Facoltà di Ingegneria 2

Facoltà di Ingegneria

2

prova in itinere di Fisica II – 24.6.2004 – Compito A

Esercizio n.1

Un cavo coassiale indefinito è costituito da un filo conduttore cilindrico di raggio r circondato da una guaina conduttrice, cilindrica, coassiale al filo, di _int spessore trascurabile e raggio r_ext (vedi anche la sezione). Il filo interno è percorso da una corrente di densità uniforme j

r

; sulla guaina esterna scorre una corrente i , avente lo stesso verso di j₁

r

. Tra il cilindro interno pieno e la guaina esterna c’è il vuoto.

Determinare il valore del campo magnetico al variare di r (distanza dall’asse del cilindro interno).

Successivamente, un secondo filo indefinito, di sezione trascurabile, percorso da una corrente i con verso contrario ad ₂ i (con ₁ i <₂ i ), viene disposto ₁ parallelamente al cavo coassiale ed a distanza d_>r_extdall’asse di esso.

Determinare modulo, direzione e verso della forza per unità di lunghezza agente su tale filo.

Calcolare infine il modulo del campo magnetico a distanza 2

d dall’asse del cavo coassiale, quando sono presenti sia il cavo coassiale che il filo percorso dalla corrente i . ₂

Rispondere quindi ai seguenti quesiti:

1. In presenza del solo cavo coassiale, per r<r_int, il modulo del campo magnetico ha espressione:

A. jr

2

B= 1µ₀ (*)

B. j

2 B=1µ₀ C. B=µ0j D. ₀jr_min²

2 B= 1µ

2. In presenza del solo cavo coassiale, per rint <r<rext, il modulo del campo magnetico ha espressione:

A. ₀jr²

2 B=1µ B. B=µ0j

C. r

jr 2 B 1

2 int

µ0

= (*)

D. ₀jr_min² 2 B= 1µ

3. In presenza del solo cavo coassiale, per r>r_ext, il modulo del campo magnetico ha espressione:

A. ₀i₁r² 2

B= 1µ

B.

( )

r i r j

B 2 ¹

2 int

0 π +

π

=µ (*)

C. r

jr 2 B 1

2 int

µ0

=

D. ₀i₁r_min² 2 B= 1µ

4. La forza tra il cavo coassiale ed il filo con corrente i ₂ A. è attrattiva

B. è repulsiva (*)

Vista dall’alto i 1

j r

i 2

d

Vista frontale

rext

r int r

C. agisce parallelamente ai fili D. è nulla

5. La forza per unità di lunghezza sul filo percorso da corrente i ha espressione ₂

A. 2d

i f=µ₀ i^{1 2}

B.

( )

d 2

i i r

f j ^{1 2}

2 int

0 π

+ µ π

= (*)

C. 2

r j f i

2 int 2 0

µ π

=

D.

( )

d 2

i r i j

f ¹

2 int 2

0 π

+ µ π

=

6. In presenza sia del cavo coassiale che dell’altro filo, il modulo del campo magnetico a distanza 2

d dal centro del cavo coassiale, vale

A.

( )

d

π

i i

B ²¹₀ +=

B.

( )

d i i d

B jr ₀ ^{2 1}

2 int 0

µ −

− µ

=

C. d

B ₀ i² µ π

=

D.

( )

d

π

i i



d jr

B ²¹₀

2 int 0

+ +

= (*)

Esercizio n.2

Una bobina rettangolare, di lati a e b, composta da 2 spire sovrapposte, è posizionata nel piano xy (vedi figura) con un vertice nell’origine delle coordinate.

La bobina, che è costruita con filo metallico di conducibilità σ e sezione di area A, è immersa in un campo magnetico parallelo all’asse z, non uniforme e variabile nel tempo: Br =kxt²zˆ

(con k costante e t tempo).

