CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prima prova in itinere di FISICA 28 Aprile 2009
1) Un calciatore lancia una palla dal suolo, con una angolo θ = 45° e velocità in modulo pari a v0= 15 m/s. Determinare:
a) le componenti x e y della velocità all’istante iniziale del lancio ed in corrispondenza al punto di massima quota y raggiunto dalla palla; la massima quota y raggiunta dalla palla;
b) il tempo impiegato dalla palla ad arrivare a terra e la massima distanza orizzontale x percorsa;
c) Facoltativo: le componenti x e y della velocità della palla nell’istante in cui tocca il suolo.
2) Una particella di massa m = 100 g è trattenuta mediante una fune sulla sommità di un piano inclinato di 30° rispetto al piano orizzontale, in equilibrio.
a) Si calcoli la tensione T della fune e la reazione normale al piano di appoggio, R, assumendo che il piano sia perfettamente liscio;
b) Supponendo che la fune venga tagliata e che il piano inclinato sia scabro, si determini il valore del coefficiente di attrito µ in modo tale che la particella scenda con accelerazione a di modulo 2 m/s2 .
c) Facoltativo: Calcolare, nelle ipotesi del punto b) il tempo che la particella impiega per raggiungere la base del piano inclinato, (punto A in figura), sapendo che si trova inizialmente ad un’altezza h di 1 m, rispetto alla base del piano inclinato.
A 1m
3) Uno sciatore di massa m = 70 kg scende lungo una pista perfettamente priva di attrito, partendo da fermo a quota h = 30 m. Al termine della pista prosegue lungo un tratto rettilineo, orizzontale e scabro con coefficiente di attrito dinamico µd = 0.5. Determinare:
a) la velocità con cui giunge al termine del tratto privo di attrito;
b) la distanza orizzontale d che deve percorrere prima di fermarsi completamente e l’energia dissipata.
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega ( AD); fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
SOLUZIONE ESERCIZIO 1 Le equazioni generali del moto del proiettile sono:
= +
=
x x
ox
v v
t v x x
0
0
−
=
− +
=
gt v v
gt t v y y
y y
oy
0
2
0 2
1
con
=
=
θ θ sin cos
0 0
0 0
v v
v v
y x
a) Le componenti iniziali del vettore velocità sono:
=
°
×
=
=
=
°
×
=
=
s m s
m v
v
s m s
m v
v
y x
/ 6 . 10 45 sin / 15 sin
/ 6 . 10 45 cos / 15 cos
0 0
0 0
θ θ
Alla quota massima raggiunta dal proiettile la componente y della velocità è nulla : vx = vx0 = 10.6 m/s
vy = 0
La quota massima viene quindi raggiunta dopo un tempo t dato da:
s s
m s
m g
v t
gt v y
08 . 1 ) / 8 . 9 /(
) / 6 . 10 ( /
sin 2
0 0
=
=
=
= θ ed è data da:
m s
m
gt gt
t gt gt t v y
y oy
7 . 5 ) 08 . 1 ( ) / 8 . 9 2( 1
2 1 2
) 1 2 (
1
2 2
2 2
2 0
=
×
=
=
−
=
− +
=
b) Il moto della palla è parabolico e quindi simmetrico. Il tempo tfinale impiegato per giungere a terra è quindi il doppio del tempo impiegato per raggiungere il punto di quota massima:
tfinale = 2xt = 2.16 s
a cui corrisponde una distanza orizzontale xfinale = vox tfinale = 10.6m/s x 2.16 s = 22.9 m
c) Facoltativo: Essendo la traiettoria parabolica simmetrica, il vettore velocità in corrispondenza al punto di atterraggio ha la stessa intensità del vettore velocità all’istante del lancio ed inclinazione pari a -45° rispetto all’asse x orizzontale. Le sue componenti valgono quindi:
(vx)finale = v0x = 10.6 m/s (vy)finale = -v0y = -10.6 m/s
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) Scelto il semiasse positivo x parallelo al piano inclinato e diretto verso il basso, ed il semiasse positivo y perpendicolare al piano inclinato e diretto verso l’alto, le componenti della forza risultante F agente sulla particella sono:
Fx = mg sen 30° - T ed Fy = N - mg cos 30° . Poichè la particella è in equilibrio, entrambe le componenti della forza sono nulle. Si ha quindi:
mg sen 30° - T = 0 R - mg cos 30° = 0
Sostituendo i valori numerici si ricava T= 0.49 N (-i ) ed R= 0.85 N (j)
b) La particella è soggetta all’azione della forza peso e della forza di attrito. Inoltre in questo caso Fx = ma dove Fx = mg sen 30° - µ mg cos 30° . Si ricava quindi :
µ = ( mg sen 30° - ma ) / mg cos 30°
Sostituendo i valori numerici si ha µ = 0.34
Facoltativo:
c) La lunghezza del tratto che la particella percorre lungo il piano inclinato per raggiungere la base è ∆x = h / sen 30° = 2 m. Il moto della particella lungo il piano inclinato è rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione a di modulo 2 m/s 2. Si ha quindi ∆x = ½ at2 + vo t dove la velocità iniziale vo è nulla. Il tempo che il corpo impiega a raggiungere la base del piano inclinato è pertanto t = (2 ∆x / a) ½. Sostituendo i valori numerici si ha quindi t = 1.4 s.
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Durante la discesa lungo la pista priva di attrito vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:
Emecc,i = Emecc,f
Ki +Ui = Kf + Uf
mgh = ½ mv2
da cui si deduce che la velocità finale, alla base della pista, è pari a
v= 2gh= 2x(9.8m/s2)x30m =24.2m/s
b) Lungo il tratto orizzontale scabro, la forza di attrito dinamico compie lavoro dissipando energia fino ad arrestare completamente lo sciatore.
L’energia dissipata finale è pari alla energia cinetica iniziale dello sciatore, ossia:
Edissipata = ½ mv2 = mgh = 70 kg x 9.8 m/s2 x 30 m = 20580 J
Dal il teorema lavoro-energia cinetica di ricava poi la distanza massima orizzontale d percorsa:
Latt = -fd δ = ∆K = 0 – 1/2 m v2 µd mg d = 1/2 mv2
d = (½ v2) /(µd g) = 59.8 m
