1 Il metodo volt-amperometrico

MISURE DI RESISTENZE

Per ottenere il valore di una resistenza possiamo collegarla ad un generatore e misurare la corrente che scorre nel circuito e la tensione ai capi della resistenza (metodo volt-amperometrico).

Per effettuare la misura dobbiamo tuttavia inserire il voltmetro e l’amperometro nel circuito. Poich`e questi strumenti hanno una resistenza interna, non misureremo le quantit`a relative alla resistenza in esame ,R^x, ma a combinazioni di Rx con le resistenze interne degli strumenti, diverse a seconda della configurazione del circuito. Per ottenere Rx dobbiamo conoscere o misurare il valore di tali resistenze interne.

L’affidabilit`a della misura `e dunque basata sulla calibrazione degli strumenti e sulla conoscenza delle loro resistenze interne.

Il metodo del ponte di Wheatstone `e basato invece sul confronto tra Rx ed altre resistenze di valore noto.

1 Il metodo volt-amperometrico

Indicheremo col pedice m le quantit`a misurate.

Nella configurazione seguente Im `e la corrente che corre nel parallelo tra R^x ed R^V:

E

R^x

A

R^A

V

RV

Vm

Rm = ^V_I^m

m = R^x//R^V ⇒ R^x = Rm

1 − RR^mV

Im (a)

Invece in quella seguente Vm `e la differenza di potenziale ai capi della serie di Rx ed RA:

E

Rx

A

RA

V

RV

Vm

Rm = ^V_I^m

m = Rx+ RA ⇒ Rx = Rm−RA (b)

Im

1

Il metodo volt-amperometrico richiede il collegamento di due strumenti. In laboratorio utilizzerete anche dei multimetri che misurano le resistenze con un unico collegamento ai terminali dello strumento. Come funzionano ? Qual’`e la differenza col metodo volt-amperometrico ?

2 Il ponte di Wheatstone

Il metodo `e semplice ed elegante: se facciamo variare la resistenza R3 fino ad avere corrente nulla nel galvanometro (un amperometro adatto alla misura di piccole correnti positive o negative) G, allora i punti A e C sono allo stesso potenziale; si ha quindi:

( VAD = VCD ⇒RxIx = R³I³ VBA= VBC ⇒R¹Ix = R²I³

)

⇒ Rx= R¹R³ R2

(1)

con ovvie notazioni per le correnti nei vari rami.

E RE

B

A

D

C R²

R³ Rx

R¹

R^G G

J¹

J²

J³

E tuttavia difficile realizzare una resistenza variabile con continuit`a ed il cui valore resti costante nel tempo.` In laboratorio metterete nella posizione di R³ varie resistenze fisse (contenute in una cassetta di resistenze) e riporterete di volta in volta la corrente misurata nel galvanometro. Non potrete dunque realizzare la condizione di corrente nulla, ma misurare IG per vari valori di R³.

Effettuiamo il calcolo di IG in questo caso, mediante il metodo delle correnti di maglia. Le maglie che utilizziamo sono le tre indicate in figura ed il sistema di equazioni si scrive nel modo seguente:







RE + R¹+ Rx −R¹ −Rx

−R¹ R²+ RG+ R¹ −RG

−R^x −R^G R³+ R^x+ R^G





·







J¹ J² J³





=







E 0 0





 (2)

Vi ricordo: gli elementi diagonali a_iidella matrice contengono la somma delle resistenze presenti nella i−esima maglia, la matrice `e simmetrica e gli elementi non diagonali a_ij contengono la somma delle resistenze comuni alle maglie i−esima e j−esima cambiata di segno. La matrice dei termini noti contiene la somma delle differenze di potenziale fornite dai generatori presenti nelle varie maglie.

Il determinante della matrice dei coefficienti `e dato da:

D = (RE + R¹+ Rx) (R² + RG+ R¹) (R³+ Rx+ RG) − R²G(RE + R¹ + Rx) −

R²1(R³+ Rx+ RG) − R²x(R²+ RG+ R¹) − 2R¹R^GR^x

(3)

L’apertura delle parentesi non porta ad apprezzabili semplificazioni; notate tuttavia che i termini contenenti R²x si annullano.

2

Calcolando J2 e J3 da (2) si ottiene:

IG= J²−J³ = ER¹R³−RxR²

D (4)

L’adattamento della (4) alle misure di IG per diversi valori di R³, con Rx ed E come parametri liberi, vi permetter`a di ottenere la miglior stima di R^x.

3 Misure in laboratorio

Misurerete due resistenze con i tre metodi sopra descritti e confronterete i risultati ottenuti.

Nel caso del metodo volt-amperometrico ripetete la misura variando la tensione di alimentazione e ricavate Rm dall’adattamento della legge di Ohm alle misure di Vm in funzione di Im. Dovete poi applicare le correzioni (a) e (b), ma per il calcolo di Rx vi troverete di fronte al problema che Rm `e stato ottenuto utilizzando diversi fondoscala degli strumenti, quindi diverse resistenze interne. Decidete voi cosa fare.

3