Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(x) del problema di Cauchy

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova del 8/7/2009

A.A. 2008/2009

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(x) del problema di Cauchy

 



y

= ³ 1 x − 2x

´ y, y(1) = e

.

(b) Risolvere il problema stesso e verificare i risultati ottenuti nel punto (a).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = (u cos v, v, cos v), (u, v) ∈ [0, 1] × £ 0, π

2

¤ ,

`e una superficie regolare e calcolare il seguente integrale Z

+∂Σ

zdx + xdy + ydz.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale Z

R

cos x (x

+ 4)

dx.

Problema 4: Sia

f (x) = (

2

, 0 ≤ x < π,

−

, −π ≤ x < 0,

e si denoti ancora con f il suo prolungamento periodico su R.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X

1 n

,

X

(−1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Prolungamento della soluzione locale del Problema di Cauchy.

Tema 2: Formula integrale di Cauchy.