Programma del corso di Analisi Matematica II, modulo: calcolo differenziale e integrale in pi`u variabili
Corso di Laurea in Scienze Fisiche A.A. 2013-2014 Docente: Dr. Giorgia Bellomonte, [email protected]
Aula B, Lun, Mer 8:30 - 10:00, Mar 8:30-10:30
Successioni e serie di funzioni. Sviluppi in serie
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta e uniforme. Continuit`a del limite uniforme di successioni di funzioni continue. Teorema d’inversione dei limiti.
Criteri di Cauchy. Teorema dello scambio limite-derivata e dello scambio
limite-integrale. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale.
Criteri di Cauchy per le serie. Continuit`a della somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue. Teorema d’integrazione e di derivazione per serie.
Serie di potenze. Intervallo di convergenza e raggio di convergenza. Minoranti e maggioranti definitivi. Massimo e minimo limite. Teorema di Cauchy-Hadamard.
Teorema di d’Alembert. Teorema di derivazione e d’integrazione d una serie di potenze. Convergenza uniforme nei compatti dell’intervallo di convergenza. Sviluppi in serie di Taylor. Criterio sufficiente per lo sviluppo. Funzioni analitiche. Test-M di Weierstrass. Teoremi di Abel. Teorema di Ascoli-Arzel`a.
Spazi metrici
Spazi metrici. Esempi e definizioni di base: metrica e sue propriet`a, intorni, insiemi aperti, insiemi chiusi, unione e intersezione di aperti e di chiusi, relazioni di De Morgan. Metrica euclidea di Rn. Topologia generata da una metrica. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Insiemi limitati. Diametro di un insieme. Successioni
convergenti. Teorema di unicit`a del limite negli spazi metrici. Funzioni
sequenzialmente continue e funzioni continue. Spazi metrici completi. Richiami sugli spazi vettoriali reali: definizione, vettori linearmente indipendenti e dipendenti, dimensione dello spazio, basi. Applicazioni lineari. Spazio duale di uno spazio vettoriale. Spazi normati. Norma euclidea in Rn. Spazi di Banach. Spazi con prodotto scalare. Spazi con prodotto scalare come spazi normati. Legge del parallelogramma. Insiemi compatti in uno spazio metrico. Teorema di Heine Borel.
Funzioni continue e uniformenmente continue in spazi metrici. Teoremi di Weierstrass e di Heine-Cantor. Insiemi connessi di Rn. Segmenti e poligonali.
Teorema dei valori intermedi. Caratterizzazione delle funzioni continue. Contrazioni.
Teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli.
Funzioni di pi`u variabili reali
Intorni nello spazio Rncon la norma euclidea. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione e isolati di un sottoinsieme di Rn. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Chiusura di un insieme. Dominˆı. Insiemi limitati, compatti, connessi. Limiti (finiti e infiniti) di funzioni reali di variabile vettoriale.
Calcolo differenziale per funzioni di pi`u variabili reali
Derivate parziali prime. Derivate successive. Matrice hessiana. Il Teorema di Schwarz. Gradiente e differenziabilit`a. Differenziale di una funzione. Derivate lungo un vettore (in particolare, derivate direzionali). Differenziabilit`a e differenziale di una funzione in un punto. Differenziabilit`a e continuit`a. Differenziabilit`a e derivabilit`a. Il Teorema del differenziale. Il gradiente di una funzione reale. Espressione della derivata lungo un vettore mediante il gradiente. Derivate e differenziali per funzioni vettoriali. La matrice jacobiana. Differenziabilit`a e differenziale di una funzione composta. Derivate parziali di una funzione composta. Differenziali di ordine superiore. Formule di Taylor col resto di Peano e di Lagrange. Funzioni omogenee e Teorema di Eulero. Massimi e minimi relativi e assoluti per una funzione reale di pi`u variabili reali. Il Teorema di Fermat. Punti critici (o stazionari). La matrice hessiana per una funzione C2 e suo uso per la determinazione della natura di un punto critico.
Studio del caso generale (n qualsiasi) mediante lo studio degli autovalori della matrice hessiana e con il metodo dei minori principali di nord-ovest. Studio locale del segno di una funzione reale per lo studio della natura dei punti critici.
Integrazione per funzioni reali di pi`u variabili
Integrale inferiore e superiore per una funzione limitata di due variabili definita su un rettangolo. Integrabilit`a ed integrali doppi per funzioni limitate di due variabili definite su rettangoli. Criterio d’integrabilit`a di Riemann. Integrabilit`a delle funzioni continue. Teorema di riduzione. Integrabilit`a su insiemi arbitrari. Misura di
Peano-Jordan e sue propriet`a. Il Teorema della media integrale. Domini normali ed integrazione di una funzione continua su un dominio normale. Teorema sul
cambiamento di variabili in un integrale e applicazioni. Coordinate polari nel piano.
Estensione a funzioni di pi`u variabili. Coordinate polari nello spazio tridimensionale.
Volumi dei solidi di rotazione.
Integrali dipendenti da un parametro
Studio della continuit`a e della derivabilit`a parziale di una funzione definita per mezzo di un integrale. Caso generale degli estremi d’integrazione variabili.
Curve
Curve in R3. Curve regolari. Curve regolari a tratti. Cambiamenti di parametro e
curve equivalenti. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva e sua indipendenza da riparametrizzazioni. Curve in coordinate polari.
Funzioni e campi vettoriali
Campi vettoriali: definizioni di base, esempi, derivabilit`a e differenziabilit`a. Campi conservativi. Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Campi irrotazionali. Lavoro di un campo vettoriale.
Forme differenziali lineari
Forme differenziali lineari (di classe C0). Integrale di una forma differenziale lineare lungo una curva regolare a tratti. Effetto di un cambiamento di parametro. Forme differenziali esatte e loro primitive. Forme chiuse (di classe C1) e forme irrotazionali.
La chiusura e l’irrotazionalit`a come condizioni necessarie per l’esattezza. Insiemi stellati e Lemma di Poincar´e. Cenni sugli spazi semplicemente connessi ed estensione del lemma di Poincar´e. Costruzione di primitive di fdl in R2 e in R3.
Testi consigliati
• C.D. Pagani - S. Salsa, Analisi matematica (Volume 2), Zanichelli.
• C. Trapani, Un modulo di Analisi due, Aracne.
• N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori editore, Napoli.
