Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15
Emanuele Fabbiani 20 marzo 2015
1 Integrali tripli.
1.1 Integrali tripli.
Risolvere i seguenti integrali tripli sull'insieme D.
1. Z Z Z
D
px2+ y2dxdydz, D =(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2≤ z ≤ 2
2. Z Z Z
D
x dxdydz, D =(x, y, z) ∈ R3: x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ x + y + z ≤ 1
3. Z Z Z
D
y dxdydz, D =(x, y, z) ∈ R3: y ≥ 4x2+ 4z2∧ y ≤ 4
4. Z Z Z
D
y
1 + z4dxdydz, D =n
(x, y, z) ∈ R3:p
x2+ y2≤ z ≤ x + y ∧ 0 ≤ z ≤ 1o 5. Z Z Z
D
1
px2+ y2 dxdydz, D =n
(x, y, z) ∈ R3: z ≥ 0 ∧ 2 − 3p
x2+ y2≤ z ≤ 1 −p
x2+ y2o
6. Z Z Z
D
z dxdydz, D =n
(x, y, z) ∈ R3: 1 ≤p
x2+ y2+ z2≤ 2 ∧ z ≥ 0o 7.
Z Z Z
D
xyz +sin x3
z2+ y2 dxdydz, D =n
(x, y, z) ∈ R3: 1 ≤p
4x2+ 4y2+ 4z2≤ 2o
8. Z Z Z
D
x2+ y2dxdydz, D =(x, y, z) ∈ R3: 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4 ∧ y ≤ 0
9. Z Z Z
D
1 dxdydz, D =
(x, y, z) ∈ R3: y ≥ 0 ∧ z ≥ 0 ∧ 3y + 3
2z − 6 ≤ x ≤ 0
10. Z Z Z
D
xy dxdydz, D =
(x, y, z) ∈ R3: 0 ≤ x ≤ y ∧ 0 ≤ z ≤ 4 − 4
9 x2+ y2
1.2 Applicazioni
1. La densità di massa di una semisfera di raggio a è µ (x, y, z) = k 2a −p
x2+ y2+ z2
con k > 0.
Determinare la massa totale del solido.
2. Calcolare il volume della regione interna alla sfera x2+ y2+ z2 = 6 e posta al di sopra del paraboloide z = x2+ y2.
1
