SEGNALI E SISTEMI

SEGNALI E SISTEMI

Testo e Soluzione Esercizio 1 – [punti 4]

Per i segnali a. x₁(t) = cos(₁₇⁶πt) a tempo continuo e b. x₂(n) = cos(₁₇⁶πn) a tempo discreto, discutere la periodicit`a e calcolare, se esiste, il periodo fondamentale.

Svolgimento. A tempo continuo, un segnale sinusoidale di pulsazione ω₀ 6= 0 `e sempre periodico, di periodo fondamentale T₀ = _|ω^2π_0|. Per il segnale x₁(t) = cos(₁₇⁶ πt) abbiamo ω₀ = ₁₇⁶ π e quindi T₀ = _|ω^2π

0| = ¹⁷₃ .

A tempo discreto,un segnale sinusoidale di pulsazione normalizzata θ₀ `e periodico se e solo se il rapporto <sub>2π</sub><sup>θ0</sup> `e razionale. In tal caso, scrivendo _2π^θ0 = _N^m₀ con N0 > 0 e la frazione ridotta ai minimi termini, il periodo fondamentale `e N0. Per il segnale x2(n) = cos(₁₇⁶πn) abbiamo θ₀ = ₁₇⁶π, cosicch´e da _2π^θ0 = ₁₇³ = _N^m

0 segue la periodicit`a, con N₀ = 17.

Esercizio 2 – [punti 6] Per questo esercizio NON `e necessario giustificare le risposte.

Per un sistema a tempo discreto descritto dalla relazione y(n) =

X∞

k=0

|x(n − k)|

2^k , n ∈ Z,

verificare se valgono: a. causalit`a, b. linearit`a, c. tempo invarianza, d. BIBO-stabilit`a.

Svolgimento. a. Poich´e la somma `e estesa ai valori k ≥ 0, l’uscita y al tempo n dipende dall’ingresso x(m) negli istanti m = n − k ≤ n precedenti od uguali a n. Quindi, il sistema `e causale.

b. La presenza del modulo |x(n − k)| nella relazione che descrive il legame ingresso-uscita rende il sistema non lineare. Infatti, pur essendo y(n) ≡ 0 se x(n) ≡ 0, non sono soddisfatte n´e la propriet`a di omogeneit`a, n´e quella additiva. Ad esempio, all’ingresso x₁(n) = −x(n) corrisponde l’uscita y1(n) = y(n), in generale diversa da −y(n).

c. Per ogni n₀ ∈ Z, definendo l’ingresso traslato x₁(n) = x(n − n₀), si ottiene la risposta y₁(n) =

X∞

k=0

|x(n − k − n₀)|

2^k , coincidente con y(n − n₀). Perci`o, il sistema `e tempo invariante.

d. Il sistema `e anche BIBO-stabile. Infatti, se l’ingresso `e limitato, cio`e esiste M<sub>x</sub> < ∞ tale che |x(k)| ≤ M<sub>x</sub> per ogni k ∈ Z, allora anche y `e limitato, dato che |y(n)| ≤

X∞

k=0

M_x

2^k = 2M_x per ogni n ∈ Z.

Si noti che il sistema corrisponde alla serie di un elemento non lineare, statico, tempo invariante e BIBO stabile che trasforma l’ingresso x in z = |x|, seguito da un sistema LTI causale e BIBO-stabile, con risposta impulsiva (causale e assolutamente sommabile) h(n) = 2⁻ⁿu(n), che genera y come y = h ∗ z. In effetti, causalit`a, linearit`a, tempo invarianza e BIBO-stabilit`a sono propriet`a che si conservano nella connessione di sistemi in serie.

Esercizio 3 – [punti 6]

Si calcoli la convoluzione a tempo continuo y = h ∗ x, dove x(t) =

X∞

k=−∞

δ(t − 3k) `e un “treno d’impulsi” e

h(t) =

( t, se 0 < t < 1, 0, altrimenti.

Si tracci il grafico del segnale risultante y(t).

Svolgimento. Ricordando le propriet`a formali del segnale δ a tempo continuo, in particolare l’identit`a h(t)∗δ(t−t0) = h(t−t0), per ogni t0 ∈ R, dalla linearit`a della convoluzione otteniamo

y(t) =

X∞

k=−∞

h(t) ∗ δ(t − 3k) =

X∞

k=−∞

h(t − 3k), t ∈ R,

cio`e la “ripetizione periodica” y(t) = rep_T h(t) di periodo T = 3 del segnale h(t), il cui grafico

`e riportato in figura:

- 6

t

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

y(t)

1

Esercizio 4 – [punti 6]

Si consideri un sistema LTI a tempo continuo, caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) =

( e^−t, se 0 < t < 1, 0, altrimenti.

a. Calcolare la corrispondente risposta in frequenza H(jω).

b. Determinare la risposta y(t) all’ingresso x(t) = 2 e^j2πt.

