Scomposizione dei polinomi in fattori.

Scomposizione dei polinomi in fattori.

1 Sommario

1 Fattorizzazione ... 1

2 Raccoglimento a fattor comune ... 1

3 Raccoglimento parziale... 2

4 Scomposizione per riconoscimento di prodotti notevoli. ... 2

4.1 Differenza di due quadrati. ... 2

4.2 Individuazione di un quadrato di un binomio. ... 2

4.3 Individuazione del cubo di un binomio ... 2

4.4 Individuazione del quadrato di un trinomio ... 3

5 Scomposizione di un trinomio speciale ... 3

6 Scomposizione per riconoscimento di differenza o somma di cubi. ... 3

7 Scomposizione attraverso la regola di Ruffini. ... 4

7.1 Criterio di divisibilità di un polinomio e scomposizioni. ... 4

7.2 Zeri di un polinomio. ... 4

7.2.1 Come determinare gli zeri di un polinomio ... 4

7.2.2 Algoritmo di scomposizione mediante regola di Ruffini. ... 5

1 Fattorizzazione

Fattorizzare significa ridurre un numero¹ o un polinomio ad un prodotto di fattori.

Per un polinomio talvolta è possibile effettuare la seguente operazione:

(1) ²𝐴(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 … ) = 𝐴₁(… ) ⋅ 𝐴₂(… ) ⋅ 𝐴₃(… ) …

2 Raccoglimento a fattor comune

Questo tipo di scomposizione si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica.

Se abbiamo un polinomio nei cui termini compare un elemento comune, cioè identico in ciascun termine, possiamo applicare in modo inverso la proprietà distributiva della moltiplicazione.

(2) 𝐴(… ) = 𝛼 ⋅ 𝑎(… ) + 𝛼 ⋅ 𝑏(… ) + 𝛼 ⋅ 𝑐(… ) … = 𝛼 ⋅ (𝑎(… ) + 𝑏(… ) + 𝑐(… ) + ⋯ ) Esempi:

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 = 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐 + 𝑑);

3(𝑎 + 𝑏) + 𝑥(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏) ⋅ (3 + 𝑥);

1 Si tratta della scomposizione in fattori primi.

2 In un certo senso, la scomposizione è l’inverso della moltiplicazione.

3 Raccoglimento parziale

Se in un polinomio abbiamo che alcuni termini hanno una parte in comune, possiamo raccogliere a fattor comune questa parte, ma solo per questi termini.

Esempio

𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑒 + 𝑏𝑒 = 𝑐(𝑎 + 𝑏) + 𝑑(𝑎 + 𝑏) + 𝑒(𝑎 + 𝑏) ³

Per completare la fattorizzazione raccogliamo a fattor comune il termine (𝑎 + 𝑏), ottenendo:

𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑒 + 𝑏𝑒 = 𝑐(𝑎 + 𝑏) + 𝑑(𝑎 + 𝑏) + 𝑒(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑 + 𝑒).

Questo esempio ci fa capire che a volte bisogna applicare più tecniche di scomposizione per ottenere una fattorizzazione completa⁴.

4 Scomposizione per riconoscimento di prodotti notevoli.

4.1 Differenza di due quadrati.

Se abbiamo un binomio costituito dalla differenza di due quadrati 𝑎²− 𝑏², ricordando la formula (𝑎 + 𝑏) ⋅ (𝑎 − 𝑏) = 𝑎²− 𝑏², possiamo scomporre questo binomio come segue.

𝑎²− 𝑏²= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) (1)

−¹

4+ 𝑥⁴ = 𝑥⁴−¹

4= (𝑥²−¹

2) (𝑥²+¹

2).

