MICROECONOMIA -- Prova intermedia del 10.11.15 – docente: ZAPPIA
I diversi compiti della prova contenevano le domande seguenti, utilizzate con valori dei dati modificati
1a. Si rappresenti una mappa di curve di indifferenza per un soggetto che considera mali entrambi i beni che compongono il suo paniere di consumo. A quale paniere corrisponde la massima utilità del soggetto?
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Il paniere (0,0) identifica il livello massimo di utilità poiché per entrambi i beni vale ∂U/∂x < 0.
Tipicamente le curve di indifferenza sono concave verso l’origine -
1b. Un consumatore con la seguente funzione di utilità U(x,y)=min{2x,y} ha una dotazione iniziale dei beni pari a (10,20). Si determini da domanda netta del bene y se i prezzi dei beni sono [1,1].
a) la domanda netta di y è pari a zero b) la domanda netta di y è pari a – 10 c) la domanda netta di y è pari a + 20
d) la domanda netta di y non è determinabile perché non è noto il reddito e) nessuna delle altre affermazioni indicate è corretta
Il paniere ottimo di consumo a prezzi dati (ma in generale a qualsiasi vettore dei prezzi, per beni perfetti complementi) coincide con la dotazione iniziale, poiché la dotazione rispetta il rapporto di complementarietà della funzione di utilità data. Quindi la domanda netta è nulla per entrambi i beni.
Formamente: rapporto di ottimo consumo y=2x, vincolo di bilancio x+y=30, quindi x=10, y=20.
2a. Come si determina il prezzo di riserva relativo alla prima unità di consumo di un bene disponibile in quantità discrete?
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Il prezzo di riserva r si determina come incognita della relazione che pone U(0,m)=U(1,m-r), con m reddito disponibile per il consumo del secondo bene, interpretabile come tutti gli altri beni consumati.
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2b. Un soggetto consuma uno stesso bene in due periodi (c1, consumo presente, e c2, consumo futuro), e ha una data una dotazione iniziale di reddito nei due periodi (m1 , m2). Il soggetto ha preferenze regolari (“well behaved”) ma non è nota la sua funzione di utilità. Il soggetto prende a prestito nel primo periodo ad un certo tasso di interesse r. Dopo aver rappresentato la situazione graficamente, si indichi cosa è possibile dire della sua soddisfazione se il tasso di interesse diventa r’ < r?
a) se non si conosce la funzione di utilità non si può dire nulla su come il consumatore reagisce alla variazione
b) per applicazione del WARP, il soggetto continua a prendere a prestito anche dopo la variazione c) per applicazione del WARP, il soggetto decide di dare a prestito dopo la variazione
d) potrebbe decidere di dare a prestito, se ciò gli consente di aumentare la sua soddisfazione e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
Il caso coincide con la fig. 9.4 del testo. Il soggetto continua a prendere a prestito (cioè a essere domandante netto del bene x) anche dopo la variazione.
3a. Si indichi cosa si intende per esternalità nel consumo. Se un certo soggetto i ha la seguente funzione di utilità Ui (xi, E) = xi2E, dove x è un bene privato e E è l’esternalità che dipende dalle decisioni di un altro soggetto, allora E costituisce una esternalità positiva o negativa?
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Per un soggetto i, il bene E è una esternalità nel consumo se E non è scelto dal soggetto e vale ∂Ui/∂E ≠ 0.
Controllando la derivata parziale rispetto ad E, nel caso Ui (xi, E) = xi2E l’esternalità è positiva.
Per il caso Ui (xi, E) = xi2 / E l’esternalità è negativa.
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3b. In un'economia vi sono unicamente due agenti, A e B, che osservano i prezzi di mercato e li considerano dati ai fini delle loro scelte (price-takers). A e B hanno le seguenti funzioni di utilità: uA=xAyA2; uB=xB2yB. Il primo ha dotazioni A=(10,5) e il secondo ha dotazioni B=(10,10). Il bene y è considerato numerario e quindi il suo prezzo è py=1. Allora quale prezzo del bene x garantisce l’equilibrio generale?
a) non è possibile che il sistema sia in equilibrio generale b) 2/3
c) 25/30 d) 1
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
Assumendo come numerario y, si può determinare pdel bene x come soluzione dell’equilibrio fra domanda aggregata e totale delle dotazioni sul mercato del bene x. Le funzioni di utilità sono entrambe Coob-Douglas quindi vale: x1A= (1/3)(10p+5)/p e x1B = (2/3)(10p+10)/p. In equilibrio vale p=25/30.
