diMETODI MATEMATICIPER LA FISICA 1 Esercizi Pietro Donà

Pietro Donà

Esercizi

in parte svolti

di

METODI MATEMATICI PER LA FISICA 1

I testi degli esercizi sono tratti dagli appelli del corso del prof. Bracci a Fisica all’Università di Pisa.

La soluzione è di Pietro Donà.

floidn@hotmail.com

l l .

()(K-+•) .

t· .

~ 8

:>>

,.-....__/

o~ e Il s- ^{9/f~-> o}

fle

"f

^G

f_1-

~-~~

Co~ J> ^e 1L2.

j2 ~~~ Xo

o~ fE' ^C'_.~

~è (?9~

{L . ___

~/TI_)

..:

J2c

⁼

^{rr-) .}

· 1 //L

-·~ G ·!+- ..

111 _~·

-~.-... l 2~ -/-

_.

·C

_{! l :}

·:AcxL ->-·-

- - - -

j___ __ l '

··~ ^{.. ·}

<

· - - - · - ---- - , -

' '

- - - - -

l ----'---l-:--,-- ' ' ^l

~-- !. 1 i 1 __ L : ,

,--- :- -i ^-~- -^-i-~--

l '·-

1

' '

-- --! --1-- '

l ! '

__ . __ ^{, __ , ___ - '}

i

- ·- !

l l

i-- l -

i

-L

-.---l

J

1-

_. ____ 1 -- _ , _ -

\ , - - - - ' - ,(,\L'>(

Lt 8"' --(

^r

--'= =e-:"~--~\~- -.

-- ~-·- - - - - - l l

--:---1-

l

+_ -.

~ '_lf--_ .. ~~-.--

'·"'·'", ^J l-'C IZ_. . lf'c-,h.;.. --.

___ - --- -

, ___ l

'--1- .

() -· ì -· .> . , -

^{1'\. -..} e/-i2-ltc~

~(..C- iT

"':__G-'-

^{1 ' O M - - - ,-}

- - >e--.-/ _ , _ .... l ... '. - --' -

- - ' - -

... ____

~

^_

;~

1""' .

.:2 · .__ g_tK't-

_l

rrJ ..

_{' ;} --,---

!

~'-·

2:;

. L . --i ^{__ !_}

. ' .... (b_ ...

~..12-

·-ec -- ^~ ··-· ^{k .} ~~--di;--- 3:>-~-~~- :e_:::_'= -~at0cc--

_, ""'"1____ ⁱ

___ -- ----

-'L-~ .1' .. • l(

.o

.... e-

^{-"'3 __ _}

-i- '

'

_l_

' ·.-· --o · a--_.,.. : -·

₁:.>- ... -'-- \ - -;--: - -·--^-~-rr ,--:--- , ____ , __ . ' - -2· ····--·' -- .. - -

l ,- '

-A.- - -- - - ...

-,.. ,,.z) . ,

^0/

- .• ~- ^.-... -"-'·"->(

e • e ..

--- - -

! --i __ l ___ '

rJ.

·.-~

-- i-

^{i ' :-}

--~~·~ _- .. ; . ,_' __ l • --~ i ___;_' --

-~ '

_,_

-,

i

__ l_

-·,-

- _! ___ -

. T

.... i

! i ^-:-

l ;

' _{' '}

\.

! '

~

i i ; :

!

i

'::- bl

ì l i

!

i l • i

·~·~,p

i ' ' i l

l

:,.

~.·

. ""· . e..J.-.

l l l :

. l

i

i ! ^{' l l i}

l ! : i l ' ⁱ

' '

l l

. l

~ ~ l ^l

i

l ì l i ! ^l

Ti ,

^{==! .r·}

-'*'· f3!1

. . -,.. <K.,fJ ^l

i'·

l

l l

l l

i ! ; i

Vb! ^'f31

! ' l l

:---: ' ~- ^l

' l

l ⁱ

---~-- l

l ' ' l

~-~l

--: --

^l

l l ·b ^l

'So

^{i 1 i}

: .

^{l ' l}

~· h:u0 ,

^{l l l}

^o

i ' ' - ! !

:J: i i_ l ' l ^l l ^l

i i ' i ; ;

l ! ! ^{i '} l ' : ^l

e...l.· 1 1 1 l ^l 1

et

i ^{(1)

r 1.

