(A. Maida) 1) Premesse

(A. Maida)

1) Premesse

Il riduzionismo.

La scoperta delle geometrie non euclidee di Saccheri e Lobachevskij, e la soluzione definitiva del millenario problema delle parallele, si ebbero nel 1872 con Klein che trovò un modello di geometria iperbolica dentro la geometria di Euclide (modello di Klein).

Divenne quindi legittimo, nei fondamenti della matematica, il punto di vista secondo il quale le teorie matematiche dovessero essere riformulate come teorie ipotetico-deduttive, basate cioè su assiomi e regole di deduzione, ricalcando in tale modo il metodo euclideo.

Il criterio giustificativo minimo richiesto agli assiomi non poteva più essere però l’evidenza degli stessi, la conoscenza cioè di un loro modello; la geometria non euclidea infatti, pur avendo assiomi per nulla evidenti, era altrettanto vera quanto lo era la geometria euclidea. Si richiese allora come criterio minimo accettativo di un sistema assiomatico l’esistenza di un modello degli assiomi, o equivalentemente la loro coerenza.

Non v’è un modo per provare la coerenza di un sistema assiomatico. Il metodo riduttivo consisteva solo nel trovare una teoria base che fosse adeguata, nel senso che su di essa si potessero fondare le altre teorie matematiche fondamentali, epperò anche coerente; dalla adeguatezza e coerenza della teoria base deriva poi la coerenza delle teorie su essa fondate.

Nell’800 era in auge il riduzionismo dell’analisi, che aveva permesso di ridurre l’analisi reale all’aritmetica. La scelta dell’aritmetica come teoria base era dunque legittima, poiché fra l’altro l’analisi complessa era riducibile all’analisi reale, la geometria euclidea era riducibile all’analisi complessa col metodo cartesiano, e la geometria non euclidea era riducibile a quella euclidea col modello di Klein. Non a caso quindi, alla fine dell’800 Peano assiomatizzò l’aritmetica.

Tale scelta non convinse però alcuni matematici. Anche perché v’era nell’aritmetica un assioma poco indagabile, quello dell’infinito. Fra l’altro, per un corollario del teorema di incompletezza di Gödel, era impossibile provarne la coerenza coi metodi ritenuti sicuri da Hilbert.

La teoria base di Cantor fu allora la teoria degli insiemi (cantorismo). Cantor, nel formulare per la prima volta una teoria degli insiemi come teoria a se stante, era fortemente convinto che la sua teoria semiassiomatica C, sicuramente adeguata, fosse anche coerente, e potesse dunque costituire un buon fondamento della matematica.

Come è noto tale convinzione cadde non appena, nel 1902, Bertrand Russell (1872-1970, Ravenscroft, Wales) scoprì all’interno del sistema F della logica di Frege il famoso paradosso che Cantor stesso ricostruì nella sua teoria. La C non poteva dunque costituire un fondamento della matematica!

La scoperta dei paradossi in C non mise però in crisi i cantoristi i quali cercarono di costruire delle teorie degli insiemi che potessero costituire un buon fondamento della

matematica. Nacquero così, a partire dal 1908, le teorie assiomatiche degli insiemi ZF ed NBG, laddove la C fu detta teoria ingenua.

Tali teorie sono sufficientemente adeguate. Inoltre, pur non essendo dimostrabile, per Gödel, la loro coerenza con metodi finitistici, è però verificabile che in esse non sono ripetibili le stesse derivazioni dei paradossi fatte in C.

Sul concetto di uguaglianza.

Il concetto di identità è generale e riguarda le cose. Due cose diconsi identiche se sono indistinguibili, e quindi sostituibili in ogni contesto; se cioè,

non esiste un enunciato vero per la prima cosa ma non per la seconda cosa.

Ne consegue che ogni cosa è identica solo a se stessa.

L’uguaglianza riguarda invece, non più cose qualsiasi, ma individui oggetto di studio di una particolare teoria matematica; si parla perciò di uguaglianza fra numeri, uguaglianza fra insiemi, e così via.

In ogni teoria matematica l’uguaglianza fra individui della teoria è sempre presente, o come concetto primitivo, non definito, o come concetto definito (nell’aritmetica l’uguaglianza è primitiva, nella teoria degli insiemi è definita). In entrambi i casi però, essa deve verificare due requisiti fondamentali; e cioè, la riflessività (ogni individuo è uguale a se stesso), e la sostitutività. Per la sostitutività, due individui uguali devono essere indistinguibili, e quindi sostituibili, non in ogni contesto, ma in ogni contesto della teoria;

cioè, se due individui x ed y sono uguali, allora

non esiste un enunciato della teoria vero per x ma non per y.