4a. Si illustri, anche graficamente, cosa si intende per variazione compensativa In che senso la variazione compensativa è una misura di variazione del benessere?
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La variazione compensativa è rappresentata dal testo in fig. 14.4 A.
E’ la variazione del reddito che serve a compensare una variazione dei prezzi, per lasciare l’utilità invariata al livello iniziale (o per consentire il consumo del paniere iniziale, nella versione di Slutsky).
Consente di misurare in termini di reddito la variazione dell’utilità associata alla variazione dei prezzi.
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4b. Un consumatore con la seguente funzione di utilità U(x,y)=2x+y ha un reddito giornaliero di 90 euro.
Inizialmente i prezzi dei beni sono [1,1] poi diventano [3,1]. Indicare quale parte della variazione della domanda del bene x dipende dall’effetto di sostituzione (o dall’effetto di reddito)
a) Δx per sostituzione = 0 b) Δx per sostituzione = – 30 c) Δx per sostituzione = – 60 d) Δx per sostituzione = – 90
e) nessuna delle altre affermazioni indicate è corretta
I beni sono perfetti sostituti nella proporzione di 2 unità di y per ogni unità di x (infatti vale ad esempio che U(1,0)=U(0,2)). Per le variazioni dei prezzi indicate c’è una variazione complessiva della domanda di x pari a – 90, in quanto il consumo di x passa da x=90/1 a x=0, mentre quello di y passa da y=0 a y=90/1.
Questa variazione è dovuta unicamente a sostituzione, non vi è effetto del reddito sul consumo. Infatti ai prezzi [3,1] il reddito necessario ad acquistare il paniere acquistato ai prezzi iniziali, (90,0), è m=270. A questo reddito compensato e ai nuovi prezzi, il consumo di x è comunque x=0 (ai nuovi prezzi è sempre conveniente acquistare solo il bene y, a prescindere dal livello del reddito)
5a. Si illustri quali condizioni devono essere soddisfatte per garantire che la condizione di eguaglianza fra MRS e rapporto fra i prezzi identifichi un paniere di consumo ottimo
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La condizione di eguaglianza MRS= p1/p2 è condizione necessaria e sufficiente per l’identificazione di un ottimo solo se le preferenze sono convesse e l’ottimo è interno, cioè se non si realizza ove uno dei due beni ha consumo nullo (come accade invece per esempio nell’esercizio seguente)
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5b. Un consumatore con la seguente funzione di utilità U(x,y)=2x+y ha un reddito giornaliero di 90 euro.
Inizialmente i prezzi dei beni sono [3,1] poi diventano [1,1]. Indicare quale parte della variazione della domanda del bene x dipende dall’effetto di sostituzione.
a) Δx per sostituzione = + 90 b) Δx per sostituzione = + 60 c) Δx per sostituzione = + 30 d) Δx per sostituzione = zero
e) nessuna delle altre affermazioni indicate è corretta Vedi risposta precedente, a variazione dei prezzi invertita.
6a. Si scriva il vincolo di bilancio di un soggetto che domanda ore di riposo e bene di consumo, se la dotazione di ore di riposo è 16, quella del bene di consumo è 0, il salario orario è 10 e il prezzo del consumo è 1.
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Dato il vincolo di bilancio generico per scelta di beni con dotazione, pari a p1x1 + p2x2 = p1ω1+p2ω2, l’applicazione al caso della scelta di ore riposo (lavoro) implica: 10R + C = 160.
