Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 3/7/2012

A.A. 2011/2012 Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y

= t

y(2 − y), y(0) = 1.

(b) Risolvere il problema stesso e verificare i risultati ottenuti nel punto (a).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ⃗ r) di equazione parametrica

⃗

r(u, v) = (u cos v, u

, u sin v), (u, v) ∈ [0, 2] × [0, 2π],

` e una superficie regolare, scriverne l’equazione cartesiana e calcolare il piano tangente alla superficie nel punto P ≡ (1, 1, 0).

Problema 3: Calcolare ∫

0

2 + sin(x) 2 + cos(x) dx.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione { −1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit` a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∑

1 (2n + 1)

,

∑

( −1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange.

Tema 2: Formula integrale di Cauchy.