^{1.::::1. 1 ,}

^{o :}

^{. :}

: ! '. - · , · ' ' ' - ) . . . . • . - ( ' - - . ) - . ,

o '

^{l '/L..' l'}

.~cip ⁱ

t • . . ( ot:,;p

:i 0J ^~~

l '

i r

! l

' '

:g-'

~C\

l ^!

! :

i .

_{,. !}

~

l l l l ^{i l 7}

G>..'

k-ILro,

⁼⁾

~l l .

i l l

l l

l l

i . l

i

. '

i l ⁱ l l l

~ ^{.. 1} et!~ d

i --1

UD ^!

1·

i 'i ! l !

. ' '

l ^{l .} l

' l ^!

! '

Ji ^{l ' :}

: ' d.'

p,

^{! l}

S?~f3~

( l s...:~.:

l l '

'

l ' '

' '

l l

i i i ^l l

i.

l ' l l ^{l l l}

l l l ⁱ ··l . i i l l

l ' ^! ! l ⁱ l ^{! ' '} i ' l ^{i . !} l j;l

(e~ ^..

^{(J .•}

~

^..

~t.:Pz'> =!p.' _~f'. 1 ^{1 SOil,~P.}

^f.

c,.ot~~r~.J ^.. ~I·pl···~''

! ⁱ

l l . l i l ' l ^{l l ' ! ' '} l l ^l l

. ! : ' l ! ' ; ' ' l l l ' ' ' : ! ' i ^l l l ' !_ i '

~~APLJJ_ ~~ ··Jj • Ld:. ^1j, ~: Lc,1JJ~~l~I~A~~

, , 1 ¹ 1 ! ^{1 .·. i 1 ' .: : . i} i

O':

.i ¹ !'l{) ^{1 1 : · 1} 1'T17

T

TD

J

^{1 ;}

l

^{1 1 1} l ¹

i

1

~~~-.-.·.-~ ,"J~: rtf:~~ f

¹

luf:a<:fill j~Del31J[_I_J

^{1 .. i_}

l.·

··1¹

~~~~~i~:· 8é!eci_!~i'~~~ ~l·• '"*J~-r

l ! l ·, i l ·. l

q

^{l l ! ·. ! !}

^'l'l i

^{l - 1 ....}

·l

^{! . l .} i ^{! '} l ! ' l ! i '.· ^{l ' l} i ' !

'6 .

~;

i ' ' : l l l ' ! l ' l ! l l l l l : ^{! ' :} l : l l l ' .

1

~: [o.

^+do.

~.1~.

r-0-I-'/X. ..

-,.,~J

^.• c t : I '

.~.· ~.·4:/~. ^·. '.···r.

JP.-

.~.1L. oi. (~

^1·

.~

' l ' ! l ! ! l , l l l ! i

""':"i1 rf-::1"'

l ^{l l} l ^l l l ,(f~ l ' l l ' ( ^! l l

Il_• i

J:!,~. i.~.~~

^{l ! R-1 (i'<:\} l=.li[.lx1 .. ;J. '.

ol,"'fl'·j· ~~·'

^{'.···! i !. l}

, · l ¹ l : ^{1 · : : : 1 i ' ' '} IC)' ' ^l l T! · ^! l - - - , - l . l ! . tol1 ⁱ

n'].

l ' ^{1 1 •}₁ ^{1 ', ·}₁^{· 1 , : 1 1 1 · : : !} -z.. ^{1 ! : 1} 1 : r 1(¹~ ·₁^·

' t ! . ' ' t l : ' ' ' l l ' l '

, 1 ( 1 1 1 1 '

r '

^{1 , 1 , , 1 . ! 1. : 1 · .. 1 1 1 1}

! l l , , i / r • : l l ' l l " ( • l . ! ]·\,fi.!·.:.AI!'flll l

i : 1 1 1 • i

~: ~· ~

ié3c<01 -1 1::.1·

P>: : '~'.o:rt~> i'!_

('f,("'l\1 ... l

' -~· ! .. i i l i . L. : ^{l f '} l - l i

M

^{l T}

^1-

^{i L l . l l l l i l i l ,- i Il}

•... T:.R,I~, ~ ^.• ~~~ ~~~ :oo::•HI ^F~!~PPI. m, ^{:·111_ 1 · ~ ~~ti}

1

1

, , . ,,' · 1

.. ! i l l 1.

~~ ~.