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6b. Un certo soggetto ha preferenze per reddito, m, e bene di consumo S, rappresentate da U(S,m)=10S- 2S2+m . Il bene S è disponibile in quantità discrete (S = 0 oppure 1) e rappresenta il biglietto per uno spettacolo teatrale che il soggetto deve decidere se acquistare o meno. Lo spettacolo ha un prezzo pari a 12 Euro, il reddito a disposizione è pari a 50 euro. Allora è possibile affermare che il soggetto acquisterà S?
a) si, perché il reddito è superiore al costo del biglietto
b) si, perché il suo prezzo di riserva è inferiore al prezzo di vendita c) no, perché il suo prezzo di riserva è superiore al prezzo di vendita d) no, perché il suo prezzo di riserva è inferiore al prezzo di vendita e) nessuna delle altre affermazioni indicate è corretta
Utilizzando il metodo indicato nella risposta alla 2a, il prezzo di riserva per questi valori è dato da 50 = 10 - 2 + (50 - r), quindi r=8. Il soggetto non acquisterà il biglietto perché r < p.
Per la funzione di utilità U(S,m)=14S-2S2+m vale r > p.
7a. Si indichi cosa si intende per condizione di non arbitraggio nel mercato delle attività finanziarie.
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Per la condizione di non arbitraggio vale che il rendimento di una attività finanziaria rischiosa (A=azione) equivale a quello di una attività finanziaria priva di rischio (B=obbligazione).
Se rA>rB , poiché rA=(peA1-pA0 ) / pA0 , ciò indurrà gli investitori ad aumentare la domanda di A al tempo zero, facendo alzare pA0 fino al ristabilirsi della condizione di eguaglianza fra i tassi, dove pA0 è il prezzo dell’azione al tempo zero e peA1 è il prezzo atteso al tempo 1.
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7b. In un'economia vi sono unicamente due agenti, A e B, che osservano i prezzi di mercato e li considerano dati ai fini delle loro scelte (price-takers). A e B hanno le seguenti funzioni di utilità: uA=xAyA2; uB=xB2yB. Il primo ha dotazioni A=(10,5) e il secondo ha dotazioni B=(10,10). I prezzi dei beni sono px=1, py=2. Allora l'eccesso di domanda aggregato del bene x è:
a) nullo, perchè i prezzi indicati sono prezzi che garantiscono l’equilibrio b) +20/3
c) – 40/3 d) + 80/3
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
Le funzioni di utilità sono entrambe Coob-Douglas quindi vale:
x1A= (1/3)(10px+5py )/px e x1B = (2/3)(10p+10py )/px. Ai prezzi indicati x1A= 20/3 e x1B = 20. L’eccesso di domanda aggregato è +20/3.
Per la legge di Walras l’eccesso di domanda aggregato di y è – 10/3.
8a. Si indichino le condizioni necessarie e sufficienti per l’acquisto della prima unità di un bene pubblico discreto G.
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Deve valere:
a) rA + rB > c(G) b) rA>gA , rB>gB
dove r sono i prezzi di riserva degli individui A e B, e g gli effettivi contributi all’acquisto del bene dal costo c(G).
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8b. Due individui A e B convivono per 10 ore al giorno nello stesso ambiente. Essi utilizzano il reddito m per il consumo di beni acquistati ad un prezzo di mercato p = 1, con mA = mB = 50. Poichè A ama ascoltare
musica, produce un effetto esterno negativo sul benessere di B, che ama il silenzio. Le preferenze di A per ore di musica M e consumo di reddito m sono rappresentate da: UA (M, m) = 8M1/2 + mA ; quelle di B per ore di silenzio S e reddito m sono rappresentate da UB (S,m) = 4S1/2 + mB, dove 0 ≤ M ≤ 10, e M + S = 10.
Indicare le ore di musica M* di A in un’allocazione Pareto efficiente.
a) 10 b) 8 c) 6 d) 4
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
L’esternalità negativa ore di musica scelte da A, è rappresentata come consumo di ore di silenzio per B.
Quindi il problema può essere visto come un qualsiasi problema di scambio, per cui deve valere MRSA=MRSB. Quindi 4M-1/2 = 2S-1/2 . Tenendo conto che S=10 – M, vale M=8, S=2.
