Esercizi di Algebra Lineare
Anna M. Bigatti
Quadriche rigate
27 maggio 2012
Classificare le seguenti quadriche e descrivere le eventuali schiere di rette giacenti su di esse.
Scrivere inoltre le rette giacenti sulla quadrica e passanti per il punto P assegnato e il piano tangente in P alla quadrica.
Esercizio 1 x2+ y2− z2= 1 ; P (1, 1, −1);
Soluzione
• x2+ y2= 1 + z2 iperboloide a una falda
• −→ due schiere di rette. Per ogni punto della quadrica si sono due rette distinte che giacciono sulla quadrica.
– x2− z2= 1 − y2 quindi (x − z)(x + z) = (1 − y)(1 + y) – due schiere di rette:
(a(x − z) = b(1 − y)
b(x + z) = a(1 + y) con a, b ∈ R non entrambi nulli (a(x − z) = b(1 + y)
b(x + z) = a(1 − y) con a, b ∈ R non entrambi nulli – per visualizzare in Grapher scrivo le forme parametriche:
x = (b2− 1)t − b y = −2bt + 1 z = −(b2+ 1)t + b
con b ∈ R e la retta
x = t y = 1 z = −t
x = (b2− 1)t + b y = −2bt − 1 z = −(b2+ 1)t − b
con b ∈ R e la retta
x = t y = −1 z = −t
• Retta generica per P (1, 1, −1) : r : (1 + at, 1 + bt, −1 + ct) impongo che giaccia sulla quadrica
– t2a2+ t2b2− t2c2+ 2ta + 2tb + 2tc = 0 per ogni t ∈ R . – per il principio di identit`a dei polinomi:
(a2+ b2− c2= 0
a + b + c = 0 −→ b(b + c) = 0 −→
(1, 0, −1), (0, 1, −1)
– r1: (1, 1 + t, −1 − t) , r2: (1 + t, 1, −1 − t) (verifico...)
• Piano tangente in P a F (x, y, z) = x2+ y2− z2− 1 = 0 dF
dx · (P )(x − x0) +dF
dy(P ) · (y − y0) +dF
dz(P ) · (z − z0) = 0
1
2(x − 1) + 2(y − 1) + 2(z + 1) = 0 −→ x + y + z = 1
u t
Esercizio 2 z2= xy + 1 ; P (1, 3, −2) Soluzione
• iperboloide a una falda
• −→ due schiere di rette. Per ogni punto della quadrica si sono due rette distinte che giacciono sulla quadrica.
– xy = z2− 1 quindi (x)(y) = (z − 1)(z + 1) – ...
u t
Esercizio 3 x2+ y2+ z2= 1, P (0, 1, 0);
Soluzione
• ellissoide
• nessuna retta (limitato)
• ...
u t
Esercizio 4 2z = x2− y2; P (2, 1,32) Soluzione
• paraboloide iperbolico
• −→ due schiere di rette. Per ogni punto della quadrica si sono due rette distinte che giacciono sulla quadrica.
– 2z = x2− y2 quindi (x − y)(x + y) = 2z – due schiere di rette:
(a(x − y) = 2z x + y = a (a(x + y) = 2z
x − y = a – ...
u t
Esercizio 5 xy + xz = z2; P (1, 2, 2) .
Soluzione cono ut
2
