Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 5 (20–21 maggio 2009)

Esercitazioni di Probabilit` a e Statistica Foglio n. 5 (20–21 maggio 2009)

Teoria: Variabili aleatorie notevoli (Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Poisson).

Esercizio 1. Sia X, Y variabili casuali indipendenti con distribuzione Ge(p). Per n ≥ 0 fissato, si determini al variare di k ∈ {0, . . . , n}

q(k) := P (X = k | X + Y = n) . [P (X + Y = n) = p²Pn

k=0(1 − p)^k(1 − p)^n−k = (n + 1)p²(1 − p)ⁿ, da cui q(k) = _n+1¹ .]

Esercizio 2 (simile all’es. 83 dell’elenco). Siano X ∼ P o(λ), Y ∼ P o(µ) variabili casuali indipendenti. Per n ≥ 0 fissato, si determini al variare di k ∈ {0, . . . , n}

q(k) := P (X = k | X + Y = n) . [P (X + Y = n) = e−(λ+µ) (λ+µ)ⁿ

n! , da cui q(k) = ⁿ_k
p^k(1 − p)^n−k, con p = _λ+µ^λ .]

Esercizio 3 (es. 85 dell’elenco). Siano X e Y due variabili casuali a valori in N aventi la seguente densit`a congiunta:

p_X,Y(k, n) = ( _n

k
p^k(1 − p)^n−ke^{−λ λ}_n!ⁿ se 0 ≤ k ≤ n

0 altrimenti,

dove p ∈ (0, 1) e λ > 0 sono due parametri fissati.

(a) Determinare le densit`a marginali di X e Y . (b) Calcolare il coefficente di correlazione ρX,Y. [pX(k) = e^{−λ (pλ)}_k!^k P

n≥k

[λ(1−p)]^n−k

(n−k)! = e^{−pλ (pλ)}_k!^k, pY(n) = e^{−λ λ}_n!ⁿ Pn k=0

n

k
p^k(1−p)^n−k = e^{−λ λ}_n!ⁿ, quindi X ∼ P o(pλ) e Y ∼ P o(λ); E(XY ) = P∞

n=0nPn

k=0k pX,Y(k, n) = P∞

n=0n (pn) p_X(n) = pE(X²) = p(λ + λ²), da cui Cov(X, Y ) = pλ e ρ_X,Y =√ p.]

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