4.2 Individuazione di un quadrato di un binomio.

Questa scomposizione si basa sul comprendere se un trinomio può essere visto come il quadrato di un binomio, ovvero se siamo in una delle seguenti situazioni:

• 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² →⏟

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎

(𝑎 + 𝑏)²

• 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏² →⏟

𝑑𝑖𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎

(𝑎 − 𝑏)²

Per individuare se un trinomio è un quadrato di binomio è consigliabile:

▪ individuare i due quadrati;

▪ individuare il doppio prodotto.

Esempio: 2𝑥²− 3𝑥 + 𝑥 + 1 − 𝑥² =⏟

𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜

𝑥²− 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)²

(𝑥)² (1)²

−2 ⋅ (𝑥)(1)

4.3 Individuazione del cubo di un binomio

Questa scomposizione si basa sul comprendere se un quadrinomio può essere visto come il cubo di un binomio, ovvero se siamo nella seguente situazione:

𝑎³+ 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏²+ 𝑏³= (𝑎 + 𝑏)³

3 Qui si conclude il raccoglimento parziale, ma la fattorizzazione non è completata

4 Ovviamente, quando questo è possibile.

Per capire se un quadrinomio può essere visto come un cubo di un binomio è consigliabile:

• individuare i due cubi;

• individuare i tripli prodotti;

• capire quali sono i segni di 𝑎 e di 𝑏.

Esempio

27𝑥³+ 27𝑥²− 9𝑥 + 1 − 54𝑥³= −27𝑥³+ 27𝑥²− 9𝑥 + 1 = (1 − 3𝑥)³

4.4 Individuazione del quadrato di un trinomio

Questa scomposizione si basa sul comprendere se un polinomio di sei termini può essere visto come il quadrato di un trinomio, ovvero se siamo nella seguente situazione:

𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐²+ 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)²

Per capire se un polinomio di sei termini può essere visto come un quadrato di trinomio è consigliabile:

• individuare i tre quadrati (sempre positivi);

• individuare i tre doppi prodotti;

• capire quali sono i segni dei termini.

5 Scomposizione di un trinomio speciale

Un trinomio speciale è di trinomio di secondo grado⁵ del seguente tipo: 𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐.

• Il coefficiente della 𝑥² è sempre uguale ad 1.

• I coefficienti 𝑏 e 𝑐 possono essere in relazione tra loro perché possono esistere 2 numeri, che denominiamo 𝑥1 ed 𝑥2 tali che: 𝑥1+ 𝑥₂ = 𝑏; 𝑥₁⋅ 𝑥₂= 𝑐.

• Trovati 𝑥₁ ed 𝑥₂ possiamo scomporre il trinomio speciale come segue:

𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑥₁)(𝑥 + 𝑥₂) (1) Esempio: 𝑥²− 3𝑥 + 2

Devo trovare due numeri 𝑥₁ ed 𝑥₂ tali che 𝑥₁+ 𝑥₂= −3; 𝑥₁⋅ 𝑥₂ = 2 ⇒ 𝑥₁ = −1; 𝑥₂− 2;

Quindi ottengo: 𝑥²− 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2).

6 Scomposizione per riconoscimento di differenza o somma di cubi.

• Somma di cubi:

𝐴³+𝐵³= (𝐴⏟ +𝐵)

𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜+

𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒

⋅ (𝐴⏟ ²−𝐴𝐵 + 𝐵²)

𝐼𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝐴𝐵 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎.

⏞

𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜

Dimostrazione:

Svolgiamo il prodotto a destra dell’uguaglianza: (𝐴 + 𝐵)(𝐴²− 𝐴𝐵 + 𝐵²) = 𝐴³− 𝐴²𝐵 + 𝐴𝐵²+ 𝐴²𝐵 − 𝐴𝐵²+ 𝐵³= 𝐴³+ 𝐵³ 𝑐. 𝑣. 𝑑.

• Differenza di cubi:

5 Questi polinomi possono essere associati ad un’equazione di secondo grado: 𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 che può ammettere come soluzioni 𝑥1 ed 𝑥2; se queste soluzioni esistono, allora troveremo i due numeri tali che 𝑥1+ 𝑥₂= 𝑏; 𝑥₁⋅ 𝑥₂= 𝑐.

