FUNZIONI QUADRATO, RADICE QUADRATA, RECIPROCO. Gaetano Tarcisio Spartà

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FUNZIONI QUADRATO, RADICE QUADRATA, RECIPROCO

Gaetano Tarcisio Spartà

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Indice

1. FUNZIONE QUADRATO ... 3

2. FUNZIONE RADICE QUADRATA ... 5

3. FUNZIONE RECIPROCO ... 8

BIBLIOGRAFIA ... 10

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1. F

UNZIONE QUADRATO Consideriamo la funzione quadrato

𝒇: 𝑹 → 𝑹 definita dalla legge

𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐 .

La funzione associa a ogni numero il suo quadrato.

Per esempio, si ha

𝑓(0) = 0² = 0 , 𝑓(3) = 3² = 9 , 𝑓 (1

2) = (1 2)

2

= 1 4 , 𝑓(−2) = (−2)² = 4 .

Osserviamo che il grafico ha come elementi i punti della curva di equazione

𝑦 = 𝑥² ,

che è di tipo 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 , con a=1, b=0, c=0. Si tratta, dunque, di una parabola con asse di simmetria l’asse delle ordinate e vertice nell’origine (vedi figura seguente).

Una proprietà della funzione quadrato è che, per ogni numero reale x, si ha

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𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

(per esempio, f(1)=f(-1), f(-3)=f(3) ). Si ha infatti 𝑓(𝑥) = 𝑥² = (−𝑥)² = 𝑓(−𝑥) .

Una funzione con questa proprietà si dice una funzione “pari”.

Osserviamo inoltre che, per le x minori di 0, al crescere di x decresce f(x). Invece, per le x maggiori di 0, al crescere di x cresce f(x).

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2. F

UNZIONE RADICE QUADRATA Consideriamo la funzione radice quadrata

𝒇: [𝟎 , +∞) → 𝑹 definita dalla legge

𝒇(𝒙) = √𝒙 .

Osserviamo che questa funzione ha come dominio l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali a zero. La funzione associa, a ogni numero maggiore o uguale a zero, la sua radice quadrata.

Per esempio, si ha

𝑓(0) = √0 = 0 , 𝑓(16) = √16 = 4 ,

𝑓 (1

4) = √1 4= 1

2 , 𝑓(2) = √2 .

La figura seguente mostra, in blu, il grafico della funzione radice quadrata (in rosso, invece, troviamo il grafico delle funzione quadrato).

Osserviamo che al crescere di x cresce √𝑥 .

Vediamo adesso un esempio di equazione, e uno di disequazione, con la radice quadrata.

Esempio 1

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Consideriamo l’equazione

√𝑥² = 𝑥 .

Osserviamo che i numeri reali x minori di zero non possono essere soluzioni, dato che per questi valori di x il secondo membro è negativo, mentre il primo membro è positivo. Per x maggiore o uguale a zero, invece, l’equazione risulta equivalente (elevando al quadrato entrambi i membri) a

𝑥² = 𝑥²

che è sempre verificata. Dunque l’equazione ha come soluzioni tutti i numeri reali maggiori o uguali a zero.

Esempio 2

Consideriamo la disequazione

√𝑥² > 𝑥 + 1 . Distinguiamo i casi

𝑥 + 1 < 0 e

𝑥 + 1 ≥ 0 . Per 𝑥 + 1 < 0 , cioè per

𝑥 < −1 ,

la disequazione è verificata (dato che il primo membro è maggiore di zero, e il secondo minore di zero).

Per 𝑥 + 1 ≥ 0 , cioè per

𝑥 ≥ −1 ,

la disequazione è equivalente (elevando al quadrato entrambi i membri) a

𝑥² > (𝑥 + 1)² , cioè

𝑥² > 𝑥² + 1 + 2𝑥 ,

che equivale (sottraendo 𝑥² a entrambi i membri) a 0 > 1 + 2𝑥 ,

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cioè

2𝑥 < −1 , da cui

𝑥 < −1 2 .

Unendo le soluzioni nei due casi, la disequazione risulta verificata nell’insieme

(−∞ , −1) ∪ [−1 , −1 2) che è uguale a

(−∞ , −1 2) .

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3. F

UNZIONE RECIPROCO Consideriamo la funzione reciproco

𝒇: (−∞ , 𝟎) ∪ (𝟎 , +∞) → 𝑹 definita dalla legge

𝒇(𝒙) =𝟏 𝒙 .

Osserviamo che questa funzione ha come dominio l’insieme dei numeri reali diversi da zero. La funzione associa, a ogni numero diverso da zero, il suo inverso.

Per esempio, si ha

𝑓(1) =1 1= 1 , 𝑓(6) =1

6 , 𝑓(−3) = −1

3 , 𝑓 (1

2) = 1 (1 2)

= 2 .

La figura seguente mostra il grafico della funzione reciproco.

I punti del grafico verificano l’equazione 𝑦 =1

𝑥

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(dal punto di vista geometrico una curva di questo tipo prende il nome di “iperbole equilatera”). Osserviamo che questa figura è simmetrica rispetto all’origine. Questa legge, inoltre, descrive grandezze inversamente proporzionali, cioè tali che il loro prodotto è costante. Si ha, infatti,

𝑥𝑦 = 1

(cioè il prodotto tra l’ascissa e l’ordinata è sempre uguale a 1).

Per esempio, per x e y positive, i punti del grafico possono rappresentare le lunghezze dei lati dei rettangoli di area 1.

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B

IBLIOGRAFIA

 Guerraggio. Matematica (seconda edizione). Pearson. 2009.

Capitolo 3, paragrafi 5, 6, 8.