Quindi, due individui uguali non sono più indistinguibili in assoluto (altrimenti sarebbero identici), ma sono indistinguibili solo all’interno della teoria.

Si osservi che l’asserzione “x ed y diconsi uguali se x ed y sono nomi dello stesso individuo” è priva di senso; il problema è infatti proprio quello di stabilire il significato di essere lo stesso individuo.

2) Modelli intuitivi della teoria degli insiemi

Le interpretazioni.

In un ambito insiemistico, una interpretazione è una coppia M=<U,∈>, dove l’universo U è una collezione di individui qualsiasi dette classi, e l’appartenenza ∈ è una collezione di coppie ab di classi. Se ab è una coppia di ∈, si scriverà a∈b, e si dirà che a è un elemento di b. Per ogni interpretazione M=<U,∈> si danno le seguenti definizioni:

♦- Una classe a è un insieme se è elemento di qualche classe. Si scriverà Ma al posto di

“a è un insieme”.

♦- Una classe a è una classe propria se non è un insieme. Si scriverà Pra al posto di “a è una classe propria”.

♦- Due classi a e b diconsi uguali, e si scriverà a=b, se hanno gli stessi elementi. Se cioè, per ogni x di U,

x∈a⇔x∈b.

♦-Due classi a e b diconsi equivalenti, e si scriverà a≡b, se sono elementi delle stesse classi. . Se cioè, per ogni x di U,

a∈x⇔b∈x.

♦- Una classe a dicesi classe vuota se non ha elementi. Se cioè, per ogni x di U, x∉a. Si scriverà Va al posto di “a è

una classe vuota”.

♦- Una classe a dicesi classe totale se vi appartengono tutti gli insiemi. Se cioè per ogni x di U, Mx⇒x∈a. Si scriverà

Ta al posto di “a è una classe totale”

♦- Una classe a dicesi classe di Russell se è costituita dagli insiemi non singolari (cioè, non elementi di se stessi). Se

cioè, per ogni x di U,

(Mx ed x∉x)⇔ x∈a.

Si scriverà Ra al posto di “a è una classe di Russell”.

♦- Una collezione X di classi di U dicesi definita se esiste una classe di U costituita da tutti gli elementi della collezione. Si

osservi che ogni collezione definita è sicuramente una collezione di insiemi.

Esempi di interpretazioni.

a). U=⎨a,b,c⎬ ∈=⎨aa, ba, ca, ab, bb, cb, ac⎬.

Si può intanto osservare che, in termini intuitivi,

a=⎨a,b,c⎬ b=⎨a,b,c⎬ c=⎨a⎬.

Le proprietà sono deducibili dalla seguente tabella di facile lettura:

M Pr = ≡ ^{V T R} a No a=b b≡c No a No

b a=a a≡a b c b=b b≡b c=c c≡c

L’unica uguaglianza non banale è a=b; l’unica equivalenza non banale è b≡c. In tale interpretazione non vale quindi x=y⇒x≡y.

L’unico insieme che non si appartiene è c; ma non esiste la classe ⎨c⎬; non vi è dunque una classe di Russell. Si osservi poi che la collezione delle tre classi a,b,c è definita; non lo è invece la collezione delle due classi a e b; non esiste infatti la classe ⎨a,b⎬.

b). U=⎨a,b,c,d⎬ ∈=⎨aa, ba, ca, ab, bb, cb, ac⎬.

Intanto,

a=⎨a,b,c⎬ b=⎨a,b,c⎬ c=⎨a⎬ d=Ø. Le sue proprietà si deducono dalla tabella:

M Pr = ≡ ^{V T R} a d a=b b≡c d a No b a=a a≡a b c b=b b≡b c=c c≡c d=d d≡d

c). U=⎨a,b,c,d⎬ ∈=⎨aa, ba, ca, ab, bb, cb, ac, bc⎬.

La tabella è

M Pr = ≡ ^{V T R} a d a=b a≡b d a No b a=a a≡a b c b=b b≡b c=c c≡c d=d d≡d In questo caso vale la: x=y⇒x≡y.

d) U=⎨a,b,c,d,e⎬ ∈=⎨ac, bc, dd⎬.

Gli insiemi sono a, b, e d; gli insiemi che non si appartengono sono a e b. La classe di Russell ⎨a, b⎬ esiste ed è la classe propria c. Non esiste una classe totale.

