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Testo completo

(1)FORMULARIO Matematica RICHIAMI DI ALGEBRA LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Un’equazione di secondo grado è riconducibile alla forma normale: ax 2 bx c 0, a 0 c se 0: impossibile a c 2 2 ● b 0, c 0 (equazione pura) → ax c 0 → x a c se 0 → x1,2 a b 2 ● c 0, b 0 (equazione spuria) → ax bx 0 → x(ax b) 0 → x1 0, x2 a 2 ● b c 0 (equazione monomia) → ax 0 → x1 x2 0 2 ● b 0, c 0 (equazione completa). Il discriminante è b 4ac.. 冪莦莦a莦c. Δ = b2 − 4ac. ●. Δ>0. Δ=0. Δ<0. due soluzioni reali distinte. due soluzioni reali coincidenti. − b ± √⎯Δ x1,2 = ————— 2a. non esistono soluzioni reali. x1 = x2 = 0. 冪莦莦. b. 2 4 Formula ridotta: b pari → x1,2 . a. LE DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO. Per risolvere le disequazioni ax2 bx c 0 e ax2 bx c 0 (con a 0), si considera l’equazione associata ax 2 bx c 0. Se 0, la disequazione: 2 ● ax bx c 0 è verificata dai valori esterni all’intervallo individuato dalle radici dell’equazione associata; 2 ● ax bx c 0 è verificata dai valori interni. Se 0, la disequazione: 2 ● ax bx c 0 è sempre verificata tranne che per il valore della radice doppia dell’equazione associata; 2 ● ax bx c 0 non è mai verificata. Se 0, la disequazione: 2 ● ax bx c 0 è sempre verificata; 2 ● ax bx c 0 non è mai verificata. a>0. Δ>0. Δ=0. Δ<0. ax + bx + c > 0. ax + bx + c > 0. ax + bx + c > 0. 2. x1. x2. ax2 + bx + c < 0. 1. 2. x1 = x2. 2.

(2) LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON IL VALORE ASSOLUTO. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. se k 0: non ha soluzione 兩A(x) 兩 k se k 0: A(x) k se k 0: k A(x) k → 兩A(x) 兩 k. k 冦 A(x) A(x) k. se k

(3) 0: non ha soluzione se k 0: A(x) k ∨ A(x) k 兩A(x) 兩 k. se k 0: A(x) 0 se k 0: sempre verificata. LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI. se n è dispari: A(x) [B(x)]n 兹A 苶(x 苶)苶 B(x) n. se n è pari:. 冦. A(x) 0 B(x) 0 A(x) [B(x) ]n. se n è dispari: A(x) [B(x)]n 兹A 苶(x 苶)苶 B(x) n. se n è pari:. 冦. A(x) 0 B(x) 0 A(x) [B(x) ]n. se n è dispari: A(x) [B(x)]n 兹A 苶(x 苶)苶 B(x) n. se n è pari:. 0 B(x) 0 ∨ 冦 B(x) A(x) 0 冦 A(x) [B(x) ]. LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE ●. a a a. ●. a m a n a mn con a 0. ●. (a m) n a m n. ●. a m b m (a b) m. ●. am bm (a b)m con b 0 1 an con a 0 an. ●. m. n. mn. n. I PRODOTTI NOTEVOLI E LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI ●. (A B)(A B) A2 B2. ●. (A B)2 A2 2AB B2. ●. (A B C )2 A2 B2 C 2 2AB 2AC 2BC. ●. (A B)3 A3 3A2B 3AB2 B3. ●. A3 B3 (A B)(A2 AB B2). 2.

