INTOI~NO ALLE DEI~IVATE I~0]t~IALI DELLA FUNZIONE POTENZIALE DI SUPERFICIE; NOTA DI G, kiorera.

SUPERFICIE; NOTA DI G, k I O R E R A .

L' artificio analitico semplieissimo col qua]o nel/a mia recente Nora ~ Sulle derivate seconde della funzione rotenziale di s pa- zio 7, (vedi 11 .Y, covo Cimento volume XXII) sono pervenuto a trovare condizioni generali per la esistenza di quelle derivate e le lore effettive espressioni mi ha condotto all:l risoluziono dell'analoga questione circa le derivate normali della funzione potenzialo di superficie. Pensando the questa mia nuova ricerea si connette naturalmente all'ultra sopra ricordata e lusingandomi the, stante l'importanza e la diflicolt'2 dell' argomento, la sua pubblicazione possa riuscire accetta ai matematici, mi permetto di esporla in questa breve Nota.

Per quanto a me consta le formule che qui trove per le de- rivate normali della funzione poteuziale di superfieie, come quello da me date nella biota citata per le derivato seconde della fun- zione potenziale di spazio sono nuoce, ma non ardirei sostenere in mode assoluto una simile affermazione, giacch~ i bisogni del- l'insegnamento hanno date e dhnno troppo spesso occasione a matematici valenti di approfondire questi argomenti.

Esamineremo d~pprima il case di una distribuzione superfi- ciale omogenea fat~a con densi~ uno sopra un pezzo a di su- perficie semplieemente conneszo.

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/ndieando con d o 1' etemento suporfieiale o con ~, la sua all.

stanza dal punto potenziato P, avremo per espressione della funzione potonzialo

,, = y ? .

Sia Po un puuto ifiterno del pezzo di superficie agente o o supponiamo ehe in P, la superfieie ammetta non solo il piano tangento m a e h o in esso la curvalura sia continua, e eiob, che la curvatura normale di oyni linea della ,'uperficie useente da Po sia finita e determinata in Po.

Dinotiamo eoi simboli n o o n' o le due normali a o eontrap- poste in P o e con n o n' lo duo normali eontrapposte sull'ele- mento mobilo d a , convenendo the n e n' sieno quelle due dire- zioni the suecedono con eontinuit~ rispettivamento ad n o o ad n'o. Assunto il punto potenziato P sulla normalo n o, avremo:

oc~ ancora idontieamonte:

d V

.

L' ultimo intogralt r~ppresenta 1' angolo Tiaualo s o t ~ ea[ dal polo P /~ veduto il pezzo di superttr o, quando per fteeia po- sitira si assume quolla rivolta dalla parte in eui r la nor- male n. Adtmquo deaigatllo con (,)r quest'angolo visuala la formula p r e o ~ t e ai pub ~erivera:

d v _ (~), . f c o s ( ~ , . ) - - cog (mz~

nel|a qualo ~ r i t L u ~ /ataadiamo c h e la d i r e z i o a a r a~a quella the da P torte verao | ' e l e m e n ~ guperficiale dr

Soffermiamoci alquanto ad ezaminare 1' alamo ia~gralo.

Detta a la proiezlono ortugonale di r sat piano taugonto a r in Po, si ha: u ~ r sen (rr~o)'e q~indi:

(1)~cos (rno) ~, cos (rn) dq _ f e o s (rno) - - cos (rn) _se.' d~

- .

Nutiamo in~)|tre che ~i ha ,ovviame~te:

lira cos (r~.l ~ r (~a) =, lira (~*o). lim son Crn,),

e che, essendo contiauu la curvatara ia P, ~ limiCe ai (n~-*) b u finite e determinate per o~r direvioar tmcente da Po. II valoro di lira sen

(me)

Essendo la curvatura di ~ r in P, esisterk una re- gions finita, piil o meno ampia, r a Po, nella qualo (n n o ) ~ ~ - e perb in ~[uesta si potrt porre: fr

u d u dS

dove u e 9 indicano le coordiaat~ l~lari ael pialo tangents in P'o alla superficie a. Allora quella porziane doll' integralo (1) che riferisce alla region9 aazidetta dirie~e:

cos(m.l- os(rm

d'ondo emerge the

rie@gr~b

nella quale es~ressi~)ne r, aesigna il raghrix) ve~tove elm da P, va alr elome~;o ~ .

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DefOe 0 l'angolo visuale sot~o eui dal polo P o e visto iI pezzo di superficie agente ~, abbiamo:

J dr~ '

ed ~ presto viste come il valore limi~e di (~)r, quande P s i av- vicina indefini~amente a P,, possa esprimersi per mezzo di O.

