Prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni B Fila (a) Università di Siena, A.A. 2018-2019, 02 Aprile 2019 Modalità di svolgimento

Prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni B Fila (a)

Università di Siena, A.A. 2018-2019, 02 Aprile 2019

Modalità di svolgimento

Per lo svolgimento del compito i candidati hanno a disposizione 2.5 ore. Non è permesso consultare nessun tipo di appunti, libri, o tavole matematiche. La somma dei punteggi degli esercizi ammonta a 33, i 3 punti in eccesso servono per l’assegnazione della lode. Il testo del compito va riconsegnato insieme al compito stesso con indicato nome, cognome e numero di matricola del candidato

1. Si calcoli l'energia e la potenza media del segnale 𝑠(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡 − 1) + 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡 + 1) [4 punti]

2. Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico ottenuto periodicizzando il segnale troncato definito da: 𝑠 𝑇 (𝑡) = 𝑡𝑟 ( ^𝑡−1

2 ) + 𝑡𝑟 ( ^𝑡+1 ₂ ) [6 punti]

3. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale 𝑠(𝑡) = 𝑡𝑒 ^{𝑎|𝑡|+2𝜋𝑗𝑡} . [5 punti]

[Suggerimento: calcolare la TF applicando l’integrale secondo la definizione della TF e usando le proprietà della TF]

4. Si studi la linearità, la tempo-invarianza, la causalità e la stabilità BIBO dei sistemi definiti dalle seguenti relazioni di ingresso-uscita: [10 punti]

a. 𝑦 ( 𝑡 ) = ^{𝑥 ( 𝑡+1 )}

1+𝑡 ² b. 𝑦(𝑡) = ^{𝑥(𝑡)+𝑥(−𝑡)}

2

5) Dato un segnale reale 𝑠(𝑡) sommabile al quadrato, che ammette una trasformata di Fourier finita, si dimostri che il segnale 𝑠(𝑡) e la sua trasformata di Hilbert 𝑠̂(𝑡) sono funzioni ortogonali. [3 punti]

6) Calcolare la trasformata di Hilbert 𝑠̂(𝑡) del segnale 𝑠(𝑡) = ¹

1+𝑡

. [5 punti]

[Suggerimento: si utilizzi il principio di dualità per calcolare la TF del segnale s(t)]

Nome……… Cognome ……… Matricola ………..

Prova in Itinere di Fondamenti di Telecomunicazioni B Fila (b)

Università di Siena, A.A. 2018-2019, 02 Aprile 2019

Modalità di svolgimento

Per lo svolgimento del compito i candidati hanno a disposizione 2.5 ore. Non è permesso consultare nessun tipo di appunti, libri, o tavole matematiche. La somma dei punteggi degli esercizi ammonta a 33, i 3 punti in eccesso servono per l’assegnazione della lode. Il testo del compito va riconsegnato insieme al compito stesso con indicato nome, cognome e numero di matricola del candidato

1. Si calcoli l'energia e la potenza media del segnale 𝑠(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡 − 2) − 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡 + 2) [4 punti]

2. Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico ottenuto periodicizzando il segnale troncato definito da: 𝑠 _𝑇 (𝑡) = 𝑡𝑟 ( ^𝑡−1

2 ) − 𝑡𝑟 ( ^𝑡+1

2 ) [6 punti]

3. Si calcoli la trasformata di Fourier del segnale 𝑠(𝑡) = 𝑡𝑒 ^{𝑎|𝑡|−2𝜋𝑗𝑡} . [5 punti]

[Suggerimento: calcolare la TF applicando l’integrale secondo la definizione della TF e usando le proprietà della TF]

4. Si studi la linearità, la tempo-invarianza, la causalità e la stabilità BIBO dei sistemi definiti dalle seguenti relazioni di ingresso-uscita: [10 punti]

a. 𝑦 ( 𝑡 ) = _1+𝑥 ^{𝑥 ( 𝑡−1} _{2( 0} ⁾

) b. 𝑦(𝑡) = ^{𝑥(𝑡)−𝑥(−𝑡)}

2

7) Dato un segnale reale 𝑠(𝑡) sommabile al quadrato, che ammette una trasformata di Fourier finita, si dimostri che il segnale 𝑠(𝑡) e la sua trasformata di Hilbert 𝑠̂(𝑡) hanno la stessa energia. [3 punti]

8) Calcolare la trasformata di Hilbert 𝑠̂(𝑡) del segnale 𝑠(𝑡) = ¹

1+𝑡

. [5 punti]

[Suggerimento: si utilizzi il principio di dualità per calcolare la TF del segnale s(t)]

Nome……… Cognome ……… Matricola ………..