Esercizi di Algebra Lineare
Anna M. Bigatti
Quadriche
21 maggio 2012
Una quadrica `e l’insieme dei punti di R3 le cui coordinate soddisfano un’equazione di secondo grado in tre indeterminate
a11x2+ a22y2+ a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44= 0 che associamo alla matrice simmetrica
A0=
a11 a12 a13 a14
a12 a22 a23 a24 a13 a23 a33 a34 a14 a24 a34 a44
Una quadrica si dice degenere se det(A0) = 0 .
Come per lo studio delle coniche la forma canonica della quadrica si ottiene con una opportuna rotazione seguita da una traslazione.
Rotazione (per eliminare i termini misti)
Isoliamo la “forma quadratica”, cio`e la parte omogenea di grado 2:
a11x2+ a22y2+ a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz Questa `e una forma quadratica Q associata alla matrice simmetrica
A = MQE=
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
Abbiamo visto che, essendo A simmetrica, esiste P = MFE matrice ortogonale ( F base ortonormale) tale che ∆ = P−1AP (similitudine), e quindi `e anche una congruenza ∆ = PtrAP perch´e Ptr= P−1.
Applichiamo il cambio di coordinate (rotazione):
x y z
= MvE= MFE· MvF = MFE·
x1 y1 z1
e otteniamo l’equazione della quadrica nella nuova base:
b11x21+ b22y21+ b33z12+ 2b14x1+ 2b24y1+ 2b34z1+ b44
1
con matrice associata
b14
∆ b24
b34 b14 b24 b34 b44
Traslazione (per eliminare i termini di primo grado)
Per calcolare la posizione dell’origine di un sistema di coordinate rispetto al quale la conica non abbia termini di primo grado usiamo la tecnica del completamento dei quadrati. Se uno degli autovalori `e risultato nullo possiamo traslare la corrispondente coordinata per azzerare il termine noto.
Esercizio 1 Data la forma quadratica 3x2+ 2y2+ 2xz + 3z2− x − 4 = 0 dire di che tipo `e.
Ridurla a forma canonica e scrivere le equazioni degli assi del nuovo sistema di coordinate Soluzione
• Matrici associate A =
3 0 1 0 2 0 1 0 3
A0=
3 0 1 −1/2
0 2 0 0
1 0 3 0
−1/2 0 0 −4
• det(A0) < 0 e det(bI − A) = b3− 8b2+ 20b − 16 (3 variazioni di segno) quindi `e un ellissoide.
• autovalori: 2 (di molteplicit`a 2) e 4
• autovettore di 4 (dim=1) u = (1 0 1)tr
• autovettori di 2 (dim=2) v = (1 0 −1)tr e w = (0 1 0)tr v ⊥ w =⇒ non serve GramSchmidt
• MFE =
√2/2 √
2/2 0
0 0 1
√2/2 −√ 2/2 0
F `e base ortonormale di autovettori, det(MFE) = 1
• applico il cambio di base
x y z
= MvE= MFEMvF = MFE
X Y Z
=
√
2/2X +√ 2/2Y
√ Z
2/2X −√ 2/2Y
• l’equazione della quadratica rispetto alla base F non ha termine misto:
4X2+ 2Y2+ 2Z2−√
2/2X −√
2/2Y − 4 = 0
• cerco l’origine del nuovo sistema di coordinate:
4X2+ (−√
2/2)X = 4(X −√
2/16)2− 1/32 2Y2+ (−√
2/2)Y = 2(Y −√
2/8)2− 1/16
• traslazione X = X0+√
2/16 , Y = Y0+√
2/8 −→ 4(X0)2+ 2(Y0)2+ 2Z2− 131/32 = 0
• (confermiamo che `e un ellissoide reale)
• C rispetto a base F : MCF =
√2
√16 2 8
0
C rispetto a base E : MCE= MFEMCF =
3 16
0
−161
• i nuovi assi sono le rette parallele agli autovettori e passanti per C :
equazioni parametriche (t + 3/16, 0, t − 1/16) (t + 3/16, 0, −t + 1/16) (3/16, t, −1/16) u t
2