(4) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. LA FUNZIONE ESPONENZIALE E LA FUNZIONE LOGARITMO La funzione esponenziale y. y. y. y = ax (0 < a < 1). y = ax (a > 1) 1. y = ax (a = 1). 1 x. O. 1 x. O. a. • C.E.: ; + • codominio: ; • funzione crescente in ; • corrispondenza biunivoca; • ax → 0 per x → − ; • ax → + per x → + .. x. O. c.• C.E.: ; • codominio: {1}; • funzione costante; • funzione non iniettiva.. b. • C.E.: ; + • codominio: ; • funzione decrescente in ; • corrispondenza biunivoca; • ax → 0 per x → + ; • ax → + per x → − .. La funzione logaritmo y. Logaritmo di un prodotto log a (b c) log a b log a c, (b 0, c 0). y y = logax (a > 1). O. x. 1. O. Logaritmo di un quoziente b log a log a b log a c, c. x. 1. Logaritmo di una potenza log a bn n log a b, (b 0). y = logax (0 < a < 1) +. a.• C.E.: ; • codominio: ; + • funzione crescente in ; • corrispondenza biunivoca; • loga x → − per x → 0; • loga x → + per x → + .. +. b. • C.E.: ; • codominio: ; + • funzione decrescente in ; • corrispondenza biunivoca; • loga x → + per x → 0; • loga x → − per x → + .. Cambiamento di base nei logaritmi log c b log a b a 0, b 0, c 0 log c a a 1, c 1. Disequazioni esponenziali. a1. y. t z. at az. y= a (a > 1). y=a (0 < a < 1). x. az O z t. 3. Disequazioni logaritmiche. 0a1. at az ⇔. ⇔. a1 y. y. logab. x. O x. b. loga b loga c ⇔ b c y. y = loga x (a > 1). x. az t z O. 0a1. loga b loga c ⇔ b c. t z. at. at. (b 0, c 0). logac c. y = logax (0 < a < 1). c x. O. logac. b logab x.

(5) RICHIAMI DI GEOMETRIA. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. I punti notevoli di un triangolo circocentro ⵒⵒ. ⵒ. mediane. incentro ⵒ. altezze o loro prolungamenti. bisettrici L’incentro è il centro della circonferenza inscritta.. ortocentro. baricentro. assi Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta.. Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell’altra. I criteri di congruenza dei triangoli. 1° criterio A. 2° criterio B. B. 3° criterio B. C. A'. B'. B'. C. A. A C'. A'. A'. B' AB ≅ A'B' BC ≅ B'C' ˆ Bˆ ≅ B'. C. AC ≅ A'C' ˆ ≅ A' ˆ A ˆ Cˆ ≅ C'. ABC ≅ A'B'C'. C'. C'. AB ≅ A'B' BC ≅ B'C' AC ≅ A'C'. ABC ≅ A'B'C'. ABC ≅ A'B'C'. Il teorema di Talete. Teorema di Talete. A. Teorema della bisettrice di un angolo interno di un triangolo. A'. B. C. r. B'. C' t. C. E. s. A. B BE : CE = AB : AC. r // s // t ⇒ AB : BC = A'B' : B'C'. Conseguenza del teorema di Talete C AM ≅ MB. N. CN ≅ NB. A. M. MN. AC 1 AC MN ≅ — 2. B. 4.

(6) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015 L’equivalenza e la similitudine. Il teorema di Pitagora. I teoremi di Euclide. p1. c2. c1. Primo teorema di Euclide. c2. c1. i : c1 = c1 : p1 i : c2 = c2 : p2 p2. i. c12 + c22 = i 2. i. Secondo teorema di Euclide. p1 : h = h : p2. h p1. p2. Relazioni fra i lati di triangoli notevoli. Formula di Erone C. ⎯2 √. 45°. ⎯3 √ —— 2. 30°. 45°. . ⎯ (p − b) (p − c) p (p − √ a). √⎯. √⎯ a. a+b+c con p = ———— 2. 60°. √⎯ √⎯. =. B. √⎯ — 2. Primo criterio. Secondo criterio. C'. C. C' ⵒ. C. √⎯. Terzo criterio. C'. C. ⵒ. ⵒ. B. ˆ ≅ A' ˆ A. ABC. B. B'. A. A. A' ˆ ≅ B' ˆ B. ˆ ≅ A' ˆ A. ≈ A'B'C'. B. B' A. A' AB : A'B' = AC : A'C' ABC. A. c. √⎯√⎯ √⎯ √⎯ Criteri di similitudine dei triangoli. √⎯. b. B' A'. AB : A'B' = AC : A'C' = BC : B'C'. ≈ A'B'C'. ABC. ≈ A'B'C'. La similitudine nella circonferenza Teorema delle corde secanti. Teorema delle secanti P. P. Teorema della secante e della tangente A. A. D B. E. C. C. E A. C AE : CE = ED : EB. 5. F. PF : PE = PA : PC. F. PF : PA = PA : PC.