Le proprietà logiche

Le proprietà logiche sono quelle proprietà valide in ogni interpretazione M=<U,∈>. Sono proprietà logiche le seguenti:

a). Due classi proprie sono equivalenti. Infatti, non appartenendo a nessuna classe, appartengono alle stesse classi.

b). Due classi equivalenti sono omonime. Infatti, appartenendo alle stesse classi, sono entrambe classi proprie o insiemi.

c). Esistono al più, una classe vuota, una classe totale, una classe di Russell. Infatti, due classi vuote, non avendo

elementi, avranno gli stessi elementi e sono dunque uguali. Analogamente due classi totali sono uguali, e così anche due

classi di Russell sono uguali.

d). Non può esistere un insieme di Russell.

Si supponga che in M esista la classe di Russell C. Si avrà per definizione:

(Mx ed x∉x)⇔ x∈C per ogni classe x. Allora, considerando la classe C,

(MC ed C∉C)⇔(C∈C).

Se allora C fosse un insieme, conseguirebbe C∉C e C∈C; e ciò non è possibile in M (paradosso di Russell).

e). Esistono collezioni di classi non definite. Diversamente, esisterebbero, e la classe di Russell C, e la classe ⎨C⎬ il cui

unico elemento sarebbe C. Ma allora C sarebbe un insieme.

f) Se è definita ogni collezione di insiemi esistono allora classi proprie. Esiste infatti la classe di Russell C.

Si mette in evidenza il fatto essenziale che

In nessuna interpretazione può esistere un insieme di Russell.

I modelli.

Una teoria degli insiemi pretende di descrivere, non tutte le interpretazioni, ma particolari interpretazioni verificanti alcune proprietà, che si diranno assiomi. Tali assiomi non devono ovviamente essere proprietà logiche, poiché queste valgono in ogni interpretazione.

Devono essere invece proprietà indipendenti dalle proprietà logiche e compatibili con le stesse.

La verifica dell’indipendenza di un nuovo assioma dalle proprietà logiche e da assiomi precedenti si realizza trovando una interpretazione nella quale esso non sia vero, ma lo siano gli assiomi precedenti. La verifica invece della compatibilità di un nuovo assioma coi precedenti assiomi e con le proprietà logiche si realizza trovando una interpretazione nella quale esso e gli assiomi precedenti siano veri.

Si osservi che ogni volta che si stabilisce un nuovo assioma si escludono automaticamente tutte le interpretazioni in cui esso non sia vero; rimangono dunque solo quelle interpretazioni nelle quali esso assioma, assieme agli assiomi precedenti, siano veri;

rimangono cioè i modelli degli assiomi stabiliti.

3) Gli assiomi di estensione e comprensione.

Assioma di estensione.

Si considerino le interpretazioni nelle quali, classi aventi gli stessi elementi appartengono alle stesse classi; tali particolari interpretazioni prendono il nome di modelli insiemistici.

Un modello insiemistico è cioè una interpretazione M=<U,∈> nella quale sia vero il seguente:

Assioma di estensione (AxE): x=y⇒x≡y.

L’assunzione dell’AxE è legittima. Esso è infatti indipendente e compatibile con le proprietà logiche poiché esistono le due interpretazioni a) e c) viste in precedenza.

L’assunzione dell’AxE è però anche necessaria. Da esso infatti conseguono delle proprietà valide nel modello e caratterizzanti l’uguaglianza. In primo luogo, notando che vi sono due modi, x=y o x≡y, per definire l’uguaglianza tramite l’appartenenza, in una accettabile teoria degli insiemi deve aversi che classi uguali devono appartenere alle stesse classi. Inoltre, l’uguaglianza, in quanto tale, deve verificare la sostitutività all’interno della teoria degli insiemi; e ciò accade se vale l’AxE. Infine, si prova come conseguenza di AxE che classi uguali sono omonime; e ciò consegue dalla proprietà logica b).

Nel seguito, si considereranno solo modelli insiemistici

Assiomi di comprensione.

L’assioma di comprensione, storicamente è stato formulato in due modi diversi, qui indicati come assioma di comprensione di Cantor ed assioma di comprensione.

Assioma di comprensione di Cantor (AxCantor):

Ogni collezione di classi e definita.

In altri termini, per ogni proprietà P,

esiste sempre la classe ⎨x/ Px⎬ di tutte le classi x verificanti la proprietà P.

In un modello di tale assioma non vi sono classi proprie; infatti, per ogni classe X, esisterà la classe ⎨X⎬ avente come unico elemento X. Esisterebbero poi, e insiemi piccoli per cardinalità, e insiemi grandi per cardinalità quali l’insieme di Russell C e l’insieme di tutti gli insiemi V. Ma l’esistenza dell’insieme C non è possibile (per la proprietà logica d)).

