DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica
TEOREMI DEL CALCOLO
DIFFERENZIALE
Ipotesi Tesi 1. f (x) continua in a;b
[ ]
2. f (x) è derivabile in a;b
] [
3. f (a) = f (b)
∃c ∈ a;b ] [ : f '(c) = 0
Ipotesi Tesi
1. f (x) continua in a;b
[ ]
2. f (x) è derivabile in a;b
] [ ∃c ∈ a;b ] [ : f (b) − f (a)
b − a = f '(c)
Diamo
un’interpretazione geometrica del
teorema.
Anche per il teorema di Lagrange valgono osservazioni analoghe a quelle del teorema di Rolle.
Ipotesi Tesi 1. f (x) continua in a;b
[ ]
2. f '(x) = 0 in a;b
] [ f (x) = k in a;b ] [
Ipotesi Tesi 1. f (x) e g(x) continue in a;b
[ ]
2. f '(x) = g'(x) in a;b
] [ f (x) − g(x) = k in a;b ] [
Se f’(x)=g’(x), allora le rette r ed s sono
parallele.
Riportiamo la definizione di funzione crescente e decrescente.
Vale il seguente teorema:
1. Ipotesi 1. Tesi 1. f (x) continua in I
2. f '(x) > 0 ∀x int erno a I
f (x) crescente in I
2. Ipotesi 2. Tesi
1. f (x) continua in I
2. f '(x) < 0 ∀x int erno a I
f (x) decrescente in I
IMPORTANTE
Questo teorema consente di determinare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente
attraverso lo studio del segno della sua derivata prima.
Ipotesi Tesi
1. f (x) e g(x) continue in a;b
[ ]
2. f (x) e g(x) derivabili in a;b
] [
3. g'(x) ≠ 0 ∀x ∈ a;b
] [
∃c ∈ a;b ] [ : f (b) − f (a)
g(b) − g(a) = f '(c)
g'(x)
IMPORTANTE
Questo teorema permette di calcolare limiti di quozienti di funzioni nelle forme
indeterminate 0/0 e ∞/∞. La regola si può estendere per cercare di calcolare
limiti di funzioni appartenenti ad altre
forme indeterminate.
Ipotesi Tesi
1. f (x) e g(x) definite e derivabili in I − c { }
2. g'(x) ≠ 0 ∀x ∈ (I − c { } )
3. lim
x→c
f (x) = lim
x→c
g(x) = 0 4. ∃lim
x→c
f '(x) g'(x)
1. ∃lim
x→c
f (x) g(x) 2. lim
x→c
f (x)
g(x) = lim
x→c
f '(x)
g'(x)
OSSERVAZIONE
APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI DE L’HOSPITAL AD ALTRE FORME INDETERMINATE
