CORSO di LAUREA in SCIENZE BIOLOGICHE Seconda prova parziale di FISICA - 16 Giugno 2009

CORSO di LAUREA in SCIENZE BIOLOGICHE Seconda prova parziale di FISICA - 16 Giugno 2009

1) FLUIDI

Un corpo sferico di raggio R = 0.1 m contiene al suo interno una cavità vuota, di forma irregolare, pari ad 1/3 del suo volume. Il corpo completamente immerso in acqua si trova all’equilibrio.

a) Calcolare la spinta di Archimede e la densità del corpo;

b) Supponendo ora la densità del corpo pari alla densità dell’acqua, determinare modulo, direzione e verso della forza Fapp che si deve applicare per mantenere il corpo completamente immerso in acqua.

c) FACOLTATIVO: supponendo il corpo immerso a profondità d0 = 20 m dal pelo dell’acqua, calcolare la posizione e la velocità del corpo dopo un tempo pari a 2 s, da quando viene lasciato libero.

2) TERMODINAMICA

Una mole di un gas perfetto monoatomico compie un ciclo a partire dallo stato iniziale A, in cui la pressione pA = 10 atm e il volume VA = 4 l, costituito dalle seguenti trasformazioni : AB, isoterma, con pB = 4 atm e V B = 10 l; BC, isobara con VC = 2 le CA in cui la pressione aumenta linearmente con il volume fino a

tornare nello stato iniziale.

a) si disegni il ciclo in un diagramma p, V e si calcoli il lavoro compiuto dal gas nelle tre trasformazioni AB, BC e CA;

b) si calcoli la quantità di calore scambiata dal gas (specificando se è assorbito o ceduto dal gas) e la variazione di energia interna nelle trasformazioni AB, BC e CA .

c) FACOLTATIVO: si determini il rendimento del ciclo.

[N.B. R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol]

3) ELETTROSTATICA

Una carica positiva Q=4 10^-9 C è fissata nell’origine di un sistema d’assi (x,y). A d = 1m da O si trova una lamina piana, parallela all’asse y, uniformemente carica con densità di carica positiva σ= 2 10^-9 C/ m² . Determinare:

a) Il campo elettrostatico totale nel punto A= (d/2, 0).

b) In quale punto dell’asse x debba essere posta una carica q= 3 10^-12 C perchè risulti in equilibrio..

c) FACOLTATIVO: il lavoro che le forze elettrostatiche compiono quando la carica q si sposta dal punto A al punto B di coordinate ( ¾ d, 0).

[N.B. ε0 = 8.85 10^-12 C²/Nm² ]

A) RECUPERO CINEMATICA

Un corpo viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocità iniziale in modulo pari a v0 = 2 m/s e inclinazione θ=30° rispetto all’orizzontale. Determinare:

a) le componenti della velocità all’istante iniziale e nel punto di massima quota e b) il tempo impiegato per raggiungere il punto di massima quota.

B) RECUPERO DINAMICA

Un corpo di massa m = 1 kg sale con velocità costante lungo un piano liscio ed inclinato di θ=60°.

Determinare la forza Fapp di traino e la normale N al piano.

C) RECUPERO LAVORO-ENERGIA

Uno sciatore del peso di 50 kg, inizialmente fermo, scende lungo una pista irregolare e priva di attrito. Determinare la velocità di arrivo a fondo pista, dopo un dislivello di 30 m ed il lavoro fatto dalla forza di gravità.

SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine:

www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD) qinf.fisica.unimi.it/~paris (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)

1) SOLUZIONE FLUIDI

a) La spinta di Archimede agisce sul volume di fluido spostato, ossia sul volume di corpo immerso, mentre la forza peso agisce sulla massa del corpo (che in questo cosa occupa solo 2/3 del volume totale)

N

s m m m

kg

g R Vg

g m

F_{A f f f}

41

/ 8 . 9 )

10 3 (

10 4

3 4

2 3

3 1 3

3

3

≈

×

×

×

×

=

=

=

=

π

π ρ ρ

La densità del corpo si ricava dalla condizione di equilibrio:

3 3 3

3 1.5 10

2 10 3 2

3

3 ) 2

3 ( 1

m kg m

kg

g V g

V V Vg

mg F F

f C

C C

f g A

×

=

×

=

=

=

−

=

=

=

ρ ρ

ρ ρ

ρ

b) Nel caso in cui ρc = ρf la forza Fapp che garantisce la condizione di equilibrio deve soddisfare la relazione:

N s

m m m kg

g R

g V

V g Vg

F

F F F

F F F

F F F

f f

f f

app

g A app

g A app

g A app

7 . 13 / 8 . 9 10

) 10 3 (

4 3 1

3 4 3 1 3 1

3 2

0 0

3 3 3 3 1 3

≈

×

×

×

×

=

×

×

×

=

=

−

=

−

=

=

− +

−

= + +

π

ρ π ρ

ρ ρ

r r r

La forza Fapp è diretta verticalmente verso il basso con intensità 13.7 N.

c) Il corpo lasciato libero risente di una accelerazione a verso l’alto tale che:

/ 2

9 . 4 2 / 3 )

/( 2 3

/ 1 )

(F F m V g V g m s

a

F F ma

F F a m

f f g

A g A

g A

=

=

=

−

=

−

= +

=

ρ ρ

v r

Lo spazio percorso è quindi d = ½ g/2 t² = 9.8 m, da cui segue che la posizione finale è d0 – d = 10.2 m. La velocità è pari a v = a t = g/2 t = 9.8 m/s.