Tale assioma non è allora compatibile, poiché non esiste un suo modello.

Assioma di comprensione (AxC): Ogni collezione di insiemi è definita.

In altri termini, per ogni proprietà P,

esiste sempre la classe ⎨x/ Mx e Px⎬ di tutti gli insiemi x verificanti la proprietà P.

Tale assioma assicura, come si vedrà, l’esistenza, in un suo modello, di un gran numero di classi piccole o grandi.

4) La teoria degli insiemi di Cantor.

Le tre teorie degli insiemi, e cioè C, ZF ed NBG, pretendono di descrivere modelli insiemistici; modelli cioè nei quali, l’appartenenza è primitiva, l’uguaglianza è definita come avere gli stessi elementi, e vale l’assioma di estensione.

Cantor assunse ulteriormente nella sua teoria C l’assioma di comprensione sotto la forma già vista:

AxCantor: Ogni collezione di classi è definita.

Ma come si è visto tale assioma non è compatibile; non esiste cioè un suo modello a causa del paradosso di Russell, scoperto nel 1902 quando Cantor aveva quasi completato la sua opera.

Nonostante il paradosso, l’edificio cantoriano rimane in piedi (tutto sommato, per evitare i paradossi basta non applicare l’AxC a proprietà che genererebbero insiemi molto grandi, quali l’insieme di Russell).

Fu merito di Cantor la riscoperta dell’infinito attuale, anzi di una molteplicità di infiniti attuali. Si ricordi che, a partire dai greci, non era concepibile l’esistenza di insiemi infiniti (infinito attuale); un insieme era considerato solo potenzialmente infinito. Galilei aveva tentato di rivalutare l’infinito attuale, ma aveva intuito i paradossi dell’infinito attuale;

aveva dimostrato, ad esempio, che i numeri naturali sono tanti quanti sono i numeri pari;

ne derivava che un tutto era uguale ad una sua parte; e ciò era contro il punto di vista euclideo.

Cantor stabilì invece che un tutto può benissimo essere uguale ad una sua parte, purchè per uguale s’intenda equipotente; anzi Dedekind stabilì come definizione di insieme infinito proprio l’essere equipotente ad una sua parte propria.

La scoperta di una molteplicità di infiniti attuali diversi, i numeri cardinali infiniti (gli aleph) sconcertò probabilmente lo stesso Cantor. Di famiglia ebrea, però cattolico battezzato, Cantor si sentì in dovere di recarsi alla fine del 1800 in Vaticano per essere sicuro che le sue scoperte non contrastassero cogli insegnamenti della Chiesa. Fu nominata una commissione di cardinali che dopo un po’ di tempo concluse che, pur non essendoci problemi, sarebbe però stato opportuno non parlare di numeri infiniti. Cantor usò allora la locuzione numeri transfiniti. I matematici posteriori li chiamarono invece ironicamente numeri cardinali.

Si deve a Cantor la prova della numerabilità dei razionali, operata con la diagonalizzazione:

5) La teoria degli insiemi NBG

In NBG si assume ulteriormente l’assioma di comprensione sotto la forma già vista AxC: Ogni collezione di insiemi è definita.

In termini più precisi, per ogni proprietà predicativa (un enunciato cioè, nel quale sono quantificate solo variabili per insiemi) P,

Esiste sempre la classe ⎨x/ Mx e Px⎬ di tutti gli insiemi x verificanti la proprietà P.

Tale classe sarà poi unica, in base alla definizione di uguaglianza.

L’AxC assicura l’esistenza in un suo modello di un gran numero di classi, alcune delle quali sono di seguito definite. Tutto sommato, le classi esistenti sono gli insiemi piccoli e grandi di Cantor.

a) La classe totale: V=⎨x/ Mx e x=x⎬

È la classe definita dalla proprietà predicativa x=x. È cioè la classe V=⎨x/ Mx e x=x⎬ di tutti gli insiemi, o classe totale.

b) La classe vuota: 0=⎨x/ Mx e x≠x⎬.

c) La classe di Russell: C=⎨x/ Mx e x∉x⎬.

d) La classe potenza di X: PX=⎨x/ Mx e x⊂X⎬.

e) La classe somma di X. ∪X=⎨x/∃v(x∈v∈X)⎬.

f) La coppia non ordinata di X ed Y. ⎨X,Y⎬=⎨x/ Mx e (x=X o x=Y)⎬.

g) La coppia ordinata di X ed Y: XY=⎨⎨X⎬, ⎨X,Y⎬.