(7) La circonferenza. I teoremi sulle corde A. B. K. C. H. Angoli alla circonferenza e angoli al centro. A. B. ⵒ. O. V. V. O O. ⵒ. C D. O B. D. OH ≅ OK. B. AB ≅ CD A D. A D. H C D. A. Ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro corrispondente. AH ≅ HB. O. Tangente a una circonferenza da un punto esterno. B. P a. H C. ˆ ≅ COB ˆ AOC. O. O A. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. A. B. DC AB O ∈ DC. H C D. H C. O B. B. b Se da un punto esterno a una circonferenza si conducono le rette tangenti, i segmenti di tangente risultano congruenti. ២ ២ AC ≅ CB. O A. O. P. A. B. La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio. α O. r. . a. Misure della circonferenza (c) e dell’arco di angolo al centro α ().. r. α. c = 2πr α = —— πr 180. r = — p. O. a. Raggio del cerchio inscritto nel triangolo.. r. O. C = πr2 1 α S = —— πr2 = — r 2 360. b. Misure dell’area del cerchio (C) e dell’area del settore circolare di angolo al centro α (S).. c. b O. R. abc R = —— 4. a. b. Raggio del cerchio circoscritto al triangolo.. 6.

(8) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. Formule di geometria solida PRISMA RETTO. PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO. A = 2p • h At = A + 2Ab V = Ab • h. Ab = ab A = 2 (ac + bc) At = 2(ac + ab + bc) V=a•b•c d = a2 + b2 + c2. c d. h. CUBO. d. b. s. a. PIRAMIDE RETTA. a. h. A = (p + p') • a At = A + Ab + A'b 1 h (A + A' + V=— b b 3 + Ab • A'b). h a. CONO. h. CILINDRO. TRONCO DI PIRAMIDE RETTA. A = p • a A t = A + A b 1 A •h V=— 3 b. a. h. Ab = πr2 A = 2 πr • h At = 2πr (h + r) V = πr2 • h. h r. SFERA. TRONCO DI CONO Ab = πr2 A = πra At = πr (a + r) 1 πr2 • h V=— 3. Ab = s2 At = 6 s2 V = s3 d=s 3. Ab = πr2 A'b = πr'2 A = πa (r + r') a At = A + Ab + A'b 1 πh (r2 + r'2 + r • r') V=— 3. A = 4πr2 4 πr3 V=— 3. r. r. CALOTTA E ZONA SFERICA. SEGMENTO SFERICO A DUE BASI. SEGMENTO SFERICO A UNA BASE. calotta h. zona R. h r1. r. R. R h. r2 S = 2πRh FUSO SFERICO. V = –4– π –h– 3+πr12 –h– +πr22 –h– 3 2 2 2 SPICCHIO SFERICO. α. α R. V = –4– π –h– 3+πr 2 –h– = –1– πh 2 3R–h 2 3 3 2 ANELLO SFERICO. a. h. R. ° Sf = 2 R2 αrad = ––α––– πR 2 90° α rad : ampiezza del diedro in radianti α° : ampiezza del diedro in gradi. 7. Vs = –2– α radR 3= –––α––°–– πR 3 270° 3. Va= –1– πa 2h 6.

