Esercizi di Calcolo delle Probabilit` a Foglio 7

Esercizi di Calcolo delle Probabilit` a Foglio 7

David Barbato

Esercizio 1. Siano Y e {X_n}_n∈N variabili aleatorie indipendenti e con dis- tribuzione esponenziale di parametro λ = 1. Siano inoltre:

W_n:= max{Y, X_n} ∀n ∈ N T_n := min{W₀, . . . , W_n} ∀n ∈ N (a) Calcolare la funzione di ripartizione di W_n.

(b) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a, quasi certa ed in L^p di {Tn}_n∈N

(c) La successione T_n `e tight?

Esercizio 2. Sia {X_n}_n∈N una successione di variabili aleatorie indipen- denti. Con distribuzione X_n ∼ Bern(¹_n). Siano inoltre assegnate le seguenti variabili aleatorie:

S_n :=

2n

X

k=n+1

X_n T := lim sup

n→∞

Sn

W := lim inf

n→∞ S_n

(a) Studiare la convergenze di {X_n}_n∈N in distribuzione, in probabilit`a, quasi certa ed in L^p

(b) Studiare la convergenza in distribuzione di {S_n}_n∈N. A quale distribuzione converge?

(c) Quali sono le distribuzioni di W e T ?

(d) Cosa si pu`o dire della convergenza in probabilit`a di S_n?

Esercizio 3. Sia {X_n}_n∈N una successione di variabili aleatorie limitate (es- iste M > 0 tale che per ogni n vale P (|X_n| < M ) = 1). Dimostrare che se {Xn}_n∈N converge ad una variabile aleatoria X in probabilit`a allora converge ad X anche in L^p.

Esercizio 4. Siano {X_n}_n∈N e {Y_n}_n∈N due successione di variabili aleato- rie indipendenti. Supponiamo che le X_n abbiamo distribuzione assegnata da

P (X_n = −1) = P (X_n = 1) = ¹₂ mentre le Y_n siano assolutamente continue con densit`a:

f_Yn(t) = ( ₁

2

√

t³ t > 1

0 altrimenti

siano infine assegnate le v.a. {Z_n}_n∈N e {T_n}_n∈N da:

Z_n:= max{X₁Y₁, . . . , X_nY_n} T_n := Z_n

n^α

(a) Calcolare la funzione di ripartizione delle variabili aleatorie Z_n. (b) Calcolare P (X_nY_n > tn^α), al variare di α > 0.

(c) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a, quasi certa ed in L^p di {T_n}_n∈N al variare di α > 0

Esercizio 5. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti, supponiamo che X abbia distribuzione esponenziale di parametro λ = 1 e Y sia una v.a.

discreta con distribuzione P (Y = 1) = P (Y = 2) = ¹₂, sia infine Z := X · Y . (a) Calcolare la funzione di densit`a di Z.

(b) Calcolare la funzione caratteristica di Z.

Esercizio 6. Siano {X_n}_n∈N e {Y_n}_n∈N due successioni di variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni: X_n ∼ P oisson(7) e Y_n ∼ Bern(¹_n) per ogni n. Siano inoltre assegnate le seguenti v.a.

Z_n := X_n· Y_n

W_n:= max{Z₁, . . . , Z_n} (a) La successione di v.a. {Z_n}_n∈N `e Tight?

(b) La successione di v.a. {W_n}_n∈N `e Tight?

Esercizio 7. Sia {X_n}_n∈N una successione di variabili aleatorie tali che:

n→∞lim E[Xn] = C e lim

n→∞V ar(X_n) = 0

Discutere della converga in distribuzione, in probabilit`a, in L<sup>p</sup> e quasi certa di {X<sub>n</sub>}<sub>n∈N</sub> per n che tende all’infinito. Fornire una dimostrazione quando si `e certi della convergenza e trovare un controesempio negli altri casi.

Esercizio 8. Siano {Xn}_n∈N e X variabili aleatorie a valori in Z. Di- mostrare le seguenti implicazioni

(a) Se Xn distr.

−−−→n→∞ X allora per ogni k ∈ Z si ha P (Xⁿ = k) −−−→

n→∞ P (X = k).

(b) Se per ogni k ∈ Z si ha P (Xn= k) −−−→

n→∞ P (X = k) allora X_n−−−→^distr.

n→∞ X.

Esercizio 9. Sia {X_n}_n∈Nuna successione di variabili aleatorie indipendenti con distribuzione uniforme sull’intervallo (0, 1). Siano inoltre assegnate per ogni n le seguenti variabili aleatorie:

Y_n:= X_n+ X_n+1 e Z_n:= X_n+1+ . . . + X_2n n

(a) Posto Sn := ^Y1+...+Y_n ⁿ si Studi la convergenza di {Sn}_n∈N in distribuzione, in probabilit`a, quasi certa ed in L^p.

(b) Studiare la convergenza di Z_nin distribuzione, in probabilit`a e quasi certa.