Trascurando il fenomeno dell’autoinduzione, si determini:

la resistenza totale della bobina

la corrente indotta nella bobina

la potenza V dissipata nella bobina i

l’energia dissipata nella bobina dopo un tempo t=t^*

il momento magnetico della bobina

Si ricordi che per un filo di lunghezza L e sezione A vale:

A L

σ

1 A L

ρR ≡= ^.

Rispondere quindi ai seguenti quesiti:

7. La resistenza totale della bobina vale:

A.

(

)

A R= 4σ +

B. ^{R A}

(

)

= σ

C.

(

)

A

R 2 +

= σ

D.

(

)

A

R 4 +

= σ (*)

8. Il flusso del campo magnetico attraverso una spira vale A. kba²t²

2

1 (*)

B. kba²t²

x y

z b

a

C. kb²at D. kb at

2

1 2

9. La forza elettromotrice indotta nella bobina ha modulo A. 2kba²

B. 4kba²t C. 2kba²t(*) D. 4kb²a²t

10. La corrente indotta nella bobina ha intensità A. ⁱ

(

)

2

ind +

=σ

B. ^{i 2Akba}

(

)

2

ind +

=σ (*)

C.

( )

t 2

b a i Akba

2 ind

+

=σ

D. 2

Akbat i_ind =σ

11. La potenza dissipata nella bobina ha espressione

A.

( )

ab t b a

Ak + ²

σ

B. ^kAb

(

)

2 4 2 2

+ σ

C.

( )

4 2 2

b a

t a b Ak

+ σ

D. ^Ak

(

)

2 4 2 2

+

σ (*)

12. L’energia dissipata nella bobina dopo un tempo t=t^* A. ^kAb

(

)

* 4 2 2

+ σ

B.

( )

(

)

3 t a b Ak^{2 2 4 * 3}

+

σ (*)

C.

( )

(

)

3 t Akba ^{* 3}

+ σ

D.

( )

(

)

4 t Ak^{2 * 4}

+ σ

13. Il momento magnetico della bobina ha espressione A. µr=−2i_indabzˆ

(*) B. µr=+2i_indabzˆ C. µr=−i_indAzˆ

D. i abzˆ

2 1 + ind

= µr

Esercizio n.3

Il filo in figura, composto dal tratto rettilineo AB di lunghezza a e dal tratto BC a quarto di circonferenza di raggio b, è parte di un circuito nel quale circola corrente. I tratti di filo AB e BC sono metallici, hanno rispettivamente resistività ρ_AB, ρ_BC ed hanno la stessa sezione circolare, di raggio d/2.

Tra A e C viene misurata una tensione V=V_A−V_C. Si determini:

O b

a C

B

A i

la resistenza totale del filo (AB+BC)

la corrente che circola nel filo in oggetto, usando la legge di Ohm V=R i.

il campo magnetico nel punto O (centro del quarto di circonferenza) prodotto dalla corrente nel filo (AB+BC).

Si ricordi che per un filo di lunghezza L e sezione A vale:

A L

σ

1 A L

ρR ≡= .

Valori numerici: a=10cm, b=2cm, d=1mm,ρ_AB =1.59⋅10⁻⁸Ωm, ρ_BC =1.67⋅10⁻⁸Ωm, V=V_A−V_C =10mV,

m 10 H

4 ⁷

0

π −

=

µ .

Rispondere quindi ai seguenti quesiti

14. Rispetto ai capi A e C, le resistenze dei due tratti di filo, AB e BC, sono A. In serie (*)

B. In parallelo

C. Nè in serie nè in parallelo D. Sia in serie che in parallelo 15. La resistenza del filo (AB+BC) vale

A. 2.69mΩ (*) B. 13.25mΩ C. 0.34Ω D. 8.75Ω

16. La corrente che circola nel filo ha intensità A. 7.63mA

B. 16.35mA C. 0.12A D. 3.71A(*)

17. Il campo magnetico nel punto O dovuto alla corrente che scorre nel tratto di filo AB ha modulo A. 8.4µT

B. 18.2µT(*) C. 3.5mT D. 22.3mT

18. Il campo magnetico nel punto O dovuto alla corrente che scorre nel tratto di filo BC ha modulo A. 29.2µT(*)

B. 68.5µT C. 3.5mT D. 12.3mT

19. Il campo magnetico in O generato dalla corrente nel filo (AB+BC) è A. Parallelo al piano del foglio e rivolto verso destra