(9) GEOMETRIA ANALITICA. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. 2 2 La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) è data da: A 苶B 苶兹(x 苶苶 x苶苶苶y (苶苶 y苶 B 苶苶 A)苶 B 苶苶 A)苶.. x x 2. yA yB yM . 2. A B Il punto medio del segmento AB è M(xM; yM) con: xM ,. Il baricentro di un triangolo di vertici A(xA ; yA), B(xB ; yB), C(xC ; yC ) è G(xG ; yG) con: xA xB xC yA yB yC xG , yG . 3 3. 兩ax0 by0 c兩 . La distanza di un punto P(x 0; y0) da una retta r di equazione ax by c 0 è uguale a: d 兹a 苶2苶苶 b2苶 Il piano cartesiano e la retta. L’equazione di una retta y. y. y y2. x=h. x=0 y=k. y1. A(0;k). P2 P1. y=0 x. O. O. x. A(h;0). O. x1. x2. x. y–y1 x–x1 ––––– y2–y1 = ––––– x2–x1 a. Retta parallela all’asse x.. b. Retta parallela all’asse y.. Coefficiente angolare. Rette parallele. y2 − y1 m = ——— x2 − x1. y2 − y1. P(x1;y1). Rette perpendicolari. y = mx + q. y. Q(x2;y2). y. c. Retta non parallela agli assi passante per i punti P1(x1; y1) e P2(x2; y2).. y = mx + q. y. y = mx + q'. x2 − x1 x. O O. x 1 x + q' y=− — m. O. x. I fasci di rette y. y. r P. x. a. Fascio proprio di rette per un punto P: insieme di tutte le rette del piano passanti per P. P è detto centro del fascio.. x. b. Fascio improprio di rette parallele a una retta r.. 8.

(10) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015 Le coniche. La parabola con asse parallelo all’asse y y. y = ax2 + bx + c (a 0) b asse: x = − — 2a. (. x = ay2 + by + c. y. ). b asse: y = − — 2a 1− Δ − —) b F (——; 2a 4a Δ x −— 4a Δ direttrice: x = − 1+ —— 4a. b −— 2a. ). O. 1+Δ direttrice: y = − —— 4a O. se a 0 la concavità è rivolta nel verso opposto. se a 0 la concavità è rivolta verso il basso. La circonferenza. L’ellisse. (x – α)2 + (y – β)2 = r2. y. (a 0). V. 1−Δ b —— F − —; 2a 4a Δ b −— V − —; 2a 4a. (. La parabola con asse parallelo all’asse x. x2 y2 —2 + —2 = 1, a > b a b P. y B2(0 ; b). P. O. A1(−a ; 0). PC = r. C(α; β). A2(a ; 0) F1(−c ; 0). O. F2(c ; 0). x. x B1(0 ; −b). L’iperbole. La funzione omografica ax + b y = ——— cx + d. x2 y2 —2 − —2 = 1, a < c a b b x y=— a. y. b x y=−— a B2(0 ; b) F1(−c ; 0). y. d x=−— c. F2(c ; 0) P O. x. a y=— c x. O A2(a ; 0). A1(−a ; 0) B1(0 ; −b). IL SEGMENTO PARABOLICO. Tracciamo la retta parallela ad AB e tangente alla parabola, e consideriamo su di 2 essa le proiezioni A′ e B′ di A e B. L’area del segmento parabolico è uguale a 3 dell’area del rettangolo AA′B′B.. y. B. A B' O. 9. S=2 –A 3 AA'B'B S. A'. x.