^{l l l l l l.}

^{h ...}

^{i .l i !. : i ! i . . . 1 1. 1_1. . : ' i}

. . i l l l . l_ i ^l l ! ⁱ /~l ^{i :} i ^{! l . .} l ^{l i} ! l l . '- l l

l'

^{l l}

l

^l

tli ^{i~~7· .. }} i=l .. ·: .. ·p~ Il:~~ fAI····~. ¹ 1

¹

J~.I

^!

.~1 ^l

·.l

ⁱ

~~i ~ ~ ^{: • ·:} ~: ~ ^: ~ ^: tl.-1,.

^r

r ^{~. ~ ~-~} : . : ^~

! l ⁱ

l

i

i

i l ^l

l l l

l

l l

l l l l

_l.!

i l

l l

l i

i 1 : : 1 , ! ^{! 1} 1\1 1 !

1

1 L

l

! ^{i 1 1} 1 : 1 1 ! · .

, j ' ' : i

i

l-l

^L

l

^{i l}

rJ

^{i ! : f l L i l l : , i}

l

ir ^r

^r

^{l ,J,jr- 1} ljjl~~~1~~~~~?fj~1if1l~h~1)i ' ^l

'

1

i : ili! ^!

¹

_{~_Il,}

^{l :}

^{! l} _~Li ::H _!~,f

¹

J ⁱ _{~Jt W~} ^{' l} li

1

-- _;_lj_li_I-}L_I_LUJJLI_!I

i::l-'T_I

l_l __

t_:_!

₉₁_I..:_Lill: l

l

Il-

^{J l_ !}

LI- ^L

^L

^l

^{L l l l l ! l__ , __ : l l l l_ l}

^l

^{f'--L: '}

l l

^l

l'l ..

^l

l :

l l

^LLr

'

^{l :}

l

~

•

ilq

; : l l ^{1 l}

~-n-Ili

^{t · l ' l 0}

l

^t

ⁱ

^{, 1.1 1}

l [ l

^{l l l}

^{i .l}

^1.t

l ··

^l l :

f 1-1-

^{l '}

i-

^'

-J-r

^{' L}

ⁱ

^{j !} ! ¹

.1

'

! l l

'-- i

i-' i . : · i : i- r ^{: - - ; • ' -; l l ' - - : ' --- -~}

~ S;,h ^~ , : • ' o-

! 1-11

~

^!.

f~otì-f

! , -r--l__ ^! ~

r

ⁱ

;_--,_--~~ì-i---':r·-,

,il) .. -- . o-'r- .J-.,.1

! ' : ' l ' ! ! ^l

111.. { ' . --t- ,_ ,_, ()/} . . ..

·---~-~ o.,.:rkD--1-i -~-IL-:--~--,---

: : -- _: . ! ^{! • : ' ' __ :- :}

-,

i ' i ^{! l} --i

l -

1- ~--j

: __ l

-i _{l l}

- '

: __ i_ '- ^J . --Il -

L-1-

¹

_! ⁱ

!:Alb •• }~cill-. t~ ~L~~~·

i

:~

^'

i

^{i i • : ; •}

1: J ; .

l l

i-- l_ l, -

! _l i _ _i- l

! i

- : - ' l

l __ j !

i ^{l ' r} I\:

l

l ,

li~_ ^:

^r

i-h ^{ì -}

^{:_ ---+ .i -f - _j_l -i ~--! . 1 --•}

! !-- . _:_

fr\1-

ⁱ

61

~~

Lf_q,_ i--F, _

1

_,_1 l __

i -1 ! i l l i ' ' l . l l

_l.-···~---!---.! i'---1---i .. i , : \ - \ ;---¹ ' i i

l

^l

!

i l ^{l l} l - i ^{f :}

h- . : ^{f -: i}

^l

J ^~ ' : :

^{l ·: , - . • l l}

,. ,.jp-:_~_-_:;-T:-~%~~:\:fl;-Q,+· 4---;~ :_

^L

!1-!1 ^{1 •} r-i---1 -;·

i;;--r---:·T--1-:

^{i , 1 . , i} ~--r--; -jj_j_~~I~,

~-~-

t· __ ': - l

^T

l

:_,~

-

-~,

•.

