Esercizio 1. Studiare l’andamento qualitativo della soluzione del Problema di Cauchy {

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova in itinere del 5/6/2013

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Studiare l’andamento qualitativo della soluzione del Problema di Cauchy {

y

= t |y|(2 − y), y(0) = 1.

Esercizio 2. (i) Determinare tutte le soluzioni y

dell’equazione differenziale y

+ 2ay

+ a

y = x,

al variare del parametro a ∈ R.

(ii) Dimostrare che se a ≥ 0 e z `e soluzione di

 



 

z

+ 2az

+ a

z = x, z(0) = 0,

z

(0) = 0, allora z soddisfa la seguente disuguaglianza

z(t) ≥ 1 t

∫

z(s)ds, t > 0.

[Suggerimento: si moltiplichi l’equazione per z

(t)...]

Esercizio 3. Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗ r(u, v) = (u, (1 − u) sin v, (1 − u) cos v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

` e una superficie regolare. Scrivere l’equazione cartesiana e calcolare il flusso del campo vettoriale

F = (x ⃗

+ y, y, z) attraverso la superficie Σ.

Esercizio 4. Calcolare l’integrale ∫

R

sin x x

+ x + 1 dx.

Esercizio 5. Sia f il prolungamento periodico su R della funzione { −2, −π ≤ x < 0,

2, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scrivere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑

1 (2n + 1)

,

∑

( −1)

2n + 1 .