L1. Distribuzione standardizzata

Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali

Modulo IV: Inferenza Statistica

L1. Distribuzione standardizzata

Prof. Carlo Meneghini

dip. di Scienze Università Roma Tre

Distribuzione Normale e Standard

µ

σ

x 1

2 µ = 13

σ = 5

σ

z 1

2

Distribuzione Normale Standard

z 1

2

µ σ

µ = 0 σ = 1

Una variabile che segue una distribuzione Normale La distribuzione Normale Standard ha valore atteso

µ=0

e deviazione standard

σ=1

Distribuzione Normale e Standard

x 1

2

z 1

2

x 1

2

z 1

2

Standardizzazione

̅ ̅

1

Normale t-Student

Distribuzione Normale

z 1

2

% 5 . 2

~ ) 2 ( Z < − P

% 1 . 0

~ ) 3 ( Z >

P

% 16

~ ) 1 ( Z < −

P C

= (-2 , 2 )

C

= (-3 , 3 )

P(-1 < Z < 1)~68%

P(-2 < Z < 2)~95%

P(-3 < Z < 3)~99.8%

Distribuzione Normale

z 1

2 x 1

2

P(µ- 1 σ < X < µ+ 1 σ)~68%

P(µ- 2σ < X < µ+2σ)~95%

P(µ- 3 σ < X< µ+ 3 σ)~99.8%

P(-1 < Z < 1)~68%

P(-2 < Z < 2)~95%

P(-3 < Z < 3)~99.8%

P(Z) P(X)

Esempio

L’indice di massa corporea IMC (o BMC: body mass index) si calcola come rapporto tra la massa, M (kg) e il quadrato dell’altezza h (m) di una persona: IMC = M/h².

Un’indagine effettuata su un gruppo di 8 studenti del corso di laurea in biologia fornisce il valore medio IMC_m=25.8 (kg m^-2). La dev.st della distribuzione di IMC è tipicamente σ_IMC= 4.3 (kg m^-2).

Indicando con popolazione: gli studenti del corso di laurea in biologia calcola:

a. un intervallo di confidenza al 95% per il valore vero del BMI della popolazione

b. Il valore limite IMC_limche sia maggiore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 2.5%

c. Il valore limite IMC_limche sia minore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 5%

L’indice di massa corporea IMC (o BMC: body mass index) si calcola come rapporto tra la massa, M (kg) e il quadrato dell’altezza h (m) di una persona: IMC = M/h².

Un’indagine effettuata su un gruppo di 8 studenti del corso di laurea in biologia fornisce il valore medio IMC_m=25.8 (kg m^-2). La dev.st della distribuzione di IMC è tipicamente σ_IMC= 4.3 (kg m^-2).

Indicando con popolazione: gli studenti del corso di laurea in biologia calcola:

a. un intervallo di confidenza al 95% per il valore vero del BMI della popolazione

b. Il valore limite IMC_limche sia maggiore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 2.5%

c. Il valore limite IMC_limche sia minore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 5%

C

(X) = (µ-2σ

< X < µ+2σ

)

p(Z) C

(Z)= (-2 < Z < 2 )

N 1.52 kg

a)

C

(X) = (22.8 < X < 28.8 ) kg

Esempio

IMC_m=25.8 (kg m^-2) σ_IMC= 4.3 (kg m^-2) σ_med= 1.5 (kg m^-2) IMC_m=25.8 (kg m^-2) σ_IMC= 4.3 (kg m^-2) σ_med= 1.5 (kg m^-2)

P(Z<-2) = 2.5%

b. calcola il valore limite IMC_lim che sia

maggiore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 2.5%

b. calcola il valore limite IMC_lim che sia

maggiore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 2.5%

P(Z<0)

P(Z<-2)

P(-2 < Z < 2)~95%

Z

= -2

P(1<Z<2)

Esempio

IMC_m=25.8 (kg m^-2) σ_IMC= 4.3 (kg m^-2) σ_med= 1.5 (kg m^-2) IMC_m=25.8 (kg m^-2) σ_IMC= 4.3 (kg m^-2) σ_med= 1.5 (kg m^-2)

P(Z <-2) = 2.5%

b. calcola il valore limite IMC_lim che sia

maggiore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 2.5%

b. calcola il valore limite IMC_lim che sia

maggiore del valore vero della popolazione con probabilità inferiore al 2.5%

Il rischio di sbagliare affermando che la popolazione da cui proviene il

campione ha un BMI inferiore a 22.8 kg/m

è minore del 2.5%

P(Z<0)

P(Z<-2)

BMI

25.8 - 2

1.5 22.8 kg m

P(X<25.8) P(X<22.8)

Z BMI_lim

z

=-2

Esempio

IMC_m=25.8 (kg m^-2) σ_IMC= 4.3 (kg m^-2) σ_med= 1.5 (kg m^-2) IMC_m=25.8 (kg m^-2)