^--j- ~, ^{il -l} i --~,~~: '. ^l ~- ^{- -i -}--~ ^-: -: __ [ __ : : ^l l , -r -r- ^{j -}

-_. ~--i ___ ç_,l ', _, -~- ~-. l' .. ^{l. _l· __ . ,'} --~, l ' ', ' - t--

Ti l

^{i l :}

ⁱ h

^{l l l : '}

^i-L

^l

ⁱ

^{T 1 ' ' l : -}

^'Jt

ⁱ

! ! l ! ; [

l -

L T ^l [ l [ ' ¹

i

^l :~]J_, ] __ ^L l _!J_ j_" . ~

1

^{' ..}

, ,-T-·l··:r-:T 11-_' __ i.i 11 , , , _:_ ' i ,1'1····-·rl!if-.,

~t~"-

-r lr'

^{i 1 1}

,::-'T

^{1 •} ··~-· 1-:-u-~~~, 'r-r-_1'

r''+-' ·

; 1Jc[

^Ì

l

^T

i

^{i f} i l .Tìi-i_:_L- ^{i :} i l , : i ' _l l •. ___ ! _____ !

~'

^{t ;-}

~---~[_--~-~ ~---~--·

-~--~~-~--r r~~--~ ¹ -~~~~--_r1_1_: l ~-J- ^{1 : ,} ~ 1.· l~~-~: L_L -r· 1 _-_; __

r·

j -

^{l l l l -l ! l}

^{:::-b . il_}

^{l ! 1 l}

^l

^{l L . -l}

ⁱ

^{l l}

^'--~

^{' " - 1_1 _!._j . l}

^{l~- -t ' . -H}

. l l+' -

Lr---1-l , , ' ^!

^_l_

-L, . :

^{i l}

-~--: ~

^'

~--

^,

^l 1-,-1 :

^{TT ·- :}

1- -+. :

;=-j~! L[LJJ:_e.~J~:::-J '

₁^{1· : \ _ _ 'r _ _}

:_LF~:-1 1-i--1~: 1~:-· ==i- ¹ -=rr~ !-F=~

¹

t-t-Fl

-~T·~ L ^l-:- -1- jJ:+-T ~-~_j~Tt LL,

^{J ·}

--r :-lr

^_i

_~-t~::-.c_ _ -~=-!_-·_'_ [L ^1_: --rl :..h~~

^f

: m : .

H- ^1-t .~~-t-+-1[_--ll~· ^L ~~ ttt+ ^{~ ~~} , ^~ ₁ ^{--1-~ 1-J- i .} ~~-·~ ~-,- ^{j- .} !--H-~-~ ^{H -H- -}

1

1 , -

--jiT --·- -·

¹

--,::r-,- - ^{l 1-- --1--,- -}

^{-~ -·}

1

^{-~-: 1 -}

^{-r _} -r_-f--,- , --

^{1_ '_} ~- ^{- ;}

, L 1 1 , , _1_ l_ _ l .

1 .

J . . ^~- , --· L_LJ_ ^J r _l_l_ r • _ _ _ __

1--::. ____ l_ll ~_1__1_

,--J=:

1 _l '-~-L l l __ ._ __ l.l_:_: :LLJ

Ju __

lr . ._ :.

i i l ~ l ' i 1 l , l l_[ _l 1 l !_l_:_[ l :j_l_l

l

^{[_L __ l} ~-~-·--1 l i_:_ U i , _:_, --~- ^{1 · - - - -},-1- ' ^{1 -} f l , ¹ l ¹ L l l ' l l : ' l l 1 l l i l i ¹ l : 1 ·

L --[

l

^{-1-'--- l_j_ _}

_l .

^{--r---r- ,--, . _ 1 l_L_ _ _ ___ l_ _ _t____ _ f-- __ l .}

[ ·- __ [l' r: ^{_d_r ___}

^{L l_ L j+LL _: Jl _L\_ l}

t-'-'

t'-"---;---!_1 ^{1 : '_,} l ¹ _L_:_

Jfll ^l t!

l l ' · Lt--U l LLL~_: _!_l L U j_L_I ____ ,_ j_l_l_I_LL-1--' 1 L·

~ __ l__ ~-~~n-:l_"_u_:_:

_

_LI_I_l __ l l_LL:': LI J! ^{l_fi_' l_tl} __ ,__l l

L:'_Li_:'

l_j_:

L_

'j

l l l l . l l ^{l •} l ! _ _l_[_[ ^l l l l :_[ __ 1 __ 1 l ]_l_! l _ _j_ l l l_ l l -- ' l l

--~- -~-, -~-~-,~,--' ' L i.JJ L· ' ' . l . · Lf l l • ' ^{1 '} L l ' ^{1 ,} l L

t- ¹ --::.Ll-1-:tll~l ~ :~1-rrt _LI __ h -1-1-'-[_1 [1 ol-_

^{_j !_l_.}

^{i J±_j_} L~ll~l-H_E~J~t fr1~r-±tH-H:::-~ i_+r- ~-- i}t~

1 _, ____ '_[ ' _ _LH_I

[J_i_---.-c:TLJ __

I __

^{[_Ll j'_J_LI,}

^LJJ

1.-t---r-Li

[-·-L_I

^t

1 .