Esercizio 10. Sia I := {(n, j)|n, j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n}. Costruire un esempio di famiglia di varibili aleatorie indipendenti {X_n,j}_(n,j)∈I a valori nei numeri interi non negativi tali che:

1. lim_n→∞E[X^n,1+ . . . + X_n,n] = 1

2. lim_n→∞sup{P (X_n,1≥ 1), . . . , P (X_n,n ≥ 1)} = 0

3. Posto S_n := X_n,1+ . . . + X_n,n si abbia che {S_n}_n∈N non converge in distribuzione ad una variabile aleatoria poissoniana.

Esercizio 11. Siano {X_n}_n∈N, {Y_n}_n∈N, {Z_n}_n∈N variabili aleatorie con- giuntamente indipendenti con distribuzione Xn ∼ Yn ∼ U nif (0, 1), Zn ∼ Bern(¹₂) per ogni n ∈ N. Siano inoltre per ogni n ∈ N:

W_n:= min{X₁, . . . , X_n} Tn := max{Y1, . . . , Yn}

Rn :=

n

X

k=1

Wk

Q_n:=

n

X

k=1

(1 − Z_k) n

Sn:= 1 n

n

X

k=1

ZkWk+ (1 − Zk)Tk

(a) Studiare la convergenza in distribuzione, probabilit`a, quasi certa ed in L^p di {W_n}_n∈N.

(b) Studiare la convergenza in distribuzione, probabilit`a, quasi certa ed in L^p di {T_n}_n∈N.

(c) Calcolare P (W_n> _n¹).

(d) Dimostrare che: lim inf_n→∞E[nWn] > 0.

(e) Quanto vale: lim_n→∞E[Rn]?

(f ) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a e quasi certa di {Q_n}_n∈N.

(g)* Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a e quasi certa di {S_n}_n∈N.

Esercizio 12. Sia {X_n}_n∈N una successione di variabili aleatorie indipen- denti con distribuzione geometrica X_n ∼ Geo(1/n). Consideriamo inoltre per ogni n ∈ N le seguenti variabili:

Y_n:= ^X_nⁿ

T_n:= min{X₁, . . . , X_n} W_n := max{X₁, . . . , X_n} Z_n:= ^W_nⁿ

(a) Studiare la convergenza in distribuzione di {Y_n}_n∈N

(b) Studiare la convergenza in distribuzione, in probabilit`a, quasi certa ed in L^p di {T_n}_n∈N.

(c) Dimostrare che lim_n→∞W_n = +∞ quasi certamente.

(d) Assegnato Γ > 0, quanto vale il limite limn→∞P

_Xn

2

n > Γ



? (Limite sugli n pari.)

(e)* Studiare la convergenza di {Z_n}_n∈N.

Esercizio 13. Siano {X_n}_n∈N, {Y_n}_n∈N, {T_n}_n∈N e {W_n}_n∈N successioni di variabili aleatorie indipendenti con:

X_n∼ P oisson(n) Y_n∼ U nif (0, n) Sia Z_n:= ^X_Yⁿ

n

(a*) Dimostrare che se {T_n}_n∈Ne {W_n}_n∈Nconvergono in distribuzione rispet- tivamente alle v.a. T e W allora {T_nW_n}_n∈N converge in distribuzione a T W . (Questo quesito `e facoltativo e pu`o essere utilizzato per completare l’esercizio.)

(b) Calcolare la funzione di densit`a della variabile aleatoria S_n := _Yⁿ

n. (c) Studiare la convergenza in distribuzione di {Z_n}_n∈N. Indicare l’eventuale distribuzione limite.

SOLUZIONI

Esercizio 2 (a)

F

(t) =



 

 

0 t < 0

1 −

0 ≤ t < 1

1 1 ≤ t

n→∞

lim F

(t) =

( 0 t < 0 1 0 ≤ t

Quindi X

−−−→

n→∞

0 e poich´ e converge in distribuzione ad una costante allora vale anche X

−−−→

n→∞

0.

Se {X

}

converge quasi certamente deve convergere quasi certamente a zero. Sia  ∈ (0, 1) allora P (|X − 0| > ) =

. Poich´ e sono indipendenti e P

n

P (|X − 0| > ) = ∞ allora per il lemma di Borel-Cantelli si ha che {X

}

non pu` o convergere quasi certamente a zero.

Per quanto riguarda la convergenza in L

la cosa pi` u semplice da fare ` e calcolare esplicitamente il limite:

n→∞

lim kX

− 0k

= lim

n→∞

1 n = 0 dunque {X

}

converge a zero in L

per ogni p.

(b) Osserviamo innanzitutto che vale:

S

= X

S

= X

+ X

S

= X

+ X

+ X

S

= X

+ X

+ X

+ X

Allo scopo di utilizzare la legge dei piccoli numeri effettuiamo il seguente cambio di notazione:

Y

:= X

∀n ∈ N ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}

quindi avremmo che per ogni n le v.a. {Y

}

sono in- dipendenti ed hanno distribuzione Y

∼ Bern 

1 n+j



. Con le

nuove notazioni si ha:

S

= Y

S

= Y

+ Y

S

= Y

+ Y

+ Y

. . . .