σ_IMC= 4.3 (kg m^-2) σ_med= 1.5 (kg m^-2)

c. Il valore limite IMC_limche sia minore del valore vero della popolazione con

probabilità inferiore al 5%

c. Il valore limite IMC_limche sia minore del valore vero della popolazione con

probabilità inferiore al 5%

Z_lim

Funzione diretta: data z calcola P(Z<z)

Funzione inversa: data P(Z<z) calcola z BMI

25.8 1.64

1.5

28.3 kg m-2

Funzioni dirette e inverse

DISTRIB.NORM.N(x_o;media;dev.st;1) => P(X<x_o) DISTRIB.NORM(x_o;media;dev.st;1) => P(X<x_o) DISTRIB.NORM.ST.N(z_o;1) => P(Z<z_o)

DISTRIB.NORM.ST (z_o;1) => P(Z<z_o)

INV.NORM.N(p;media;dev.st) => x_o t.c. P(X< x_o) = p INV.NORM(p;media;dev.st) => x_o t.c. P(X< x_o) = p INV.NORM.S (p) => z_o t.c. P(X< z_o) = p

INV.NORM.ST (p) => z_o t.c. P(X< z_o) = p

Esempio II

L'indice di massa corporea IMC (o BMC: body mass index) si calcola come rapporto tra la massa, M (kg) e il quadrato dell’altezza h(m) di una persona: IMC = M/h².

Un’indagine effettuata su un gruppo di 8 studenti del corso di laurea in biologia fornisce il valore medio IMC_m=25.8 (kg m^-2). La dev.st stimata distribuzione di IMC è s_IMC= 4.3 (kg m^-2).

Indicando con popolazione: gli studenti del corso di laurea in biologia calcola:

a. un intervallo di confidenza al 95% per il valore vero del BMI della popolazione

b. La probabilità che il campione provenga da una popolazione con BMI minore di 23 (kg m^-2) c. La probabilità che il campione provenga da una popolazione con BMI maggiore di 28 (kg m^-2) L'indice di massa corporea IMC (o BMC: body mass index) si calcola come rapporto tra la massa, M (kg) e il quadrato dell’altezza h(m) di una persona: IMC = M/h².

Un’indagine effettuata su un gruppo di 8 studenti del corso di laurea in biologia fornisce il valore medio IMC_m=25.8 (kg m^-2). La dev.st stimata distribuzione di IMC è s_IMC= 4.3 (kg m^-2).

Indicando con popolazione: gli studenti del corso di laurea in biologia calcola:

a. un intervallo di confidenza al 95% per il valore vero del BMI della popolazione

b. La probabilità che il campione provenga da una popolazione con BMI minore di 23 (kg m^-2) c. La probabilità che il campione provenga da una popolazione con BMI maggiore di 28 (kg m^-2)

t-Student

Se la dev.st è stimata dal campione i dati seguono

una distribuzione t-

Esempio

a. un intervallo di confidenza al 95% per il valore vero del BMI della popolazione a. un intervallo di confidenza al 95% per il valore vero del BMI della popolazione

Funzione Excel:

INV.T.2T(p;ν) = INV.T.2T(0.05;7) = 2.84 Data p calcola t_limtale che:

0.95 γ

IMC_m =25.8 (kg m^-2) s_IMC = 4.3 (kg m^-2) N = 8

σ_med= 1.5 (kg m^-2) IMC_m =25.8 (kg m^-2) s_IMC = 4.3 (kg m^-2) N = 8

σ_med= 1.5 (kg m^-2)

t

-t

0.95

0.975

0.025

nota: la funzione INV.T.2T(p;ν) calcola la probabilità associata alle code della distribuzione, quindi p=1-γ

̅̅

C_95%(t)= (-2.84< t₇< 2.84)

C

(X) = (21.5 < X < 30.1 ) kg

% ̅ . _̅ ̅ . _̅

Esempio

b. La probabilità che il campione provenga da una popolazione con BMI minore di 23 (kg m^-2) b. La probabilità che il campione provenga da una popolazione con BMI minore di 23 (kg m^-2) IMC_m =25.8 (kg m^-2)

s_IMC = 4.3 (kg m^-2) N = 8

σ_med= 1.5 (kg m^-2) IMC_m =25.8 (kg m^-2) s_IMC = 4.3 (kg m^-2) N = 8

σ_med= 1.5 (kg m^-2)

̅̅

23 25.8

1.5 1.87

DISTRIB.T.DS(t;ν) = solo valori positivi di t

DISTRIB.T.2T(t;ν) = + = 2 solo valori positivi di t

DISTRIB.T.N(t;ν;1) =

Nota

DISTRIB.T.DS(t;ν) =

calcola la probabilità associata ad una sola coda della distribuzione t_ν. Richiede valori positivi di t.

DISTRIB.T.2T(t;ν) = + = 2

calcola la probabilità associata ad una sola coda della distribuzione t_ν. Richiede valori positivi di t.

Nota: per simmetria si ha: