INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE ESERCITAZIONI DI ANALISI C SETTIMANA 6 TEOREMA DI WEIERSTRASS: sia. e x max. tali che K

1

TEOREMA DI WEIERSTRASS: sia K  ⁿ un insieme compatto, cioè chiuso e limitato. Se :

f K è continua allora x_minK e x_maxK tali che  x K f



xmin



 f

 

x  f



xmax



.

1. Sia f : ²  la funzione definita da ^{f x y}

 

^{, x2y2 16 8x}. Si calcolino i punti di minimo e massimo assoluti di f su ^D

  

^{x y, |y0, 4x 3 x2y2 6x5}



^.

La funzione assume ovunque valori non negativi ^{f x y}

 

^, ^x2^y2^{16 8} ^x



^x⁴



²^y2 ⁰ che diventano arbitrariamente grandi allontanandosi dall’origine:

 

 

,lim ,

x y f x y

   e

2

sup f  . È un paraboloide di vertice



^{4, 0, 0}



, con apertura verso l’alto e a sezione circolare.

   

min2 f x y,  0 f 4, 0 .

L’insieme D è la porzione di piano costituita dai punti di ordinata positiva esterni alla

circonferenza di centro

 

2, 0 e raggio 1, e interni rispetto alla circonferenza di centro

 

^{3, 0 e}

raggio 3. Dato che l’insieme D è compatto (chiuso e limitato) e la funzione è continua perché composta da funzioni elementari continue, per il teorema di Weierstrass la funzione su questo insieme assume un valore minimo e un valore massimo. Il punto di minimo assoluto già individuato appartiene all’insieme D, perciò ^min

 

^{, 0}

 

^{4, 0}

D f x y   f .

figura 1

Il punto di massimo assoluto su D può essere rapidamente determinato con il metodo degli insiemi di livello (figura 1): ^{Ek }

   

^{x y, | x4}



^{2y2 k}



^,k0 sono circonferenze di centro

2

 

4, 0 corrispondenti a quote più elevate mano a mano che ci si allontana dal centro. Il punto di D più lontano da

 

^{4, 0 è}

 

1, 0 . Abbiamo quindi ^max

 

^{, 9}

 

^{1, 0}

D f x y   f .

2. Sia f : ²  la funzione definita da ^{f x y}

 

^{,  x 2y}. Determinare i punti di massimo e minimo della funzione f sull’insieme ^{K }

 

^{x y,}



^{ 2|x2y2 1}



^.

La funzione, è definita su tutto il piano (dom f  ²) e continua in tutto il suo dominio

 

0 2

f C . L’insieme K è un cerchio, quindi è chiuso e limitato. Perciò, per il teorema di Weierstrass la funzione ammette un valore minimo e un valore massimo su questo insieme.

figura 2

Data la forma assai semplice della funzione, è possibile disegnarne gli insiemi di livello, che sono rette parallele:

 

^{, 2| 1 ,}

2 2

k

E  x y  y  xk  k

  . La funzione è illimitata sia

superiormente che inferiormente, cioè

 

2

sup f x y,   e ^inf₂ ^{f x y}



^,



^{ }, e nulla lungo la retta ¹

y 2x, mentre è positiva per i punti appartenenti al semipiano superiore e negativa per quelli appartenenti al semipiano inferiore. La quota aumenta nella direzione perpendicolare a quella degli insiemi di livello, cioè lungo y2x, perciò i punti di massimo e minimo si individuano intersecando il bordo dell’insieme K con questa retta:

3

2 2

1

1 5

2 2

5 x y x

y x

y

  

   

 

    



.

Il punto di minimo è 1 2 ,

5 5

  

 

  e ^min

 

^{, 1 , 2 5}

5 5

K f x y  f    

  . Il punto di

massimo è invece 1 2 ,

5 5

 

 

 e ^max

 

^{, 1 , 2 5}

5 5

K f x y  f  

  . Nella figura 2 sono mostrate le linee di livello con k 0, k =  5, k = 5 e il cerchio K.

3. Sia f : ²  la funzione definita da ^{f x y}

 

^{, x2y24x2y3}. Si consideri l’insieme

 



^{, 2| 2 4 2 4 8 4 0}



K  x y  x  y  x y  e si calcolino i valori minimo e massimo della funzione su K.

La funzione ^{f x y}

 

^{, x2y24x2y 3}



^x2

 

^{2 y1}



²è un paraboloide iperbolico di punto sella



^{2, 1}



. La funzione è dunque continua su tutto il piano ed è illimitata

superiormente e inferiormente:

2 2

sup f   e inf f  .

Gli insiemi di livello corrispondenti a quote positive sono iperboli equilatere di asse trasverso 1

y  e asse principale x2, mentre gli insiemi di livello corrispondenti a quote negative sono iperboli equilatere di asse trasverso x2 e asse principale y 1.

L’insieme K, chiuso e limitato, perciò compatto, è dato dai punti interni all’ellisse di centro



^{2, 1}



e semiassi

 

2,1 . Possiamo quindi dire che i punti di massimo e di minimo della funzione su K, sicuramente esistenti in virtù del teorema di Weierstrass, sono i punti in cui le iperboli degli insiemi di livello sono tangenti all’ellisse. Dobbiamo quindi determinare per quali valori del parametro k il sistema

   

   

2 2

2 2

2 1

2 4 1 4

x y k

x y

    



   



ha soluzioni di molteplicità 2.

   

     

2 2

2 2 2

2 1 *

5 1 4

1 4 1 4

x k y

y k

k y y

     

 

 

  

     

 



y 1 radice di molteplicità 2 per k 4 da cui ^max

 

^,



^{0, 1}

 

^{4, 1}



⁴

K f x y  f   f   .

   

       

2 2

2 2 2

1 2 *

5 2 4 1

2 4 2 4 4

y x k

x k

x x k

     

 

 

  

     

 



2

x radice di molteplicità 2 per k  1 da cui ^min



^,

  

^{2, 0}



^{2, 2}



¹

K f x y  f  f   

4

Nella figura 3 sono mostrati gli insiemi di livello per ¹, 1, 2, 4

k 2    sovrapposti all’insieme K.

figura 3

4. Sia f : ²  la funzione definita da ^{f x y}

 

^{, e3x y} . Si consideri l’insieme

  

^{, 2| 1, 2 3 3}



K  x y  x  y  e si calcolino i valori minimo e massimo della funzione su K.

dom f  2, ^{f C0}

 

^{2 .}

Da e^{3x y} k con k0 abbiamo ^{Ek }

  

^{x y,  2:y  3x logk}



^.

All’aumentare della quota, aumenta l’intercetta della retta.

L’insieme dato è il rettangolo



^1,1

  

^{ 0,3} . Sovrapponendo i due grafici vediamo che il

minimo si ha sopra il punto



^{1, 0}



che si trova sulla retta per k e^3 e il massimo si ha sopra il punto

 

1,3 che si trova sulla retta per k e⁶.

 

⁶

 

max , 1,3

E f x y e  f ^min

 

^{, 3}



^{1, 0}



E f x y e^  f  .

Nella figura 4 sono mostrati l’insieme K e gli insiemi di livello per k e^m con m e

3 m 6

   .

5 .

figura 4

DEFINIZIONE: DERIVATA DIREZIONALE E GRADIENTE

Si chiama derivata direzionale rispetto al vettore ^{v =}



^{v v}₁^, ₂



nel punto



^{x y}₀^, ₀



si indica con



0, 0



f x y



v il limite del rapporto incrementale



0 1 0 2

 

0 0



0

, ,

lim

t

f x tv y tv f x y

 t

  

.

Questo limite, quando v =

 

1, 0 e1,

  

0, 0

 

0, 0



1, 0

f f

x y x y

x

  

  viene detto derivata parziale fatta rispetto a x e quando v =

 

0,1 e2,

  

0, 0

 

0, 0



0,1

f f

x y x y

y

  

  viene detto derivata parziale fatta rispetto a y.

  

0 0

 

0 0



0 0

0

, ,

, lim

h

f x h y f x y f x y

x ^ h

 

 

 e

  

0 0

 

0 0



0 0 0

, ,

, lim

h

f x y h f x y f x y

y ^ h

  

 

costituiscono le componenti del vettore gradiente che si indica con



0, 0



f



0, 0



, f



0, 0



f x y x y x y

x y

  

    .