S

= Y

+ . . . + Y

Le ipotesi per applicare la legge dei piccoli numeri si verificano tutte banalmente ad eccezione del limite:

n→∞

lim

n

X

j=1

P (Y

≥ 1) dobbiamo stimare le seguenti somme:

n

X

j=1

P (Y

≥ 1) =

n

X

j=1

1

n + j = 1

n + 1 + 1

n + 2 + . . . + 1 n + n stimiamo le somme con l’integrale di 1/x come segue

Z

1 x dx ≤

n

X

j=1

1 n + j ≤

Z

1 x dx integriamo

log  2n + 1 n + 1



≤

n

X

j=1

1

n + j ≤ log(2) e infine passiamo al limite

n→∞

lim

n

X

j=1

P (Y

≥ 1) = log(2)

Quindi {S

}

converge in distribuzione ad una poissoniana di

parametro λ := log(2)

(c) Consideriamo la sottosuccesione {S

}

con n

:= 2

. Per costruzione si tratta di una successione di v.a indipendenti che converge in distribuzione ad una v.a. S poissoniana. Per ogni m ∈ N vale

lim

k

P (S

= m) = P (S = m) > 0 Sommando in k si ottiene:

X

k

P (S

= m) = ∞

quindi per il lemma di borel cantelli si ha che per ogni m l’evento S

= m si verifica quasi certamente per infiniti k ∈ N. Per cui si ottiene

W = lim inf

n

S

= 0 q.c.

T = lim sup

n

S

= +∞ q.c.

(d) Supponiamo per assurdo che {S

}

converga in probabilit` a ad una v.a. S. Possiamo allora estrarre una sottosuccessione {S

}

che converge quasi certamente a S. Consideriamo la sottosottosuccesione:

T

:= S

∀k ∈ N

{T

}

` e una successione di v.a. indipendenti e con argomento analogo a quello usato nel quesito (c) si ha: lim inf

T

= 0 q.c. e lim sup

T

= +∞ q.c. questo contraddice l’ipotesi che {T

}

converge quasi certamente.

Esercizio 12

Le v.a. X

sono a valori interi positivi e per ogni k intero positivo vale:

P (X

= k) = 1 n

 1 − 1

n



P (X

> k) =



1 − 1 n



(a) Calcoliamo la funzione di ripartizione delle v.a. Y

. Per ogni t > 0 vale:

P (Y

≤ t) = P (X

≤ nt) = 1 − P (X

> nt) = 1 −

 1 − 1

n



n→∞

lim P (Y

≤ t) = 1 − e

dunque le v.a. {Y

}

convergono in distribuzione ad una vari- abile aleatoria esponenziale di parametro 1.

(b) La successione {T

}

` e positiva e non crescente quindi si- curamente converge. T

non pu` o assumere valori minori di 1 inoltre vale:

∞

X

n=1

P (X

= 1) =

∞

X

n=1

1

n = +∞

Per il secondo lemma di Borell Cantelli allora per quasi ogni ω ∈ Ω esiste n ∈ N tale che X

(ω) = 1 dunque {T

}

converge quasi certamente ad 1.

(c) La successione {T

}

` e monotona quindi quasi certamente converge ad una v.a. W in R. Occorre mostrare che W = +∞ quasi certamente. Per l’unicit` a del limite sar` a sufficiente mostrare che {T

}

converge a +∞ in probabilit` a. Dato M >

0

P (W

> M ) ≥ P (X

> M ) =

 1 − 1

n



−−−→

1

In realt` a con le disuguaglinze di sopra abbiamo mostrato anche qualcosa in pi` u. Abbiamo mostrato che W

` e maggiore di X

e che X

converge in probabilit` a a +∞.

(d)

n→∞

lim P

 X

2

n > Γ



= lim

m→∞

P  X

2m > Γ



= lim

m→∞

1−



1 − 1 m



−−−→

e

(e) Questo quesito ` e simile al quesito (c) dell’esercizio 5 del foglio 4.

Esercizio 13

E[X

] = V AR(X

) = n (b) Calcoliamo la funzione di ripartizione di S

P (S

≤ t) = P  n Y

≤ t



= P 

Y

≥ n t



F

(t) =

( 0 t < 1

1 −

1 ≤ t f

(t) =

( 0 t < 1

1

t²

1 ≤ t (c)

Z

= X

Y

= X

n · n

Y

sappiamo che la distribuzione di

n

= S

non dipende da n quindi converge in distribuzione, per la parte (a) ` e sufficiente studiare la convergenza in distribuzione di

. Sappiamo che:

E  X

n



= 1 V AR  X

n



= 1 n

allora in maniera analoga a quanto fatto nell’esercizio 7 si ha

X_n

n

converge in distribuzione ad 1. Quindi Z

converge in dis- tribuzione ad una variabile aleatoria Z con densit` a

f

(t) =

( 0 t < 1

1

t²

1 ≤ t