B. Parallelo al piano del foglio e diretto verso sinistra

C. Perpendicolare al piano del foglio ed uscente (cioè diretto verso l’alto) (*) D. Perpendicolare al piano del foglio ed entrante (cioè diretto verso il basso) 20. Il modulo del campo magnetico in O generato dalla corrente nel filo (AB+BC) vale

A. 37.55µT B. 47.3µT(*) C. 7.0mT D. 32.6mT Altri quesiti

21. Un fascio di protoni viaggia orizzontalmente verso un osservatore. Nell’avvicinarsi all’osservatore, attraversa una regione di spazio con un campo magnetico uniforme diretto verticalmente verso il basso. Tale campo deflette il fascio di protoni

A. verso l’alto B. verso il basso

C. verso la destra dell’osservatore(*) D. verso la sinistra dell’osservatore

22. Uno ione di carica q=+2e entra con una velocità di

s 10 m 5 .

2 ⋅ ⁵ in una regione dove vi è un campo magnetico uniforme di intensità 1.2T. La velocità dello ione è ortogonale alla direzione del campo magnetico.

Ricordando che e=1.6⋅10⁻¹⁹C, la forza sullo ione risulta:

A. 1.3⋅10⁻¹²N B. 9.6⋅10⁻¹⁴N(*) C. 0.8⋅10⁻¹⁶N D. 5.2⋅10¹³N

23. Un filo, percorso da una corrente di 10 A, è posto ortogonalmente alla linee di forza di un campo magnetico uniforme B

r

. Su un tratto di questo filo, lungo 80 cm, si misura una forza di 0.2 N. Il campo magnetico ha modulo

A. 18.0 T B. 10.4 T C. 0.52 T D. 0.025 T (*)

24. Una bobina di 20 spire ha un’area di 800 mm² ed è percorsa da una corrente di 0.5 A. La bobina è collocata con il suo asse perpendicolarmente alle linee di forza di un campo magnetico uniforme B

r

di intensità 0.3T.

Calcolare il momento meccanico sulla bobina:

A. 0.52⋅10⁻²Nm B. 2.4⋅10⁻³Nm(*) C. 8.9⋅10⁻¹Nm D. 2.3⋅10²Nm

25. Il coefficiente di mutua induzione tra due circuiti è M=8mH. Determinare il modulo della fem indotta nel secondo circuito se la corrente nel primo circuito cambia al ritmo di

s 4kA: A. 30 mV

B. 8V C. 32 V (*) D. 115 V Soluzione

Esercizio n.1

Vista la simmetria cilindrica, per determinare il campo magnetico prodotto dal cavo coassiale, conviene utilizzare il teorema di Ampère:

∫

Per r<rint si ha:

2 jr B 1 r j ' jA r 2 B i l d

B⋅ =µ_{0 ch} → π =µ₀ =µ₀ π ²→ = µ₀

∫

Per r_int <r<r_ext risulta:

r jr 2 B 1 r j jA r 2 B i l d B

2 int 0 2

int 0 0 ch

0 → π =µ =µ π → = µ

µ

=

∫

Per r_ext <r risulta:

( ) ( ) ( )

r 2

i r B j

i r j i

jA r

2 B i l d

B ¹

2 int 0 1

2 int 0 1 0 ch

0 π

+ µ π

=

→ + π µ

= + µ

= π

→ µ

=

∫

La forza (repulsiva) per unità di lunghezza sul filo percorso dalla corrente i vale ₂