Supponiamo che ~ non sia chiusa: allora coil' agginnta di uu op- portune pezzo di superfieie ~' possiamo renderla chiusa dalla parte di P, eio~ in mode che 1:' cada nello spazio raechiuso da o-t- a'. Avremo allora: (z)p-t-(a')P-= 47r, e perb:

ma d' Mira parle

quindi:

lim (a)P .= 4~ - - (OJ)Po;

PP,sO

(o')p. ~ 0 = 2~t ,

lira (a)p ~ 21r "4- O . PF o =0

Lo stesso risultato si otterrebbe se ~ fosse chiusa dalla par~e della n'o o gii~ di per s~ o per r aggiunta di ua nuovo pezzo di superficie. A1 limite avremo dunque:

lira. d V ~ _ (2~ + O) -+- 0 PP~O ~ ' o

Analogamente assunto un puato potenziato pt sulla normale n' o e fattolo avvicinare indefinitamente a P,, avremo al limi~e-

d V

lira -v-- ,=, - - (2~r - - O) - - O . p'po~o a r e

Passiamo era al case generale di una dis~ribuzione fauna con legge qualunque sul pezzo di superfieie a. Dieiamo h la densitY.

Circa la funzione h rieordiamo che per dimostrare le solito propriet~ delia funzione potenziale oecorre solo ammet~ere che cssa sia integrabile lunge ogni linea della superficie agente, an- che rido#a ai suoi valori assoluti. -,Voi ammetteremo in oltre

cite in Po la densih'~ abbia un vdlore finito e determinato e ckee [ h - - h o [ sia integrabile a partire da Po lungo'_.qwalunque lin~a

uscente da quel punto.

Questa eondizione riehiede, come ognuno sa, che h sia con- tinua in Po, ma non riehiede necessariamente l' esistenza delle derivate di h. Questa eondizione sarebbe soddisfatfia, per esempio, allorquando per tutti i punfi di un infiorno superfieiale di Po, eomunque piccolo purch~ fini~o, fosse verifieata la eondizione:

con ~ positivo e non nullo e c positivo e finito.

Ammesse le _~roprietd indicate l)er la funzione h e ehe la superfine agenle sia di una curvatura continua in P. ~ presto

d V dV

dimostrato che le derivafe normali dn ~ , dn, ~ convergono verso limili determinati ~ "finiti quando i zvunti P, P' si accoslano in- definitamente a P,.

Infatti si ha:

_~_ i a•

V ~ " -~:=., ~ / ' h d d

+f

' a ~ . I d - ~ & ~ ho ~ & ( h - - h ~ &.

Ora quando P s i aeeosta indefinitamente a Po il primo integralo tende verso un limite, eho gi~ abbiamo trovato. Il 20 integralo pub essere scritto nella forma:

fh--_ ]~o ro u cos (r~o) - - &

y r . r r ~ '

e di qui si vede subito, rieorrendo alia s~essa trasformazione cho abbiamo ufilizzata per studiare l'integrale (1), che ~uesto inte.

grale si mantiene determiuato, finito e continuo ed al limile as- sume il valore:

f

(h-l~.) ~

&,

Serir ~. VOl. X X I I I . a

Si ha adunque senz'altro:

d V t " d ! _{r ~ d•}

PP.=olim ~ ~ _ he (2~ + o - o ) + J ( h - h o ) ~ , ed in mode perfettamente analogo:

d•

f "

,lira dV, ,~ _ ho (2rr - - f~ --r- O) + (h--ho) ~ da

p polo a~t o

Diciamo Fo la componente normale delia forza (ripuMva) esereitata dalla superfieie agente sull' unitb, di massa eolloeata in Po, stimata positivameate nel verso no; avremo:

A a• L

= ,o a,-f,,,-,,o) a , a

F.

I f ( d l d l ~ d a

f rod 1 } f d r'-~ol

- - ho

,.., \. ,;~

f aS ro

Fo ,= I~o ( n - o ) - (1, - 1~o) ~ d ~ .

Confrontando i valori limiti delle derivate normali con quello di F , si eoneludono lo note relazioni:

lim d V ~ -- 2,r ho ^-- Fo dV - - 2~ ho + Fo lira d;i'; ~"

che di regola si dimostrano con eonsiderazioni poco rigoroso t).

Notiamo iuoltre the se le eondizioni ammcsse in Po per la funzio~e h e 2er la nahtra geomctrica della stq)erficie agente sono soddis[dtte i~ tutti i jounti di una regione superfieiale finila, siecome gli integrali eho figurano helle nostro formulo sono tutti _pro~vrj, si eonelude facilmento che i valori limiti dellc derivate normali sono eontinui dapl)ertutto nell' interne di quella 9"egione.

1) Vedi p. cs. RiomanD~ Schwcre~ Elektrir und Magnaismue~ pag. 46-57.