizio 1.
Scegliere la risposta corretta (a)
Z ∞
−∞
cos t δ(t − τ )dτ = δ(t), 1, cos t (b)
Z ∞
−∞
cos τ δ(t − τ )dτ = δ(t), 1, cos t (c)
Z ∞
−∞
cos(t − τ ) δ(t − τ )dτ = δ(t), 1, cos t (d)
Z ∞
−∞
ejω(t−τ )δ(τ )dτ = ejωt, δ(t), 1
(e) sin(t +π
4) δ(t −π 4) =
√2
2 δ(t), 0, δ(t −π 4) Esercizio 2.
(a) Dimostrare che, qualunque sia a > 0, Z a
−a
δ(τ )x(t − τ )dτ = x(t) (12)
mentre Z a
−a
δ(t − τ )x(τ )dτ = x(t) rect( t
2a) (13)
Suggerimento:
Dimostrare che la (12) `e interpretabile come rect(2at) δ(t) ∗ x(t), mentre la (13) `e δ(t) ∗ rect(2at) x(t). Concludere applicando le propriet`a dimostrate.
Confrontare questo risultato con le (6), (7).
(b) Per quale insieme di segnali x vale x(t) = rect(2at ) x(t)?
Esercizio 3.
Calcolare la derivata generalizzata del segnale x(t) = sign(t) = u(t) − u(−t) sia analiticamente che graficamente
last update Feb, 18, 2005
