Compito di Fisica Matematica, 22/7/2004
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno 4 tra i seguenti quesiti:
(1) Verificare la seguente propriet`a della δ di Dirac: δ(ax + b) = |a|1 δ(x +ba), con a, b costanti reali.
(2) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = e−|x|4 , nonch`e la sua antitrasfor- mata.
(3) Calcolare l’integrale I
γ
2z z3+ 1dz,
in cui γ `e la frontiera del semicerchio centrato nell’origine, di raggio 2, e tutto contenuto nel semipiano <(z) > 0, vedi figura:
-
6 γ
=(z)
? 6
<(z)
¡¡
(4) Determinare i residui al finito ed all’infinito della funzione f (z) = z22z−4, in corrispondenza delle sue singolarit`a. Verificare che la somma dei residui cos`ı ottenuti `e nulla.
(5) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = x2+ 1 e ricavare l’uguaglianza di Parceval.
(6) Risolvere l’equazione differenziale 2y00(t) + 5y0(t) − 3y(t) = 2, con le condizioni iniziali y(0) = y0(0) = 0 usando la tecnica delle trasformate di Laplace. Verificare l’esattezza del risultato usando la tecnica standard di risoluzione delle equazioni differenziali.
(7) Verificare che le funzioni f1(x) = α(x+x3) e f2(x) = β(1+x2) sono ortogonali in L2([−1, 1]).
Calcolare α e β in modo che risultino anche normalizzate.
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