2) SOLUZIONE TERMODINAMICA a) La figura mostra il ciclo nel diagramma (p,V) .

C B

p A

V

La trasformazione AB è isoterma pertanto TA = TB = pAVA / nR = 486.1 K , inoltre LAB = nRTA ln ( VB/VA) = 3701.3J.

Poiché in un diagramma di questo tipo il Lavoro compiuto dal gas nelle trasformazioni è pari all’area delimitata dalle trasformazioni stesse e dall’asse V , tra lo stato iniziale e quello finale,

LBC = pB ( VC - VB ) = - 3232 J e LCA = (pA + pC ) ( VA - VC ) /2 = 1414 J.

b) Poiché AB è isoterma, QAB = LAB = 3701.3J ( assorbito) e ∆EAB = 0 J.

La temperatura TC = pCVC / nR = 97.2 K. QBC = ncp ( TC - TB ) = - 8079.4 J ( ceduto)

∆EBC = ncv ( TC - TB ) = - 4847.6 J.

∆E_CA = nc_v ( T_A - T_C ) = 4847.6 J , Q_CA = ∆E_CA + L _CA = 6261.6 J ( assorbito ) .

c) Il rendimento η = L ciclo / Q assorbito = 1883.3 / 9962.9 = 0.19

3) SOLUZIONE ELETTROSTATICA

a) Il campo creato dalla carica Q nel punto A è EQ = k Q/ ( d/2 ) ² i , quello creato dalla lamina è E σ = σ / 2εo ( -i ) . Il campo totale in A è la somma vettoriale dei due campi, sostituendo i valori numerici si ottiene E tot = 31 N/C ( i )

b) Il punto di equilibrio avrà posizione x < d, solo in questa regione infatti i due campi elettrostatici hanno verso opposto e possono pertanto dare risultante nulla. Affinché il punto sia di equilibrio i moduli dei due campi devono essere uguali , pertanto k Q/ x ² = σ / 2εo , da cui si ricava x = 0.56 m.

c) Il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica dovuta a Q , quando q si sposta da A fino a B vale LQ = U(A)- U(B) = (k Qq / ½ d ) – (k Qq / ¾ d ) = 72 10 ^-12 J ; il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica dovuta alla lamina è L σ = (- σq / 2εo ) ( ¼ d ) = - 84.7 10 ^-12 J. Il lavoro totale è la somma di L_Q e di L σ ed è -12.7 10 ^-12 J.

A) RECUPERO CINEMATICA Le componenti della velocità all’istante iniziale valgono:

s m s

m v

v

s m s

m v

v

oy ox

/ 0 . 2 1 / 1 2 sin

/ 7 . 2 1 / 3 2 cos

0 0

=

=

=

=

=

=

ϑ ϑ

Nel punto di massima quota la componente y della velocità è nulla, mentre la componente x è costante, quindi:

0 / 7 . 1

=

=

y x

v

s m v

La quota massima raggiunta dal corpo corrisponde al punto con velocità nulla in y, da cui si ricava che il tempo per raggiungere la quota massima è pari a:

s s m

s g m

v t

gt v v

y y y

1 . / 0 8 . 9

/ 0 . / 1

0

0 2 0

=

=

=

=

−

=

B) RECUPERO DINAMICA

Se un corpo si muove con velocità costante, la risultante delle forze applicate al corpo è nulla.

Nel caso in esame:

=0 + +

= g app

ris N F F

Fr r r w

Proiettando l’equazione sugli assi x (parallelo e concorde al moto lungo il piano) e y:

: cos 0

0 sin

:

=

−

= +

−

ϑ ϑ

F mg

x

asse _app

da cui segue:

N s

m kg

mg N

N s

m kg

mg F_app

9 . 2 4 / 1 8 . 9 1 cos

5 . 2 8 / 3 8 . 9 1 sin

2 2

=

×

=

=

≈

×

=

=

ϑ

ϑ

C) RECUPERO LAVORO- ENERGIA

Nel caso in esame, l’unica forze che compie lavoro è la forza peso che è conservativa. Per il principio di conservazione dell’energia meccanica:

f f

i

i mgh mv mgh

mv² + = ² + 2 1 2

1 ove v_i=0

da cui si ottiene:

v_f = 2g(h_i −h_f) = 2×9.8m/s²×30m=24.2m/s

Il lavoro della forza peso è uguale ed opposto alla variazione di energia potenziale gravitazionale:

L_g =−∆U =mg(h_i −h_f)=50kg×9.8m/s²×30m=14700J