Una classe X dicesi univoca se:

(xy, xz∈X)⇒(y=z).

Se X ed Y sono due classi, l’immagine in Y di X, è la classe Y(X) delle seconde coordinate delle coppie di Y la cui prima coordinata è in X.

A proposito del paradosso di Russell.

Si ricordi che in Cantor, il paradosso di Russell conseguiva dalla equivalenza C∉C⇔C∈C.

Tale equivalenza in NBG non è più valida; infatti, essendo C una classe propria, sarà C∉C;

ma da ciò non consegue C∈C, poiché C non è un insieme. Quindi, la derivazione del paradosso di Russell fatta in Cantor non è ripetibile in NBG. Non si sa però se il paradosso è derivabile in NBG in altro modo. Fra l’altro, nessuno sa se esiste un qualche modello dell’AxC di NBG.

Assiomi degli insiemi.

I successivi assiomi di NBG stabiliscono quali collezioni generino insiemi e quali no.

Intuitivamente, le cose dovrebbero essere fatte in modo tale che, mentre come si è visto è possibile generare in NBG, come classi, tutti gli insiemi grandi e piccoli di Cantor, gli insiemi di NBG dovrebbero invece essere solo gli insiemi piccoli di Cantor.

Sono, in NBG, i seguenti tre assiomi:

Assioma dell’insieme somma (AxU): La classe somma di un insieme è un insieme.

Assioma dell’insieme potenza (AxP): La classe potenza di un insieme è un insieme.

Assioma di rimpiazzamento (AxR): Se Y è una classe univoca ed X un insieme, l’immagine Y(X) è un insieme.

Proprietà degli insiemi.

a). La classe vuota è un insieme. La classe 0 è banalmente univoca, e, per ogni insieme x, 0(x)=0. La tesi deriva da

AxR.

b) L’intersezione Y∩y di una classe ed un insieme è un insieme. La classe Z=⎨uu / u∈Y⎬, esistente per AxC, è

univoca. Poiché Y∩y=Z(y), la tesi deriva allora da AxR ed AxE.

c) Ogni sottoclasse di un insieme è un insieme. Deriva da b.

d) La classe totale è una classe propria. La tesi deriva da c, essendoC una classe propria e C⊂V.

e) Per ogni X, ⎨X⎬ è un insieme.

f) Per ogni n≥0, esiste un insieme di n elementi.

i) Ogni n-pla non ordinata ⎨Y0,…,Yn-1⎬ di classi è un insieme.

l) Se x ed y sono insiemi, lo sono allora anche domx, codx, x∪y, x∩y, x•y.

Assioma dell’infinito.

Per ogni insieme x, posto x’=x∪⎨x⎬, sia

0=0 1=0’=0∪⎨0⎬=⎨0⎬ 2=1’ =⎨0,1⎬ 3=⎨0,1,2⎬, ………. .

Si prova che i precedenti sono insiemi distinti. Esiste inoltre, per l’assioma di comprensione, la classe ω=⎨0,1,2,….⎬.

L’assioma dell’infinito postula che la classe ω è un insieme. Cioè:

AxI: La classe ω è un insieme.

Gli assiomi di NBG sono in definitiva i sei assiomi AxE, AxC, AxU, AxP, AxR, AxI.

L’ultimo assioma serve per ricostruire l’aritmetica dentro NBG. La ricostruzione della matematica in NBG richiede invece ulteriori assiomi, gli assiomi superiori di NBG. Ma questo è un altro discorso.

6) La teoria degli insiemi ZF.

In ZF manca l’AxC, ed al suo posto vi sono, oltre all’AxE, altri sei assiomi il cui scopo è quello di descrivere modelli nei quali siano definite particolari collezioni, in particolari quelli generanti classi piccole per cardinalità, corrispondenti dunque agli insiemi piccoli di Cantor. Quindi, non ogni collezione di insiemi è definita, ma vi sono viceversa collezioni di insiemi definite e collezioni di insiemi non definite.

Si prova poi in ZF che per ogni classe X esiste la classe ⎨X⎬ il cui unico elemento è X, ne deriva che ZF vuol descrivere modelli di soli insiemi. Nessuno ha provato se dagli assiomi di ZF scaturisca l’esistenza della classe di Russell C; se ciò accadesse, anche ZF risulterebbe incoerente e non avrebbe quindi modelli.

Le tre teorie degli insiemi

Cantor NBG ZF

Insiemi piccoli

M

Insiemi grandi G

Classi insiemi=

insiemi piccoli.

M

G

Solo insiemi=

insiemi piccoli

M