𝐴³−𝐵³= (𝐴⏟ −𝐵)

𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 − 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒

⋅ (𝐴⏟ ²+𝐴𝐵 + 𝐵²)

𝐼𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 𝐴𝐵 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎.

⏞

𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜

Dimostrare questa formula per esercizio.

7 Scomposizione attraverso la regola di Ruffini.

7.1 Criterio di divisibilità di un polinomio e scomposizioni.

Se abbiamo due polinomi, in una sola variabile 𝑥, ovvero 𝐷(𝑥) e 𝛿(𝑥), se 𝐷(𝑥) è divisibile per 𝛿(𝑥), per il criterio di divisibilità, avremo:⁶𝐷(𝑥) ∶ 𝛿(𝑥) = 𝑄(𝑥).

Noti 𝜹(𝒙) e 𝑸(𝒙) possiamo fattorizzare 𝐷(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝛿(𝑥) (1).

7.2 Zeri di un polinomio.

Dato un polinomio 𝑃(𝑥), in un’unica variabile 𝑥 i suoi zeri sono i valori numerici che, assegnati ad 𝑥, lo annullano⁷.

Esempio: 𝑃(𝑥) = 𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥; un numero che lo annulla è 1.

Sostituendo 1 ad 𝑥 otteniamo: 1³+ 1²− 2 = 1 + 1 − 2 = 0.

In generale il numero di zeri di un polinomio 𝑃(𝑥) è al più uguale al grado del polinomio stesso.

7.2.1 Come determinare gli zeri di un polinomio

Dato un polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑎_𝑛𝑥^𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1+ 𝑎_𝑛−2𝑥^𝑛−2… 𝑎₁𝑥 + 𝑎₀ a coefficienti 𝑎_𝑖 interi, tutti i possibili zeri di questo polinomio possono essere cercati tra le frazioni di tipo ±^𝑚_𝑘, dove 𝑚 è un divisore di⁸ 𝑎₀ e 𝑘 è un divisore di 𝑎_𝑚.

Esempio.

𝑃(𝑥) = 𝑥³+ 𝑥²− 2𝑥 + 3 I divisori del termine noto 𝑎₀= 3, sono: 𝑚₁ = 3, 𝑚₂ = 1

I divisori del coefficiente del termine di grado massimo, 𝑎𝑚 = 1, sono 𝑘 = 1.

Gli zeri di 𝑃(𝑥), quindi, potrebbero essere: ±3; ±1.

Cerchiamo gli zeri sostituendo ciascuno dei quattro numeri in 𝑃(𝑥).

𝑃(−1) = −1 + 1 + 2 + 3 = 5, quindi (−1) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃(1) = 1 + 1 − 2 + 3 = 3 quindi (1) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃(−3) = −27 + 9 + 6 + 3 = 9 quindi (−3) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃(3) = 27 + 9 − 6 + 3 = 33 quindi (3) non è uno zero di 𝑃(𝑥).

Dunque 𝑃(𝑥) non ammette zeri.

Esempio.

6 Senza resto!

7 Rende il polinomio uguale a zero.

8 Ricordiamo che 𝑎0 viene chiamato termine noto di 𝑃(𝑥).

𝑃(𝑥) = 2𝑥³+ 𝑥²− 3 I divisori del termine noto 𝑎0= −3 sono: 𝑚₁ = 3, 𝑚₂= 1.

I divisori del coefficiente del termine di grado massimo, 𝑎𝑚 = 2, sono 𝑘₁= 2, 𝑘₂= 1 Gli zeri di 𝑃(𝑥), quindi, potrebbero essere: ±3; ±1; ±³₂; ±¹₂.

Cerchiamo gli zeri sostituendo ciascuno dei quattro numeri in 𝑃(𝑥).