ⁱ [U_l __ :_ll r-t-l_lj_l_U_!L~,E~I-'---f.L'_, UD

_!Gtj__ _

-1

l_ _l l ^_l L

i_f--: L

J l

l

!_L l_ ^{- l -} l L

1 ·

li '--l . ^{1 _. __}

l-,

l _l __ l !_l

_-l-;

~~-~-~-~-J [ ^l l+'-j-L: l!_

H-l-l _UI

^_LL· Il ~-f'--L-.1 li_LJ

j_j - r l - r_, l l_! _ _l__j_j___j.!

[_t_[ __ ,_:

^{j_L_I l} f..:. __ [ l J I_L' l l __ j__t_~· l

L

^{L _l} l 1_[,_1_1: i :_LL_'_t¹ f-f1- ·

1 ^1_! j !_l__L L _ _l_i_;_l L_ ^{f' ]_l} _1 ^{1 _} _1_1

[_l __ ~-~ 1

l

¹

i

_i l

r_,_L!

L_. _L_Lr ^{1 ,} _1_1

l-l

L [l _l __ , l_', L; ;_1_l 1_,

L~

^{l 1- ' -}

^1-1

^{l ' l}

^{Il l '}

^{l . l l}

^J:

^{l ' J~-l l j_ [ _ _Li L-~ l : l l ! l l 1_1 _j_ !_}

^{1_1 L}

^{l l Il} l_!_ . _i ^L _l_,_ , ' '-l ^{l l ·_ l J l} L ^l l ~~ ^{l -l} _L ' ; : ^{t - -J _[_c_} l

l l ,-l l :

l

l l

l

^{l l _ _[}

l' ^l

^{l ' l_ l l l l i l ___ ,_1 l l [_l i '-}

^e_:

^{_l :_:}

rt·\_-1

1 ¹-1- .-l

l

i --~-~~-~ l _:_1 _ _1

'_l

1 ^{_1_1 :} 1_

!-' '

l __ r_ !_l ¹

L,. , :

i '

1

T

L _j_l-_11 _[_111_~ _ _1_1! ¹ 1_]_1 l_!, I_L: 1! _ _1_1_ lLJ' 1.'' 11! l_

l _L l ' ! l

l l

^{_l_ _l_, [ t '}

1

_ l

^{L l i l j • J j_l}

U

^{l ; l l _ l_ l f 1 l . 1 ,_ ; ! i ·}

l L·l-i 1

1 ~ '

^{l l ,} l l i ^j' L

l ,

^{l l l i i ; l}

t '

^{j' i ' 1 · 1 • , 1 1 ,}

l --

^{l l .. i --~--} t:-1-t--~~-, -~-i-- ~--t--rj l[-- P ¹

,-,:.i

^{· ; T}

-= ,--·-1 f- lj · ^{.L f-} ~T1

ⁱ

l ~~

!- --;- __

f_~-~-j~l ^L l

^{l-1 l 1 -}

r-j-r_' f-1

^{i :}

-~ ;-;-l ^[-t

,---j- ·- - ~ r- - - , -

¹

~--'-

^{1- ;-- 1 r- , , , . 1} ₁ ^{. , :}

1

i_i

₁ ^{, 1 , • , , 1}

-

^-~-

-

^~-r-

-,

^{~-~ -T _l_}

t

^{1 ,- -1 1}

l

^{1 -}

c :-

^~

;-

^{1 ~ : · 1 ~-~}

^{1 __ ,}

¹

L ^{r - -} 1-- 1--^{1- ' ·} 1 -

--1- ^-~ : ~ ~-+---j

^{- · -} 1 -, ·-

H-

¹

-~ ~-- ~-~

1

r

1- , · ^{1 1}

l ^{-H- H- --1 j·}

^{,_j_ . --}

^-l

^{l 1_L -- -}

^{-[·l 1-l-}

^l

^l l l . - - __

l ' __ ^{L __ - l - l}

l

^{L l l}

-[-ttH ^~- t-1+ ^-l_rl h 1:.

^:_l_!_;

^{f~~u __ L:}

¹

++l r-1 ^{;+L~jL-~_ 1}

^f

^L+

1

~-d.

v~(Vvvvc-

eh.