(11) LA SIMMETRIA ASSIALE P. Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale rispetto alla retta r è quella isometria che a ogni punto del piano P fa corrispondere il punto P′ del semipiano opposto rispetto a r, in modo che r sia l’asse del segmento PP ′, ossia: ● ●. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. r P'. r passa per il punto medio di PP ′; PP ′ è perpendicolare alla retta r.. La retta r è detta asse di simmetria. Nel piano cartesiano prendiamo in esame le seguenti simmetrie assiali, fornendo le relative equazioni. a. Simmetria con asse x a (asse parallelo all’asse y) x′ 2a x y′y. 冦. y y = y'. O. b. Simmetria con asse y b (asse parallelo all’asse x) x′ x y ′ 2b y. 冦. P. P'. x. a x' x x=a. y y' b. P'. y. P. y=b. O. c. Simmetria con asse y x (bisettrice del primo e terzo quadrante). x = x'. y y. x′ y y′x. 冦. P. y=x. y'. P'. O. x y P. y=–x. ⵒ y. P’. y’. ⵒ. 冦. x. x'. d. Simmetria con asse y x (bisettrice del secondo e quarto quadrante) x′ y y′x. x. e. Simmetria con asse x 0 (asse y) x′ x y′y. 冦. x. x O. x’. y x=0 P'. P. Due punti simmetrici rispetto all’asse y hanno ascisse opposte e la stessa ordinata. x' O. f. Simmetria con asse y 0 (asse x) x′ x. 冦y ′ y Due punti simmetrici rispetto all’asse x hanno la stessa ascissa e ordinate opposte.. x. y y. P. O. y=0. y'. P'. x. x. 10.

(12) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Le funzioni goniometriche. La prima relazione fondamentale sen2 cos2 1. y. x2 + y2 = 1. B. La seconda relazione fondamentale. sen α = yB cos α = xB. yB. α O xB A. sen tg cos . x. 1. y tg α = —B xB xB cotg α = — yB. I grafici delle funzioni goniometriche y 1. 3π — 2 O. −1. π — 2. Periodicità: ∀ R, ∀k Z. y = sen x. 1. 2π x. O −1. sen( 2 k) sen. π — 2. LA COSINUSOIDE. π. π. π — 2. Periodicità: ∀ R, ∀ k Z. LA TANGENTOIDE. y. π −— 2. y. LA SINUSOIDE. 5π — 2. −π. O. O. π. 2π x. y = cotg x. y = tg x. Periodicità: ∀ R, ∀ k Z. cos( 2 k) cos. LA COTANGENTOIDE. y. 3π — 2. y = cos x. 2π x. 3π — 2. tg( k) tg . Periodicità: ∀ R, ∀ k Z. cotg( k) cotg . Seno, coseno e tangente su un triangolo rettangolo cateto opposto sen α = ——————— ipotenusa. cateto adiacente cos α = ———————— ipotenusa. B. B. cateto opposto tg α = ———————— cateto adiacente B. ipotenusa. ipotenusa. cateto opposto. α a. 11. O. cateto opposto. α A. b. O. cateto adiacente. A. α O cateto adiacente A.

