ANALISI MATEMATICA II, Ing. Gestionale 2009/10
Docente: Lucio Damascelli -
Tel. 0672594675, studio 1127, Dip. Matematica, primo piano, primo dente Email: damascel@mat.uniroma2.it http://www.mat.uniroma2.it/~damascel
Testi di riferimento:
[A] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, ANALISI MATEMATICA, McGraw-Hill [B] M. Bramanti, C.Pagani, S. Salsa, ANALISI MATEMATICA 2, Zanichelli 2009
Programma di massima 1) Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie.
Generalita’ sulle equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e ad esse riconducibili. Equazioni lineari del primo ordine, equazioni di
Bernoulli. Equazioni lineari del secondo ordine e di ordine superiore, metodi di risoluzione nel caso di coefficienti costanti. Cenno alla soluzione di alcuni sistemi di equazioni del primo ordine.
2) Elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili.
Concetti topologici elementari nello spazio euclideo R^N, teorema di Weierstrass, limiti e continuita’ di funzioni di piu’ variabili a valori scalari e vettoriali.
Derivate parziali e direzionali, differenziabilita’ e differenziale di una funzione. Gradiente e matrice jacobiana. Estremi relativi (liberi) di funzioni scalari di piu’ variabili. Formula di Taylor del
secondo ordine e criteri basati sulla matrice hessiana, funzioni convesse.
3) Funzioni implicite, Massimi e Minimi vincolati.
Concetto di funzione implicita. Teorema di Dini in due dimensioni. Teorema di Dini in piu’
dimensioni e cenni al caso dei sistemi. Estremi vincolati di funzioni di due e tre variabili con un vincolo, estremi vincolati di funzioni di tre variabili con due vincoli. Cenno al caso generale di funzioni con n variabili ed m vincoli. Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
4) Curve e integrali curvilinei, forme differenziali.
Curve regolari, lunghezza di una curva. Integrali curvilinei di prima specie di funzioni scalari.
Cenni sui concetti di curvatura e torsione per curve regolari. Integrali curvilinei di seconda specie di campi vettoriali, linguaggio delle forme differenziali. Forme differenziali chiuse ed esatte, insiemi semplicemente connessi e relative proprieta’, condizioni necessarie e sufficienti di esattezza. Calcolo di primitive di una forma esatta.
5) Integrali doppi e tripli.
Definizioni e proprietà relative ai concetti di integrale doppio e triplo, calcolo attraverso le formule di riduzione e di cambiamento di variabile.
Coordinate polari, cilindriche, sferiche.
Teorema di Green nel piano e applicazione alla dimostrazione di condizioni sufficienti di esattezza di una forma differenziale.
6) Superfici, integrali superficiali e Analisi vettoriale.
Superfici regolari, area di una superficie, integrali di superficie, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
Teorema della divergenza e applicazioni. Cenni sulle superfici con bordo e sul teorema di Stokes.
7) Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze, serie di Fourier.
[Convergenza puntuale e uniforme di sucessioni di funzioni, convergenza puntuale, uniforme e totale di serie di funzioni, proprieta’ della convergenza uniforme ].
Serie di potenze reali e loro proprieta’.
Cenno alle serie di Fourier.
8) Primi elementi di Analisi complessa.
Serie di potenze complesse, funzioni complesse di variabile complessa, derivata di una funzione complessa. Funzioni olomorfe e loro principali proprieta’. Analicita’ delle funzioni olomorfe, sviluppi in serie di Taylor. Singolarita’ isolate, sviluppi in serie di Laurent, residuo di una funzione
in un punto singolare isolato. Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali di funzioni reali.
9) Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie.
[ Teoremi di esistenza e unicita’ locali e globali ].
[ Cenni sull’ analisi qualitativa delle soluzioni].
[ Introduzione ai sistemi lineari del primo ordine ] Cenni sul concetto di stabilita’.
Il testo di riferimento [A] contiene alcuni esercizi con soluzione e copre nei capitoli
corrispondenti tutti gli argomenti del corso ad eccezione degli argomenti in parentesi quadre, che ad esempio si possono trovare nel testo [B] o nei testi segnalati qui sotto.
Il testo di riferimento [B] contiene alcuni esercizi e copre nei capitoli corrispondenti tutti gli argomenti del corso ad eccezione degli argomenti della parte 8) e delle dimostrazioni dei teoremi di esistenza e unicità in 9).
Altri testi utili relativi al programma svolto (ad eccezione della parte 8) che si puo’ trovare nel testo di riferimento [A]) sono i seguenti (è disponibile al Focal Point di SoGeNe del materiale
relativo, in parentesi tonda le relazioni tra i capitoli e le parti del programma) [1bis] Apostol – Calcolo vol.1 (solo cap. 8 per la parte 1) del programma)
[1] Apostol – Calcolo vol. 3 (Boringhieri, con esercizi) (capp. 5 e 6 per le parti 2) e 3) , capp. 4) e 7) per la parte 4) , cap. 8) per la parte 5), cap. 9) per la parte 6), cap. 1) per la parte 7) ; i capp. 2) e 3) approfondiscono lo studio delle equazioni e sistemi lineari anche oltre gli argomenti trattati durante le lezioni )
[2] Fusco, Marcellini, Sbordone – Elementi di Analisi Matematica due (Liguori)
(cap. 1 per la parte 7), cap. 2) per la parte 2), cap. 3) per le parti 1) e 9), cap. 4 per la parte 4), cap. 5 per la parte 5), cap. 6) per la parte 6), cap 7) per la parte 3)
Il testo di riferimento [0] e il testo ausiliario [1] contengono esercizi.
Per altri esercizi si possono consultare i testi
[3] Marcellini, Sbordone -Esercitazioni di Matematica 2 vol. (in due parti) (Liguori) [4] Demidovic Esercizi e problemi di Analisi Matematica (Editori Riuniti)