~t[ ^{m(( -}

^{x Ì}

J - ( ~

^{(M 'f1 - M}( )}

f ;: ( ( -

l)"' .

~

⁽

~-

>< )

t

-- - --- :'_

7f

- ·l- .. - c .J\..<.M ^M)(

--~

~

l

l - - . -

YW.p~

_(),.

}[:Colf)

_{. l}

-T!- - ~

~S ^{J?ln _} ~' ~'~'"lrr~~~-"x

o .. - ~-

'f - -

f ^{fc ('} -~~troy) Q(y-~L~:~'_

.. . Q ^' .

.

' ' - --- _ L __ ---

--+---

, ___ ^{' _____ ;_: _ _ ; ___ --}

f ' - ^{z -- __ : ________}

! __ : ___ '

2.. ---.-_·_,-. _____ _~

n _____

^(,--~':_

..

)'.-~_-.···---_ ^{lV, __ \ ___}

ìZ.- -'-

^{'o_L ____ ,} -~U_i_L_,_;____i__ ^{_____ i ______ _}

_-=:_:_!_l _______ ^{i____ - l -} ~- ^{___ 1 ____} :---i--:-;_j_~--;---- ___ : : l_: ___ ·- -

__ .g --- ·______ --·--·---- ___ ! _____ , __ , _____ i __________ .

--- _·_______ - -- -- !_ - ":_ _ _J_l_._: _ _L}=-=i=!=l-=~-~---

-- f . p, ^{0 ... -)~ ~L lhX /V'oN_.L} ~(!~L_ -~~=~-

--·---~.- ~~-~--~~ A~~-~~~~-~; ;~~=r><-)

-~{ . ·----~-:---'--r- · ^l ·-1-~-~~-j----;-~i----~--r --"----:-- ---

-- -- ,-

.' ... 4\_._""nP_~ _:~ -~--- .. ^_·_·0.~

_·r_e __ _

--:

_-_~:v~~-~ ovv---~~~

i- __ l_ . __ '

_________ ! : ,: ^{_! i ,} L--~~~~-- __ ·' ____ )_, ___ :_:--~----

, -.---l--·- ;-'l ¹ _ _ _ : _ , , :_,i·-' __ ·_~·-i_.:_!·-

-

~

¹

c-tk';zl.)

'-'-t. --- ¹

-:---H ' -. , .

^{1 I- . l}

-' _·'( C?Y

"'1!1 -_-

~x ^·)··_-=' ((-!)"" ~~~{~ ^)(-)

^1!

-~==:.

^{:. 'ed.-'-}{M><:

' ' l ' ' l l '

- . . - - - - - - · '

• ;._ )).v.~~--~ . ./)~. - ' -

~~c--

- 7 . ( ej;.jjt -

i'(Nt)$

.

^~--.

^{· mll} ,1 ___ .. - ^{e· __ ,_. __}

"T ... ^{l .} :2.-

i

' ' ' '

,· ____ _.!_.!_ '

(

. /?~ ;~<.._ ^{··. . -.} 3-i'l<..., . . ·i x t>\ --<-^l(i

- _4--~ - _.. v-: --

e e e

,!., . - ^{l -}

3

-=-~--:-~

; ~A,- ' . '2. ..v

J

··3·. ^{i •}

;;: - ~~)<'

. __ <f- ^l

. - i - l '

(

----L , __ . __ ,

/1-z Co,~~~

~ > ^:::O

^S::)

-<'+ ·1'lK,fj/,_-- :~~ ~, J2)

t?r.A. A

m :. ^-JPro ·-~ )· '· .

1\<\-.x ~. ~

-n·-y= . ·""""-

^{11-. . , l. - .}

. ~ ^.. ~ ^J,:--

ⁱ

~-- ~

^-

g- _~ - _{~-.-!~j_}

-·--- .· ,_ ^{-- -}

::: <~~·N\~

(

- / ) "

~

<

^{···~· . (}

v~

v-~~

~()-

K >'

- - - l

;xJ? ,.·~ ><~~-; ·=,iJ.-: ^-c-,--'-;

' : l ! l l

. . .

-i-,-~-

_:~l __ i __ . __ i ___ i __ ' - -

1 - - - , - - - , - ''i ---

•

- - - l_

. l

-~

7==". o .

i ; .

.

~ '

··~· -

·~~xll'-=//-rl_·-~2,il.___ ·ff>IAI-) ~"J/

l : '