(13) Le funzioni goniometriche inverse y π — 2. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. y π ARCOCOSENO. ARCOSENO y = arcsen x. π — 2. x 1 • C.E.: [− 1; 1] ;— • codominio: 冤− — 2 2冥 π –— 2. y = arccos x. O. –1. y ARCOCOTANGENTE. y ARCOTANGENTE π — 2. y = arccotg x. y = arctg x O π –— 2. x 1 • C.E.: [− −1; 1] • codominio: [0; π]:. O. –1. x. π π — 2. O. • C.E.: • codominio: 冥− — ; —冤 2 2. x • C.E.: • codominio: ]0; [. Seno, coseno, tangente e cotangente di angoli notevoli radianti. gradi. seno. coseno. tangente. cotangente. 0. 0. 0. 1. 0. non esiste. 12. 15°. 兹6 苶兹2 苶 4. 兹6 苶兹2 苶 4. 2 兹3 苶. 2 兹3 苶. 10. 18°. 兹5 苶1 4. 8 6. 22°30′ 30°. 4. 兹苶2苶苶兹苶 2 2 1 2. 兹苶2苶苶兹苶 2 2 兹3 苶 2. 兹1苶0苶苶苶 2兹苶5苶苶 4. 5. 36°. 4. 45°. 兹2 苶 2. 3 10. 54°. 兹5 苶1 4. 3. 60°. 2 5. 72°. 5 12 2. 兹1苶0苶苶苶 2兹苶5苶苶兹2苶5苶苶苶 10 苶兹苶5苶苶 5. 兹5苶苶苶 2兹苶5苶苶. 兹2 苶1. 兹2 苶1. 兹3 苶 3. 兹3 苶. 兹5 苶1 4. 兹5苶苶苶 2兹苶5苶苶. 兹2苶5苶苶苶 10 苶兹苶5苶苶 . 兹2 苶 2. 1. 1. 兹1苶0苶苶苶 2兹苶5苶苶兹2苶5苶苶苶 10 苶兹苶5苶苶 . 5. 兹5苶苶苶 2兹苶5苶苶. 4. 5. 兹3 苶 2. 1 2. 兹3 苶. 兹3 苶 3. 兹1苶0苶苶苶 2兹苶5苶苶 4. 兹5 苶1 4. 兹5苶苶苶 2兹苶5苶苶. 兹2苶5苶苶苶 10 苶兹苶5苶苶 . 75°. 兹6 苶兹2 苶 4. 兹6 苶兹2 苶 4. 2 兹3 苶. 2 兹3 苶. 90°. 1. 0. non esiste. 0. 5. 12.

(14) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015 Funzioni goniometriche di angoli associati e . e 2 . sen () sen. sen (2 ) sen y. y. cos () cos α −α. O. x. tg (). cos (2 ) cos α. tg . 2π − α. cotg () cotg. e . tg (2 ) tg. x. O. cotg (2 ) cotg. e . sen ( ) sen y π−α. cos( ) cos α x. O. tg( ). sen( ) sen π+α. y. cos( ) cos α. tg. tg( ). x. O. cotg( ) cotg. e 2. sen cos 2. 冢. y α. π −α — 2 α. O. x. 冣. cos sen 2. 冢. 冣. cotg( ) cotg. e 2. π +α — 2. sen cos 2. 冢. y. 冢. x. O. 冣 cotg. 3 e 2. 冢. α O 3 π– α — 2. α. 冢. 冣. 冢. 冣. 3 e 2. 冢. 冣. 冢. α. 冣. α 3 π+ α — 2. 冣. 冢. 冣. 冢. 冣. 3 sen cos 2. y. O. 3 tg cotg 2 3 cotg tg 2. 13. 冢. 3 cos sen 2 x. 冣. cotg tg 2. 冣. 3 sen cos 2. y. 冣. tg cotg 2. cotg tg 2. 冢. 冣. cos sen 2. α. tg 2. 冢. tg. 3 cos sen 2 x. 冢. 冣. 3 tg cotg 2. 冢. 冣. 3 cotg tg 2.

(15) Le formule goniometriche. Le formule di addizione sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tg tg tg( ) 1 tg tg con , , k 2 Le formule di sottrazione. Le formule parametriche 2tg 2 sen 1 tg2 2 1 tg2 2 cos , con k2 1 tg2 2. sen( ) sen cos cos sen . Le formule di prostaferesi. cos( ) cos cos sen sen . pq pq sen p sen q 2 sen cos 2 2 pq pq sen p sen q 2 cos sen 2 2 pq pq cos p cos q 2 cos cos 2 2 pq pq cos p cos q 2 sen sen 2 2. tg tg tg( ) 1 tg tg con , , k 2 Le formule di duplicazione sen 2 2 sen cos . Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. cos 2 cos2 sen2 2tg tg 2 1 tg2 . Le formule di Werner. Le formule di bisezione os 冪莦1莦莦2c 莦莦莦 1 cos cos 冪莦莦莦2 莦莦莦 2 1 cos tg 冪莦 2 1莦莦c莦 o莦 s莦 sen 2. 1 sen sen [cos( ) cos( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sen cos [sen( ) sen( )] 2. L’angolo fra due rette. r y mx q,. con m tg . s y m′x q′,. con m′ tg . y. r s. m m′ tg tg( ) . 1 mm′. γ. π–γ γ. B. β O. C. π–γ α. A. x. 14.