Il gradiente è il vettore che indica la massima pendenza di f, cioè la direzione lungo la quale la funzione ha il maggior incremento. Il gradiente è in ogni punto perpendicolare alle curve di livello.

6

Calcolare la derivata direzionale delle seguenti funzioni nel punto indicato e lungo la direzione data

5. ^{f x y}

 

^{, x2y2} nel punto



^{x y}₀^, ₀

 

^{ 2, 1}



nella direzione 1 1 ,

2 2

 

   v

dom f  2, ^{f C0}

 

^{2 .}

Abbiamo f x y



0, 0



 f



2, 1 



3 e

 

2 2

0 0

2 1 3 6

2 2 2

2, 1 lim lim 3 2

1 1

2, 2

t t

t t t

f

t t

 

       

   

        

 

  

.

6. ^{f x y}

 

^{, ex2y2} nel punto

 

0,1 nella direzione 1 1 ,

2 2

  

 

 

dom f  2, ^{f C0}

 

^{2 .}

Abbiamo f x y



0, 0



 f

 

0,1 e e

 

2 2

2 2

1 2

2 2 2

2 2 2

0 0 0 0 0 2

1 1 2

, lim lim lim 2

2

t t

t t t t t

t t t

f e e e e t t

x y e e e

t t t t t

      

  

 

             

v     .

Calcolare la derivata direzionale delle seguenti funzioni ed esplicitare il risultato lungo le direzioni date.

7. ^{f x y}

 

^{, 3x2y4,} 1

3 1, 2 2

 

  

v ₂ 1 1

2, 2

 

   v

dom f  2 e ^{f C0}

 

^{2 .}

  

1

 

2



^{4 4}

0

3 2 3 2

, lim

t

x tv y tv x y

f x y

 t

    

  

v

3 2 2 2 3 3 4 4

1 2 2 2 2 3

1 2

0

3 8 12 8 2

lim 3 8

t

tv y tv y t v yt v t v

v y v

 t

   

   .

 

^{, 3 3 4 3}

3 1 2 2 ,2

f x y y

  

 

  

 

e

 

^{, 3 4 2 3}

1 1 2

2, 2

f x y y

   

 

  

 

.

7

8. ^{f x y}

 

^{, sen}

 

^xy lungo le direzioni v1

 

1, 0 e v2 

 

0,1 dom f  2 e ^{f C0}

 

^{2 .}

   

1



2

   

0

sen sen

, lim

t

x tv y tv xy

f x y

 t

  

  

v

  

^{2 1 2 1 2}

 ^{ } 

^{2 1 2 1 2}



0

sen cos cos sen sen

lim

t

xy xtv ytv t v v xy xtv ytv t v v xy

 t

     



 

     ^{ }   



^{2 1 2 1 2 2 1 2 1 2}



0

sen cos cos sen

cos lim

t

xv yv t t v v xv yv t t v v

xy ^ t

  

  

 

2 1



cos xy xv yv

 

   

^{, cos}

 

1, 0

f x y y xy

 



   

^{, cos}

 

0,1

f x y x xy

 



Queste sono le derivate parziali fatte rispetto a x e rispetto a y. Sono perciò le componenti del vettore gradiente della funzione: ^{f x y}

 

^{, }



^ycos

 

^{xy , cosx}

 

^xy



^.

Calcolare il gradiente delle seguenti funzioni 9. ^{f x y}

 

^{,  x2y2 .}

dom f  2 e ^{f C0}

 

^{2 .}

 

, 2x 2 , 2y 2

f x y

x y x y

 

 

 

   

 

10. ^{f x y}

 

^{, x y}

x y

 



  

²



domf  A x y,  |x y e ^{f C0}

 

^{A .}

   

²

 

²

2 2

, y , x

f x y

x y x y

 

 

  

   

 

.

11.

    ^{   }

   

2 2

2 2

sen 1 , 0, 0 ,

0 , 0, 0

x y x y

x y

f x y

x y

  

 

  

La funzione data è definita su tutto il piano, ed è continua sull’insieme ². Infatti, come si può notare scrivendo la funzione in coordinate polari

 

² 2 0

cos , sin sen 1 0

f      _

 ^

  .

