Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 10 (8 giugno 2009)
Teoria: il metodo dell’approssimazione normale.
Esercizio 1 (esempio 5.8 delle dispense). Si lancia n volte un dado equilibrato.
(a) Se n = 1000, qual `e la probabilit`a che il punteggio totale sia minore o uguale di 3400?
(b) Quanto grande deve essere n affinch`e con probabilit`a maggiore o uguale a 0.99 il punteggio totale sia almeno 3.3n?
(c) Quanto grande deve essere n affinch`e con probabilit`a maggiore o uguale a 0.99 il punteggio totale sia almeno 500?
[(a) 1 − Φ(1.85) ' 0.032; (b) n ≥ 396; (c) n ≥ 158]
Osservazione 5.9 delle dispense: la correzione di continuit`a per variabili discrete.
Esercizio 2 (es. 134 dell’elenco). Si assuma che, in un libro di 400 pagine, la pro- babilit`a che una pagina sia priva di errori sia 0.98, indipendentemente dalle altre pagine. Sia X il numero di pagine che contengono almeno un errore.
(a) Qual `e la distribuzione di X?
(b) Usando l’approssimazione normale, calcolare approssimativamente la probabi- lit`a che X ≥ 4.
(c) Calcolare la probabilit`a al punto b. usando un altro tipo di approssimazione, visto a lezione.
[(a) X ∼ B(400, 0.02); (b) P (X ≥ 4) ' Φ(1.61) ' 0.946; (c) P (X ≥ 4) ' P (P o(8) ≥ 4) ' 0.958.]
Esercizio 3 (es. 120 dell’elenco). Sia X una variabile casuale scalare la cui funzione di ripartizione `e
F (x) = e−e−x.
(a) Determinare la distribuzione della variabile casuale Y := e−X.
(b) Sia (Xn)n≥1una successione di variabili i.i.d. con distribuzione Exp(1), e Mn:=
max(X1, X2, . . . , Xn). Sia inoltre ξn := Mn − log(n), e si denoti con Fξn la relativa funzione di ripartizione. Mostrare che per ogni t ∈ R
n→+∞lim Fξn(t) = F (t).
1
2
(c) Sia Zn := log(n)Mn , e FZn la relativa funzione di ripartizione. Mostrare che
n→+∞lim FZn(x) =
0 se x < 1 e−1 se x = 1 1 se x > 1 e dedurre che per ogni > 0
n→+∞lim P
Mn log(n) − 1
>
= 0.
[Svolte solo le parti (a) e (b).]