( ) ( )

d 2

i r i j d B i l f

lB i l

f F ¹

2 int 2 0 2

2

π + µ π

=

=

→

=

=

Per il principio di azione e reazione la forza per unità di lunghezza sul cavo coassiale vale f

' f =−

Il campo magnetico a distanza 2

d dal centro del cavo coassiale è la somma vettoriale del campo del cavo coassiale e di quello del filo con corrente i : ₂

( ) ^{( )}

d

π

i i



d jr



d

π

i



d

π

i r

πj

B

B

B ₀ ^{1 2}

2 int 0 2 0 1 2 int 0 2 1

+ +

= + +

= +

= r r essendo B₁

r e B₂

r

vettori con la stessa direzione e con lo stesso verso.

Esercizio n.2 Usando la formula

A L 1 A R L

=σ ρ

= , la resistenza totale della bobina risulta

(

)

A 4 A

b 4 1 A

a 4

R 1 +

=σ +σ

= σ Il flusso del campo magnetico attraverso la bobina vale

( )

0 2 a

0 b

0 2 a

0 b

0 AreaSpira

t kba xdx kbt 2 y dxd kxt 2 y Bdxd 2

A d B 2

t = ⋅ = = = =

Φ

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

La f.e.m indotta ha valore assoluto

( )

dt

d ₂

= Φ

−

= ξ

e la corrente indotta risulta

(

)

2 t Akba i R

2

ind +

=σ

= ξ

La potenza dissipata, in funzione del tempo, è

=

=vi

P ^{i 2kba t 2Akba}

(

)

(

)

2 4 2 2 2

2

ind +

=σ +

= σ ξ

Dopo un tempo t=t^*, l’energia dissipata nella bobina sotto forma di calore (effetto Joule) vale

( ) ( ) ( )

(

)

3 t a b dt Ak

b t a

a b dt Ak

b a

t a b Pdt Ak

dt E P dE

* 3 4 2

* 2 t

0 2 4 2

* 2 t

0

2 4 2

* 2 t

0 +

= σ +

= σ +

= σ

=

→

=

∫ ∫ ∫

Ricordando che il momento magnetico di una spira percorsa da corrente i e di area A è µr=iAnˆ

, con nˆ versore normale al piano della spira, orientato secondo la regola della mano destra rispetto al verso di percorrenza della corrente, il momento magnetico della bobina vale µr=−2i_indabzˆ

.

Il segno – viene dal fatto che, in accordo alla legge di Lenz, la corrente circola nella bobina in senso orario; il 2 è dovuto al fatto che la bobina è costituita da due spire.

Esercizio n.3

La resistenza del filo rettilineo AB vale

Ω

= Ω

=



 

 π ρ

= 0,00202 2.02m

2 d R a

AB 2 AB

mentre quella del tratto BC risulta

Ω

= Ω

=



 

 π

π ρ

= 0.000668 0.668m

2 d 2 b

RBC BC 2

Essendo R_AB ed R_BC in serie, la resistenza totale del filo (AB+BC) è R=R_AB+R_BC =2.693mΩ Dalla la legge di Ohm segue che la corrente che fluisce nel filo vale

A 713 . R 3

V i V^A− ^C =

=

Applicando la 1° formula di Laplace si dimostra che il campo magnetico in O dovuto alla corrente nel filo AB è

( )

b a b

a 4

O i

B ⁶

2 2 0

AB = ⋅ = µ

π +

=µ ⁻

mentre quello generato dalla corrente nel filo AB vale

( )

b 8

i b 2 4

i b 4 O i

B_BC ^{0 0} =µ⁰ = ⋅ ⁶ = µ

π π

=µ θ π

=µ ⁻

Dal principio di sovrapposizione, il campo magnetico in O generato dalla corrente nel filo AC, risulta

( )

( )

( )

B = _AB + _BC = µ

La corrente fluisce da A verso C. Per la regola della mano destra, il campo magnetico in O, diretto ortogonalmente al piano del foglio, ha verso uscente.