8 Sull’insieme ^\

  

^{0, 0}



^{si ha}

 

2 2 2 ² 2 ² 2 2 2 ²2 ²

1 1

2 cos 2 cos

1 1

, 2 sen , 2 sen

x y

x y x y

f x y x y

x y x y x y x y

 

   

 

   

   

 

 

 

.

In

 

0, 0 ricorriamo alla definizione per calcolare le derivate parziali:

     

^{2 2}

0 0

sen 1 , 0 0, 0

0, 0 lim lim 0

t t

f t f t

f t

x ^ t ^ t

    

 e allo stesso modo

     

^{2 2}

0 0

sen 1

0, 0, 0

0, 0 lim lim 0

t t

f t f t

f t

y ^ t ^ t

 

  

 .

Perciò ^f

   

^{0, 0  0, 0} . Osserviamo però che le derivate parziali prime non sono continue nell’origine.

12.

     

   

2

2 4 , 0, 0 ,

0 , 0, 0

xy x y

x y

f x y

x y

 

  

 



La funzione è definita in ogni punto del piano ma non è continua in

 

0, 0 , perché

   

2

2 4

,lim0,0 x y

xy

x y

  non esiste, come si può notare limitando lo studio ad opportune restrizioni:

 

^0,

 

^{, 0 0}

f y  f x  ma



^2,



¹

f y y 2. Abbiamo trovato restrizioni che sono funzioni costanti, ma con valore diverso, quindi il limite nell’origine non esiste.

Sull’insieme ^{2 \}

  

^{0, 0}



^abbiamo

^{ }  

   

 

2 4 2 2 4

2 2

2 4 2 4

2

, y y x , xy x y

f x y

x y x y

   

 

 

   

 

. Nel punto

 

0, 0 calcoliamo le derivate direzionali rispetto al generico vettore v :

 

3 2

1 2 2

2 2 4 4 2 2

1 2 1 2 1

2 2 4 1

0 0

1 2

1

0

0, 0 lim lim

0 0

t t

t v v

v v

t v t v v v

f v

t v t v

v

 

 



    

v    .

Quindi esistono le derivate parziali prime nell’origine, e con esse il gradiente ^f

   

^{0, 0  0, 0 .}

9

Determinare la direzione di massima pendenza del grafico delle seguenti funzioni nei punti indicati

13. ^{f x y}

 

^{,  1 x2y2 nel punto}

 

^{1, 0}

dom f  2 e ^{f C0}

 

^{2 .}

Il gradiente della funzione è

 

2 2 2 2

, x , y

f x y

x y x y

 

 

   

   

 

, quindi ^f

  

^{1, 0  1, 0}



^.

La direzione lungo la quale si ha il maggior incremento della funzione si ottiene dividendo questo vettore per la sua norma:

   

^{1, 0}

   

^{1, 1, 0}

1, 0 1 f f

 

  

 , che significa verso sinistra lungo l’asse x.

Gli insiemi di livello della funzione sono ^{Ek }

  

^{x y,  2|x2y2  }



^{1 k}



²



^{,k 1}

Osserviamo che l’insieme di livello a cui appartiene il punto

 

1, 0 è quello per k0. La funzione quindi ha valore nullo e la direzione di massima pendenza è quella che porta da



1, 0, 0 verso il vertice

 

0, 0,1 , quindi proprio la direzione



x, ed è perpendicolare rispetto alla circonferenza.

14. ^{f x y}

 

^{,   4 x2 y2 nel punto}

 

^{1,1 .}

dom f  2 e ^{f C0}

 

^{2 .}

Il gradiente della funzione è ^{f x y}

  

^{,  2 , 2x  y}



, e nel punto considerato vale

  

^{1,1 2, 2}



    , perciò il versore della direzione di massima pendenza è



^{2, 2}



1 1

2 2 2, 2

     

  , che significa lungo la bisettrice del I-III quadrante, verso l’origine.

Anche qui gli insiemi di livello sono circonferenze ^{Ek }

  

^{x y,  2|x2y2  4 k}



^{,k4 e il}

punto

 

1,1 appartiene alla circonferenza x²y² 2, quindi quella per k2. Anche qui osserviamo che dal punto



1,1, 2 la direzione in cui il grafico ha la maggior pendenza è proprio



quella che porta verso il vertice



0, 0, 4 , quindi dal punto

  

1,1 verso l’origine.