Svolgimento. a. Il sistema `e BIBO-stabile, dato che la risposta impulsiva `e assolutamente integrabile. Infatti,

Z _∞

−∞|h(t)| dt =

Z ₁

0 e^−tdt = −e^−t¯¯¯¹

0 = 1 − e⁻¹ < ∞.

Ora, per definizione, la risposta in frequenza del sistema si calcola come l’integrale

H(jω) =

Z _∞

−∞h(t)e^−jωtdt =

Z ₁

0 e^−te^−jωtdt = −e^−(1+jω)t 1 + jω

¯¯

¯¯

¯

1

0

= 1 − e^−(1+jω)

1 + jω , ω ∈ R.

b. A tempo continuo, per un sistema LTI e BIBO-stabile in regime sinusoidale, la risposta all’ingresso x(t) = A e^jω0t`e y(t) = H(jω<sub>0</sub>) A e<sup>jω0t</sup>. Perci`o, con A = 2 e ω₀ = 2π, risulta

y(t) = 2 H(j2π)e^j2πt = 2 1 − e^−(1+j2π)

1 + j2π e^j2πt = 2 1 − e⁻¹

1 + j2π e^j2πt, t ∈ R, avendo semplificato il fattore e^−j2π = 1.

Esercizio 5 – [punti 6]

Lo sviluppo in serie di Fourier del segnale x(t) `e x(t) = 1

2− ^X

k dispari

2

k²π² e^jkπt, t ∈ R.

Si calcolino i coefficienti di Fourier del segnale y(t) = x⁰(t − 1) = ^dx_dt(t − 1).

Svolgimento. I coefficienti {ak} del segnale x(t), di pulsazione ω0 = π e periodo fondamentale T₀ = ^2π_ω

0 = 2, rispetto alla famiglia {e^jkπt, k ∈ Z} sono, per ispezione,

a_k=













1

2, se k = 0, 0, se k 6= 0 `e pari,

− 2

k²π², se k `e dispari.

Applicando la propriet`a di derivazione, i coefficienti {b_k} di x⁰(t) = ^dx_dt(t) sono

bk= jkπak=







0, se k `e pari, 2

jkπ, se k `e dispari.

Infine, applicando la propriet`a di traslazione, i coefficienti {c_k} di x⁰(t − 1) = ^dx_dt(t − 1) sono

ck = e^−jkπbk =







0, se k `e pari,

− 2

jkπ, se k `e dispari.

Naturalmente, allo stesso risultato si arriva derivando addendo per addendo la serie di Fourier di x(t − 1). Infatti, da

x(t − 1) = 1

2 − ^X

k dispari

2

k²π² e^jkπ(t−1), t ∈ R, si ottiene

y(t) = x⁰(t − 1) = dx

dt(t − 1) = ^X

k dispari

2

jkπ e^jkπ(t−1) = − ^X

k dispari

2

jkπ e^jkπt, t ∈ R, da cui, per ispezione, si ricavano i coefficienti di Fourier {c_k} come sopra.

Esercizio 6 – [punti 2] [difficile, da svolgere per ultimo!]

Siano x(t) ed y(t) segnali a tempo continuo, di potenza media finita, periodici del medesimo periodo T > 0. Si definisce la correlazione (periodica) di x(t) ed y(t), come la funzione T - periodica

r_xy(t) :=

Z _T

0 x(t + τ )y(τ ) dτ, t ∈ R.

Trovare la relazione tra i coefficienti di Fourier {a_k}, {b_k} dei segnali x(t), y(t) ed i coefficienti {ck} della correlazione rxy(t), rispetto alla famiglia {e^jk2πTt, k ∈ Z}.

Svolgimento. Operando il cambio di variabile s = −τ nell’integrale che la definisce, la corre- lazione r_xy(t) si pu`o scrivere anche come

r_xy(t) =

Z ₀

−T x(t − s)y(−s) ds =

Z _T

0 x(t − s)y(−s) ds, t ∈ R,

avendo tenuto conto nell’ultima uguaglianza della T -periodicit`a dell’integranda. Perci`o, la correlazione tra x(t) ed y(t) appare coincidere con la convoluzione periodica tra il primo segnale ed il secondo coniugato e temporalmente invertito. Dalla propriet`a di coniugazione abbiamo intanto che i coefficienti di Fourier {d_k} del segnale y(t) sono

dk = b−k, k ∈ Z,

mentre quelli del segnale y(−t) risultano, per la propriet`a di inversione temporale, ek = d−k = bk, k ∈ Z.

Infine, applicando la propriet`a di convoluzione tra x(t) ed y(−t), otteniamo c_k= T a_ke_k= T a_kb_k, k ∈ Z.

Si noti che dalla serie di Fourier r_xy(t) =

X∞

k=−∞

c_ke^jk2πTt, t ∈ R,

ponendo t = 0, si ottiene l’energia mutua E_{[0,T ]}(x, y) =^R₀^T x(τ )y(τ ) dτ = r_xy(0) nella forma E_{[0,T ]}(x, y) =

X∞

k=−∞

c_k = T

X∞

k=−∞

a_kb_k,

come anticipato dal Teorema di Parseval.