(16) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015 Equazioni goniometriche elementari. Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Si chiamano elementari le equazioni goniometriche del tipo:. x = (π− − α) + 2kπ x = α + 2kπ. Y. sen x a, cos x b, tg x c.. a α O. determinata se 1

(17) a

(18) 1. X. sen x a impossibile se a 1 ∨ a 1. cos x b. determinata se 1

(19) b

(20) 1 impossibile se b 1 ∨ b 1. tg x c. determinata ∀c R. x = β + 2kπ. x = γ + kπ. Y. Y c β. b. O. O. X. γ X. x = − β + 2kπ. Ci sono particolari equazioni elementari che si possono risolvere con le proprietà della seguente tabella.. 15. Tipo di equazione. Proprietà. sen sen ′. sen sen ′ ⇔ ′ 2k ∨ ′ 2k. sen sen ′. sen ′ sen (′). sen cos ′. cos ′ sen ′ 2. sen cos ′. cos ′ sen ′ sen ′ 2 2. cos cos ′. cos cos ′ ⇔

(21) ′ 2k. cos cos ′. cos ′ cos ( ′). tg tg ′. tg tg ′ ⇔ ′ k. tg tg ′. tg ′ tg (′). 冢. 冣. 冢. 冣. 冢. 冣.

(22) LE EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO. a sen x b cos x c 0. Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015. a 0, b 0. Metodo algebrico ● ●. b c 0 → si divide per cos x → tg x . a c 0 → si determinano le eventuali soluzioni di tipo x 2k; se x 2k, applicando le formule parametriche si ottiene. 冦. t 2(c b) 2at b c 0 x t tg 2. Metodo grafico Si sostituisce Y sen x e X cos x e si risolve quindi il sistema seguente:. 冦 XaY YbX1c 0 2. 2. Metodo dell’angolo aggiunto Si risolve il sistema seguente:. 冦. c sen(x ) r r 兹a 苶2苶苶 b 2苶 b tg a. LE EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO. a sen2x b cos x sen x c cos2x 0 Primo metodo ● ●. a 0 → cos x (b sen x c cos x) 0 a 0 → si divide per cos2x → a tg2x b tg x c 0. Secondo metodo. 冦. sen 2x sen x cos x 2 1 c os2x Sostituendo sen2x si ottiene un’equazione lineare. 2 1 c os2x cos2x 2 Un’equazione lineare della forma a sen2x b sen x cos x c cos2x d. (d 0). è riconducibile a un’equazione omogenea sostituendo d d(cos2x sen2x).. 16.

(23) Matematica. UNITUTOR MEDICINA 2015 Disequazioni goniometriche. Primo metodo. Secondo metodo. Si studia la posizione reciproca tra il grafico della funzione goniometrica e la retta y a.. Si disegna la circonferenza goniometrica, si risolve l’equazione associata, si determinano gli archi in cui è soddisfatta.. La funzione seno y sen x > a sen x > a y=a α2. α1. α2. sen x < a. a α1. x. sen x < a. sen x a → 1 2k x 2 2k; sen x a → 0 2k x 1 2k ∨ 2 2k x 2 2k La funzione coseno y. cos x > a. cos x > a. cos x < a a. α2. α1. α1. α2. y=a x. cos x < a. cos x a → 0 2k x 1 2k ∨ 2 2k x 2 2k; cos x a → 1 2k x 2 2k La funzione tangente y tg x > a. tg x > a. a. y=a tg x < a α1 + π α1. α1. x tg x < a. tg x < a tg x > a. tg x a → 1 k x k; tg x a → k x 1 k 2 2. 17.

(24)

ᎏᎏ 冪 冪

ᎏᎏ 冪冪