𝑃(−1) = −2 + 1 − 3 = −4, quindi (−1) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃(1) = 2 + 1 − 3 = 0, quindi (𝟏) è uno zero di 𝑷(𝒙);

𝑃(3) = 54 + 9 − 3 = 60, quindi (3) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃(−3) = −54 + 9 − 3 = 48, quindi (−3) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃 (³

2) =²⁷

4 +⁹

4− 3 =^27+9−12

4 = 6, quindi (³

2) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃 (−³

2) = −²⁷

4 +⁹

4− 3 =^−27+9−12

4 = −¹⁵

2, quindi (−³₂) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃 (¹₂) =¹₄+¹₄− 3 =²⁻¹²₄ = −⁵₂, quindi (¹₂) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

𝑃 (−¹

2) = −¹

4+¹

4− 3 = −3, quindi (−¹

2) non è uno zero di 𝑃(𝑥);

7.2.2 Algoritmo di scomposizione mediante regola di Ruffini.

7.2.2.1 Individuazione dei divisori 𝛿(𝑥).

Dato un polinomio 𝑃(𝑥), se un numero 𝒂 è un suo zero, allora possiamo dire che il binomio (𝑥 − 𝑎) è un suo divisore, cioè uno dei 𝛿(𝑥) possibili.

7.2.2.2 Algoritmo di scomposizione di Ruffini vero e proprio.

Dato un polinomio 𝑃(𝑥) in un’unica variabile 𝑥, l’algoritmo di scomposizione di Ruffini prevede i seguenti passaggi.

• Trovo il coefficiente 𝑎_𝑚 del monomio di grado massimo ed il termine noto 𝑎0.

• Ricavo i possibili zeri del polinomio⁹ e successivamente controllo che siano tali.

• Trovato un certo numero di zeri di 𝑃(𝑥) ¹⁰: 𝒂𝟏, 𝒂_𝟐… … …., scrivo i corrispondenti binomi divisori di 𝑃(𝑥) : 𝛿₁ = (𝑥 − 𝑎₁); 𝛿₂= (𝑥 − 𝑎₂); … .

• Trovo il primo quoziente della divisione 𝑃(𝑥): 𝛿₁(𝑥) = 𝑄₁(𝑥), con la regola di Ruffini¹¹ e, se non vi sono altri divisori 𝛿𝑖(𝑥), fattorizzo 𝑃(𝑥) = 𝛿1(𝑥) ⋅ 𝑄₁(𝑥).

Se, invece, vi sono altri 𝛿𝑖(𝑥), prendo 𝑄1(𝑥) e lo divido per 𝛿2(𝑥), ottenendo un secondo quoziente 𝑄₂(𝑥) e proseguo dividendo i quozienti, finchè ho dei 𝛿_𝑖(𝑥).

• Trovati tutti i miei quozienti: 𝑄1(𝑥), 𝑄₂(𝑥) … , 𝑄_𝑖(𝑥), fattorizzo 𝑃(𝑥), ottenendo:

𝑃(𝑥) = 𝑄1(𝑥) ⋅ 𝑄₂(𝑥) ⋅ 𝑄₃(𝑥) ⋅ ⋯ ⋅ 𝑄_𝑖(𝑥) ⋅ 𝛿_𝑖(𝑥) Esempio

𝑃(𝑥) = 2𝑥³+ 𝑥²− 3

• Trovo che l’unico zero del polinomio è ¹²(1).

9 Vedi sottoparagrafo 7.2

10 Ricordiamo che il numero degli zeri possibile non può superare il grado massimo del polinomio 𝑃(𝑥).

11 Usiamo la regola di Ruffini perché i divisori sono del tipo (𝑥 − 𝑎)

12 Vedi esempio precedente.

• L’unico 𝛿(𝑥) è 𝛿(𝑥) = (𝑥 − 1).

• Applico la regola di Ruffini: